Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 0
www.vuihoc24h.vn - Kênh hc tp Online
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 1
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 2
LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán THPT, Bất Đẳng Thức là một phân môn khó
nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại
học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympic trong và ngoài nước… Nhất
là đối với phần Bất Đẳng Thức Trong Tam giác, nó là một dạng toán logic,
người làm các bài toán này cần có những hiểu biết sâu về hình học, lượng
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 3
MỤC LỤC
Chương Trang
I.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 4
II.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 30
III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 51
-
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 4
CHƯƠNG 1:
CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
1. Định lí hàm số Cosin.
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cosA
b
2
2
2
222
BC
AMACAB
4. Công thức về diện tích
cba
cba
rcprbprapS
cpbpappS
cba
pprS
R
abc
S
CabBacAbcS
chbhahS
)()()(
))()((
)
2
(
2
sin
2
1
sin
2
1
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 5 2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin4
6. Công thức về bán kính đường tròn bàng tiếp
2
cos
2
cos
2
cos
2
tan.
A
CB
a
A
pr
a
2
cos
2
cos
2
2
cos2
)(
2
2
cos2
)(
2
2
cos2
cpabp
baba
C
ab
l
bpacp
caca
B
ac
l
apbcp
cbcb
A
bc
l
c
b
a
nhọn, M nằm trong ABC
, x, y, z là khoảng cách từ M đến ba
cạnh BC, AC, AB . CMR:
R
cba
zyx
2
222
Hướng dẫn giải
Ta có
2
222
222
222
111
2
2
42
1
2
1
cba
R
abc
czbyax
R
abc
czbyaxS
có chu vi là 2p. Chứng minh rằng:
a)
8
abc
cpbpap
b)
cbacpbpap
111
2
111
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012
Lấy (1)(2)(3) ta được
8
abc
cpbpap Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
b) Theo BĐT Cauchy
acpbp
cpbp
a
cpbp
cpbp
cpbpcpbpa
411
4
11
211
2
bcpap
411
411
Vậy
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 8
Theo công thức Hê rông
4442
444444444
222222444
22222244422
2
22222
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Bài 4: Cho
cba
hhh
,,
là độ dài ba đường cao của tam giác có bán kính đường
tròn nội tiếp là r
Chứng minh rằng
r
h
h
h
h
h
h
a
b
b
c
c
a
1
c
c
b
b
b
a
S
Sa
c
Sc
b
Sb
a
h
h
h
h
h
h
rcbachbhahS
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
Dấu “=” xảy ra khi
ABC
đều
Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là
51, 5 ,1
Hướng dẫn giải
Cách 1
Giả sử tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là 15h ,5h ,1
cb
a
h ,
các cạnh tương ứng là cba ,,
Ta có :
ca
h
S
a
h
2S
cbacba
hhhh
S
h
S
h
S
(Vô lí)
Vậy không tồn tại một tam giác mà độ dài ba đường cao là 5,1 5 ,1
Cách 2
Tương tự trên ta có :
)51.(5.1.2 cbaS
Do đó
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 10
cbacba
cbcbaaa
)(22
44)51(52
h
rh
Cách 2:
2rOA
Vẽ )( OHKAHOK tứ giác
KOMH
Là
hình chữ nhật
5,22)(
rrmàOKAKOAAK
r
OM
KH
Do đó 5,22
r
h
rrKHAKAH
Cách 3:
2 2 2 2
2 2
( ) 0 2
( ) 2 2
( 2 1) 2 1
b c bc b c a
b c a b c a
có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích) . Trên các cạnh
BC,CA,AB lấy lần lượt các điểm A’,B’,C’ Chứng minh rằng : trong tất cả các
tam giác AB’C’,A’BC’,A’B’C có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hay
bằng 1 (đơn vị diện tích).
Hướng dẫn giải
Đặt
4
''
''
''
ABC
CBAC
BCAB
CABA
Lúc đó:
c)-4a(1SA
c)1(
'
.sinA.
2
1
sin'.'.
2
1
a
AC
AB
a
ACAB
AABAC
S
SA
tương tự ta có :
)1(4
)1(4
bcS
abS
c
B
1
1
1
C
B
A
S
S
S
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 12
Cách 2
Vì vai trò a,b,c như nhau , nên ta có thể xem
10
cba
Vì vậy:
)(1
(2) )(
4
3
)(2
4
1
)(2
4
1
)(2
4
1
222222
2222
2222
2222
cbamlk
cbam
bacl
acbk
và
(3) 9
4
9
RRCBCBAR
CBBCBAAR
CBAAR
CBCBAR
CBAR
CBARcba
từ (1), (2), (3) RmlkRmlk
2
9
9.
27
.
16
1
27
3
))()((
cbaS
p
S
cpbpap
pcpbpappS
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
(*)
33
444
4
cbacba
)(27)(
)(33)(3)(
444
4
4444
4442222
cbacba
cbacba
cbacbacba
Dấu “=” xảy ra
cba
(bất đẳng thức đúng cho R
cba ,, )
2
2
4
cbacba
cbacba
cbacbacba
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 14
Hay :
33
444
4
cbacba
m
b
m
a
m
cba
Hướng dẫn giải
a) Ta có
222
2
222
22222
222
2
32
cauchy) (BĐB )(23.2
)(2)3()2(
)(24
cba
a
m
a
cbaam
cbaam
acbm
a
a
a
a
m
b
m
a
cba
c
m
c
cba
b
m
b
Dấu “=” xảy ra
C
đều
b) Theo câu (a):
222
2
222
32
3.2
c
b
a
m
a
m
cba
mmm
c
m
b
m
a
m
cba
m
c
m
cba
m
b
m
cbacba
cc
bb
(Vì )(
4
3
222
222
)(
4
3
)(3)(4
)(24
)(24
)(24
222
222
222
222
222
2
222
2
222
2
cbammm
cbammm
cbam
bacm
acbm
cba
cba
c
b
a
2
3
3
với n
1
nZ
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 16
b/
Rrcba 2
3111
(với R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
C
tương ứng )
Hướng dẫn giải
a/ C1:
Đặt:
1
2
1
222
BÐT
1
).1(
)(2)(2)(2)(
3
1
).1()222(.)1(
)()()()(
2
2222222
2
2
dpcmVTcbaVT
accbbacbaVTcbacabcabVT
cbac
cba
c
bacb
bac
b
acba
acb
a
cba
cabcabcba
abc
cba
cbaRrcba
cba
abc
Rrpr
R
abc
S
Theo BĐT Cauchy :
ĐPCM
cabcabcabcabcabcab
cabcab
accbba
cabcab
bca
cba
111
3
111
2
, S là diện tích .
