BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
- - - - - - - - - - -
BÙI THỊ THANH THỦY
CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM
VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRẦN CÔNG PHONG
Huế, năm 2010
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 09 năm 2010
Tác giả Luận văn
Bùi Thị Thanh Thủy
ii
LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo - PGS.TS Trần Công Phong và Ths. Lê Thị Thu Phương
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong khoa Vật Lý
và phòng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Sở
GDĐT tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Quế Sơn, các bạn học viên Cao

2.2. Cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang bị
giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . 33
2.2.1. Điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm . . . . . 33
2.2.2. Điều kiện cộng hưởng tham số của phonon âm và
phonon quang trong trường hợp khí electron không
suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . . 42
3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào số
sóng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào kích
thước của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3. Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào nhiệt
độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào số sóng âm . . . . 46
3.5. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số F vào kích thước của sợi dây 47
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
3.1 Sự phụ thuộc vào số sóng âm của biên độ trường ngưỡng
E
th
đối với các giá trị nhiệt độ khác nhau. Đường liền nét,
đường gạch gạch, đường chấm chấm lần lượt tương ứng với
các nhiệt độ T=73 K, 77 K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 ×10
13
Hz, L
x
= 40 nm, L

−1
, q
z
= 1.75 × 10
8
m
−1
, q
z
= 1.85 × 10
8
m
−1
. Ở đây, Ω = 4 × 10
13
Hz, L
x
= 60 nm, L
y
= 10 nm,
L
z
= 90 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Sự phụ thuộc vào số sóng âm của hệ số F đối với các giá trị
nhiệt độ khác nhau. Đường liền nét, đường gạch gạch, đường
chấm chấm lần lượt tương ứng với các nhiệt độ T =73 K, 77
K, và 81 K. Ở đây, Ω = 4 ×10
13
Hz, L
x

mà các bán dẫn này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng,
dây lượng tử, hay chấm lượng tử. Khi theo một phương nào đó có trường
thế phụ thì phổ năng lượng của các hạt tải (electron, lỗ trống) theo chiều
này bị lượng tử hóa, hạt tải chỉ còn tự do trong số chiều còn lại. Chính vì
tính chất giam giữ mạnh nên các bán dẫn này có các tính chất vật lý trong
đó có tính chất điện, quang, và phản ứng với trường cao tần khác nhau và
khác với các bán dẫn khối thông thường [3].
Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron thấp chiều đã làm
thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất
vật lý của các vật liệu. Việc nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượng
vật lý trong các bán dẫn thấp chiều này cho thấy cấu trúc đã làm thay
đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, đồng thời cấu trúc cũng đã làm
xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới, ưu việt hơn mà các hệ electron 3 chiều
thông thường không có. Các vật liệu mới với các cấu trúc bán dẫn nói trên
đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên những nguyên tắc
hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa
học kỹ thuật nói chung và trong lĩnh vực quang điện tử nói riêng. Đó là lý
do tại sao các cấu trúc trên được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Có rất nhiều hiệu ứng vật lý cần được nghiên cứu trong bán dẫn thấp
5
chiều. Trong số các hiệu ứng này, thì các hiệu ứng cao tần xảy ra do phản
ứng của hệ electron dưới tác dụng của trường điện từ cao tần (trường
laser) được quan tâm nhiều. Một trong các lý do của việc tập trung nghiên
cứu các hiệu ứng này trong các bán dẫn thấp chiều là do tính không đẳng
hướng mạnh của hiện tượng chuyển tải lượng tử và độ linh động của hạt
tăng cao. Hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon mà chúng tôi
quan tâm nghiên cứu trong luận văn này là tương tác tham số.
Hiệu ứng tương tác và biến đổi tham số là một cơ chế mới về sự chuyển
hóa năng lượng giữa các kích thích dưới tác dụng của trường điện từ ngoài.
Các kích thích này có thể là cùng loại (ví dụ: phonon-phonon) hoặc khác

3. Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu
+ Nhiệm vụ nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử đối với hai loại
phonon để tìm biểu thức giải thích cho điều kiện cộng hưởng tham số của
phonon âm và phonon quang
- Xác định phổ tái chuẩn hóa của phonon âm (quang). Tính số trường
ngưỡng và hệ số biến đổi tham số phonon quang (âm) thành phonon âm
(quang) và khảo sát đại lượng này. Các nội dung trên được nghiên cứu cho
trường hợp khí electron không suy biến
+ Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu về nội dung tập trung chủ yếu vào cộng hưởng
7
tham số và biến đổi tham số của phonon âm và phonon quang.
- Đối tượng nghiên cứu về phương pháp là phương trình động lượng
tử cho phonon.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trên phương diện nghiên cứu lý thuyết, bài toán được giải quyết theo
quan điểm lượng tử trên cơ sở áp dụng các phương pháp của lý thuyết
trường lượng tử cho hệ nhiều hạt. Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng
phương pháp phương trình động lượng tử và các phép tính đại số toán tử
để tính giải tích. Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để thực hiện
tính số và vẽ đồ thị.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài này chỉ giới hạn nghiên cứu với dây lượng tử hình chữ nhật
và với giả thiết phonon bị giam giữ. Vì đề tài này chỉ tập trung nghiên
cứu tương tác electron-phonon nên bỏ qua tương tác cùng loại như tương
tác electron-electron, phonon-phonon. Chỉ xét cộng hưởng bậc 1 trong bài
toán cộng hưởng tham số của hai loại phonon.
6. Bố cục luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, phần

Dây lượng tử là một cấu trúc vật liệu trong đó chuyển động của
electron bị giới hạn theo hai chiều, kích cỡ tối đa cỡ 100 nm. Trong dây
lượng tử, các electron chuyển động tự do chỉ theo một chiều, vì thế hệ
electron tự do còn gọi là khí electron chuẩn một chiều. Khi một lớp mỏng
của một chất bán dẫn có vùng cấm hẹp được bao quanh bởi một bán dẫn
có vùng cấm rộng lớn thì ta có cấu trúc của một dây lượng tử [20].
Hiện nay, người ta có thể tạo ra nhiều dây lượng tử có tính chất tốt
bằng nhiều cách khác nhau. Ví dụ: từ một lớp giếng lượng tử nhờ kỹ thuật
lithography (in li-to) và photoetching (quang khắc), người ta tạo ra được
các dây lượng tử có hình dạng khác nhau mà phổ biến là dây hình chữ
nhật và dây hình trụ. Một loại dây lượng tử khác có thể được tạo ra bằng
cách định hình trước khi cho tinh thể lớn dần lên. Đây là loại dây răng
cưa chữ V được tạo ra nhờ nuôi Epitaxy trên một rãnh hình chữ V với vật
liệu không phân cực. Ngoài ra còn có một số cấu trúc hay được nghiên cứu
như dây lượng tử hình chữ T, dây lượng tử hình cái lược (gắn nhiều dây
lượng tử vào một dây lượng tử khác, giống như cái lược ) [20].
Do có cấu trúc một chiều nên các hiệu ứng lượng tử thể hiện rõ hơn
so với cấu trúc lượng tử hai chiều. Các khảo sát lý thuyết chủ yếu dựa trên
hàm sóng, phổ năng lượng thu được nhờ giải phương trình Schrodinger và
sử dụng thế tương tác Coulomb. Các mô hình được sử dụng là hố thế cao
vô hạn, hố thế parabol (thích hợp với dây có kích thước nhỏ), thế tam
giác Sử dụng loại thế nào phụ thuộc vào điều kiện của từng bài toán
(các giả thiết về cấu trúc hình học của dây, nhiệt độ, trường ngoài ), yêu
10
cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của dạng thế đó. Trong trường hợp
cụ thể có thể ghép các hố thế với nhau, chẳng hạn một chiều là hố thế
parabol, một chiều hố thế tam giác, hoặc một chiều hố thế hình vuông và
một chiều hố thế vô hạn [20].
1.1.3. Dây lượng tử hình chữ nhật
Xét dây lượng tử hình chữ nhật với tiết diện có cạnh là L

, 0 ≤ y ≤ L
y
,
∞ nếu x > L
x
, y > L
y
.
(1.3)
Vì chuyển động của electron theo phương z độc lập với chuyển động
trong mặt phẳng (x, y) nên hàm sóng và năng lượng của electron có thể
viết dưới dạng:
ψ(x, y, z) = ψ(x, y)ψ(z), (1.4)
E = E
z
+ E
x,y
, (1.5)
trong đó
E
z
=

2
k
2
2m
∗
, ψ(z) =
1

[
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
]. (1.8)
Đây chính là bài toán giếng thế 2 chiều, vì vậy ta đặt
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y), E = E
x
+ E
y
. (1.9)
Khi đó phương trình (1.7) có dạng
−
2
2m
∗
[
∂
2
∂x
2
+
∂
2

2
E
y
ψ(y) = 0. (1.12)
Phương trình vi phân
d
2
ψ(x)
dx
2
+
2m
∗

2
E
x
ψ(x) = 0, (1.13)
có nghiệm là:
ψ(x) = A sin K
1
x = B cos K
1
x. (1.14)
Với
K
2
1
=
2m

πx
L
x
, (1.17)
trong đó hệ số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa
A
2