Nếu 0rq,p,
thì
Sc
qp
r
b
pr
q
a
rq
p
32.
222
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT BCS:
2222222
2222222
222
2
2
a
qp
qp
c
pr
pr
b
rq
rq
a
cba
Ta sẽ chứng minh :
(1) 32)()(2
2
1
2222
Scbacba
Thật vậy
(*) 34))(())(())((
34b)-(a-ca)-(c-bc)-(b-a(1)
222222
Scbacbacbacbacbacba
S
Đặt
zyxxyzzxyzxy
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 18
Dấu “=” xảy ra
Sc
qp
r
b
pr
q
a
rq
p
Đúng
cbazyx
32.
)1(
222
Chứng minh rằng :
2
222222
27))(( Shhhmmm
cbacba
với S là diện tích
C
Hướng dẫn giải
Ta có :
)(
4
3
)22(
4
1
)22(
4
1
)22(
4
1
222
222
222
2
222
2
222
c
S
b
S
a
S
222
Vậy :
222
222
cba
hhh
cba
Theo BĐT Trêbưsép:
22
2
2
2
2
2
cbacba
cbacbacba
2
3
6
3
2
3
2
3
2
222
222
222222
27)2(
4
27
) (
4
27
)(3.)(3
4
3
))((
4
3
))((
cba
với
cba
mmm , , là độ dài 3 trung tuyến xuất phát từ CBA ,, của
ABC
và R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
Hướng dẫn giải
a/ Xét
4
9
sinsinsin
t 0)(0)(sin1-C)-(Bcos
cosA)(t
4
1
).cos(
4
1
)cos().cos(cos
4
9
)2cos2(cos
2
4
9
.9
)sinsin(sin9)(
4
9
)(3)(
22
2222222
222
2
R
mmmRR
CBARcbammmmmm
cba
cbacba
Dấu “=” xảy ra
ABC
đều
Bài 15 : Cho
C
và 0,,
zyx chứng minh rằng :
2012Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 20
Khai triển (1) ta có :
(2) cos2cos2cos2
0)cos()cos()cos(2)(
0) (2)(
222
22222
2222
BzxAyzCxyzyx
BzxAyzCxyrrzyx
OMOPzxOPONyzONOMxyrzyx
Chia 2 vế (2) cho xyz>0 ta được
xyz
zyx
C
z
B
c
h h h
Hướng dẫn giải
a) Ta có
1
( ) ( )
2
b c a
S p b r p c r ah
do đó
2
.
( )( ) 2 ( )( )
b c
S S a
r r
a
p b p c p b p c
ta thấy
2 2 2
1 ( )
2 ( )( )
b a ac c abc a ac c a ac c
S
pR R acp acp
h h h S
a b c
Ta cần chứng minh
0)()()()(
022
)(3
)(3111
22
222222
22
22
(đpcm)
c) Trước tiên ta phải chứng minh
( )( )( )
b c a c a b a b c abc
(1)
Đặt
( ) ,( ) ,( )
; ;
2 2 2
b c a x c a b y a b c z
y z z x x y
a b c
1
(1) ( )( )( )(1)
8
, , 0
2 , 2 , 2
( )( )( )
xyz x y y z z x
do x y z
x y xy y z y z z x zx
b c a c a b a b c abc
abc
cba
c
bac
b
acb
a
c
S
cba
S
b
S
bca
S
a
S
acb
S
h
r
h
r
h
r
c
c
b
b
a
Giả sử BM cắt AC ở O
Hạ AH, CK vuông góc với BH tại Hvà K ta có
ACBMCOBMAOBMSS
COBMCKBMS
AOBMAHBMS
BCMABM
BCM
ABM
22
2
2
Tương tự
2 2 .
2 2 .
BCM ACM
ACM ABM
S S CM AB
2
21
2
21
2
CC
CC
BB
BB
AA
AA
T
Hướng dẫn giải
Ngô Hoàng Toàn YD
-
K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 23
ABCACAABA
SSS
11
c
b
A
bc
AAAACAB
A
AAAC
A
AAAB
2
cos2
sin
2
sin
2
sin
111
Ta lại có:
c
b
2
2
2
22
22
2
21
1
2
2111211
a
cb
a
acb
a
Abc
a
A
bc
AA
2
21
1
c
ba
b
ca
a
cb
CC
CC
BB
BB
AA
AA
c
ba
CC
1
= a
1
, C
1
A
1
= b
1
, A
1
B
1
= c
1
Chứng minh rằng:
36
111
)(
2
1
2
1
2
1
222
A
ACa
apACthì
cba
p
41
44
])(].[)([
2
1)(
2
1
)cos1.()(
2
1
2
sin).(
2
sin.2
2
2
1
2222
222
2
2
11
1
Copyright: Tài liệu đại học ©