L
z
0
sin
2
n
x
πx
L
x
dx = 1 ⇒ A =

2
L
x
. (1.18)
Do đó
ψ
n
x
(x) =


2

2
n
2
y
2m
∗
L
2
y
; n
y
= 1, 2, (1.21)
Cuối cùng ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây
lượng tử hình chữ nhật như sau
ψ
n
x
n
y
k
(x, y, z) =

1
L
z
e
ikz


k
2
2m
∗
+

2
π
2
2m
∗
(
n
2
x
L
2
x
+
n
2
y
L
2
y
). (1.23)
1.2. Hamiltonian của phonon âm và phonon quang
bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật
Sự giam giữ phonon có ảnh hưởng đến tốc độ thay đổi số phonon,
điều này có thể được khảo sát bằng cách áp dụng phương pháp Leburton


Q
+ a
+
−

Q
), (1.24)
trong đó

Q = (q
z
, q) là vectơ sóng của phonon và V

Q=γ/Q
2
là hằng số tương
tác electron-phonon (γ là hằng số).
Để tìm được Hamiltonian Frohlich 1D (H
1D
F r
) cho phonon bị giam giữ
theo hai chiều x và y ta viết tổng theo

Q thành tổng theo q và tổng theo
giá trị dương của q, khai triển exp(±iq
x
y) và exp( ±iq
z
), với m và n là


n=1,3,5,
cos(
mπx
L
x
)
cos(
nπy
L
y
)
[q
2
z
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)
2
]
1/2
[A

2
z
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)
2
]
1/2
[A
+
(q
z
)
−
+ A
+
+
(−q
z
)
−
],

2
]
1/2
[A
−
(q
z
)
+
+ A
+
−
(−q
z
)
+
],
(1.28)
14
SH4 =

m=2,4,6,

n=2,4,6,
cos(
mπx
L
x
)
cos(

(−q
z
)
−
],
(1.29)
với
a
+
(q) = −
1
√
2
(a
q
z
,q
+ a
−q
z
,q
), a
−
(q) = −
i
√
2
(a
q
z

z
) =
−i
√
2
[a
±
(q
x
, q
y
) − a
±
(q
x
, −q
y
). (1.32)
Hai toán tử a
+
+
(−q) và a
+
−
(−q) tương ứng là liên hợp của hai toán tử
a
+
(−q) và a
−
(−q).

q
z
,m,n
+ b
+
−q
z
,m,n
). (1.33)
Tương tự ta cũng xây dựng được Hamitonian Frohlich tương tác của
electron-phonon LA
H
e−ac
=

k
z
,α,α

,q
z
,m,n
γ

I
1D
(q
z
)c
+

GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
Chương này trình bày về Hamiltonian của hệ electron-phonon bị
giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật và tính toán giải tích
để thu được kết quả điều kiện cộng hưởng của phonon âm dọc
(LA) và phonon quang dọc (LO) khi bị giam giữ trong dây lượng
tử hình chữ nhật.
2.1. Hệ phương trình động lượng tử và phương trình
tán sắc cho phonon âm dọc (LA) và phonon
quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử
hình chữ nhật
2.1.1. Hệ phương trình động lượng tử
* Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm dọc (LA) và phonon
quang dọc (LO) bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật
khi có mặt trường bức xạ laser.
Chúng ta khảo sát sự tương tác của electron- phonon bị giam giữ
trong dây lượng tử hình chữ nhật đặt trong trường laser có vectơ cường
độ điện trường

E =

E
0
sin Ωt vuông góc với phương truyền sóng. Thế
vectơ tương ứng là

A(t) =
c
Ω
E
0


k
c
α,

k
+

q,m,n
ω
q,m,n
a
+
q,m,n
a
q,m,n
+

q,m,n
ν
q,m,n
b
+
q,m,n
b
q,m,n
+


k,α,α


k+q,α

c

k,α
(b
q,m,n
+ b
+
−q,m,n
),
(2.1)
trong đó:

k = (0, 0, k
z
), q = (0, 0, q
z
) lần lượt là xung lượng của electron và
phonon bị giới hạn theo trục của dây (trục z).
H
e
=

α,

k
ε
α

giam giữ không tương tác.
H
op
=

q,m,n
ν
q,m,n
b
+
q,m,n
b
q,m,n
là năng lượng của các phonon quang
bị giam giữ không tương tác.
H
e−ac
=


k,α,α

,q,m,n
γI
1D
(q)c
+

k+q,α


(b
q,m,n
+ b
+
−q,m,n
) là năng lượng
tương tác giữa điện tử và phonon quang bị giam giữ.
ε
α
(

k −
e
c

A(t)) là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.
c
+

k,α
và c

k,α
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử.
a
+
q,m,n
và a
q,m,n
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon âm.

2
2ρv
a
V
]
1/2
= [


(q
2
m,n
+ q
2
z
)ξ
2
2ρv
a
V
]
1/2
, (2.3)
γ

= [
2πe
2
V
ω(

L
y
|

m,n=1,3,5
4P
m,n
[q
2
+ (
mπ
L
x
)
2
+ (
nπ
L
y
)
2
]
−1/2
|
2
, (2.5)
với
P
m,n
=

y
πy
L
y
) cos(
n

x
πx
L
x
) cos(
n

y
πy
L
y
)
×











y
sin
mπx
L
x
cos
nπy
L
y
sin
mπx
L
x
sin
nπy
L
y
.(2.6)
Một số giá trị của P
α,α

m,n
tương ứng với các giá trị của m và n như sau
[35], [30]: P
11
= (
8
3π
)
2

= [a
q,m,n
, H]
t
= [a
q,m,n
, H
e
]
t
+ [a
q,m,n
, H
ac
]
t
+ [a
q,m,n
, H
op
]
t
+ [a
q,m,n
, H
e−ac
]
t
+ [a
q,m,n


− a
+
q

,m

,n

a
q,m,n
= δ
q,q

δ
m,m

δ
n,n

,
[a
q
, a
q

,m

,n


, H
e−op
]
t
= 0. (2.8)
Theo phụ lục 1 ta thu được kết quả sau
[a
q,m,n
, H
ac
]
t
= ω
q,m,n
a
q,m,n

t
, (2.9)
∗[a
q,m,n
, H
e−ac
]
t
=


k,α,α


k,α,α

γI
1D
(−q)c
+

k−q,α

c

k,α

t
. (2.11)
19
Để tìm biểu thức cuối cùng của phương trình (2.11) ta tìm c
+

k−q,α

c

k,α

t
.
Tương tự ta thiết lập phương trình động lượng tử cho c
+


t
= [c
+

k−q,α

c

k,α
, H
e
]
t
+ [c
+

k−q,α

c

k,α
, H
ac
]
t
+ [c
+

k−q,α


t
= SH1 + SH2 + +SH3 + SH4 + SH5.
(2.12)
Tính các số hạng trên (Phụ lục 2) và thu được kết quả
SH1 =

ε
α
(

k) − ε
α

(

k − q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

c
+

k−q,α

c


k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
,
(2.14)
SH5 =

q
1
,m,n
γ

I
1D
(q
1
)(b

.
(2.15)
Thay SH1, SH2, SH3, SH4, SH5 vào phương trình (2.12) ta được
i
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

t
=

ε
α
(

k) − ε
α

(

k − q) −
e
m

+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
+

q
1

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
.
(2.16)
Để giải phương trình (2.16) ta giải phương trình vi phân thuần nhất sau
i
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
=

ε
α
(

q,m,n

t=−∞
= c
+

k−q,α

c

k,α

t=−∞
= 0. (2.18)
Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.18)

t
−∞
∂c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
c

c
q

A(t)

dt
1
. (2.19)
Giải tích phân (2.19) ta tìm được
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
= exp

−i


t
−∞

ε
α

t
= φ(t)c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
. (2.21)
Lấy đạo hàm 2 vế phương trình (2.21) (phụ lục 3) ta có
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

t
=
∂φ(t)
∂t
c

α

(

k − q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

.
(2.22)
Hay
i
∂
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

t
= i

α

(

k − q) −
e
m
∗
c
q

A(t)

= i
∂φ(t)
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
+ c
+


i
∂φ(t)
∂t
c
+

k−q,α

c

k,α

0
t
=

q
1
,m,n
γI
1D
(q
1
)(a
q
1
,m,n
+ a
+
−q


I
1D
(q
1
)(b
q
1
,m,n
+ b
+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1

1
,m,n
γI
1D
(q
1
)(a
q
1
,m,n
+ a
+
−q
1
,m,n
)(c
+

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q

k−q,α

c

k−q
1
,α

− c
+

k−q+ q
1
,α
c

k,α
)
t
.
(2.26)
Thay (2.20) vào (2.25) ta có
i
∂φ(t)
∂t
= exp

i





t
−∞
exp

i


t
1
−∞

ε
α
(

k) −ε
α

(

k −q) −
e
m
∗
c
q

A(t