Chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp hàm
số
đặt vấn đề
Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến và quan trọng trong chơng
trình toán phổ thông, rất thờng gặp trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học- Cao đẳng
và còn là một chuyên đề lớn trong các đề thi học sinh giỏi ở phổ thông.
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận và
thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển t duy cho
học sinh.
Có nhiều phơng pháp chứng minh bất đẳng thức, việc vận dụng nhìn chung phụ
thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán, do đó học sinh phổ thông thờng gặp rất nhiều khó
khăn khi gặp dạng bài này.
Các tài liệu, sách tham khảo đã trình bày khá đầy đủ về vấn đề này, trong báo
cáo này chúng tôi tập trung vào phơng pháp hàm số.
Nếu bất đẳng thức chỉ liên quan tới hàm 1 biến thì vấn đề đã rõ, ví dụ:
Chứng minh rằng x

sinx

x

0
song đối với bất đẳng thức nhiều biến số, ví dụ:
BT0 (Đề 150II2): Cho a,b,c [0,1]. Chứng minh rằng:
1c)b)(1a)(1(1
1ba
c
1ac
b
1cb
a

làm cho f

(

) g ta có một bất đẳng thức đúng.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số yêu cầu ta chỉ ra tính đúng (hoặc sai)
của một bất đẳng thức nào đó. Để tiện về ngôn ngữ, nói chung từ nay ta chỉ cần xem
xét những bất đẳng thức dạng f

g

f g

0.
Theo phân loại của Polya thì bài toán bất đẳng thức thuộc dạng bài toán chứng
minh toán học (trong hệ thống này, ngoài ra là các bài toán tìm tòi).
II. Các ph ơng pháp giải
Để chứng minh bất đẳng thức đại số, các phơng pháp phổ biến là:
PP1: Dùng biến đổi tơng đơng
PP2: Phơng pháp phản chứng
PP3: Dùng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
PP4: Dùng bất đẳng thức tam giác
PP5: Làm trội
PP6: Quy nạp
PP7: Dùng bất đẳng thức Cauchy
26
PP8: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
PP9: Biến dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski
PP10: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
PP11: Dùng bất đẳng thức Bernoulli

b
1cb
x
f(x)
+
++
+
++
+
++
=
trên [0,1]. Nó có
đạo hàm
D
1)c(x
c
1)c(x
b
(x)f'
22
+
++

++
=
, với D là một hằng số.
Rõ ràng f đồng biến.
# Nếu f(x)

0

==
# Nếu f(x)

0

x [0,1] thì
[0,1]x
1
1bccb
1cbcb
c)b)(1(1
1b
c
1c
b
f(0)maxf(x)
22


+++
+++
=+
+
+
+
==
# Nếu f(x) nhận 2 dấu trên [0,1] thì bảng biến thiên của f phải có dạng:
X 0 x
0
1

+
+
+
=
trên [0,1].
27
Nó có đạo hàm
a1
x)(1
a
a1
1
(x)f'
2
+
+

+
=
Rõ ràng f đồng biến.
# Nếu f(x)

0

x [0,1] thì
Max f(x) = f(1)
x [0,1]
# Nếu f(x)

0

, f(0) = 1

max f(x)

1
x [0,1]
Bài toán đợc chứng minh hoàn toàn.
BT2(Mở rộng) Cho a
1
, a
2
, , a
n
[0,1]. Chứng minh rằng:
1)a(1)
1as
a
(
n
1j
n
1j
j
j
j
+
+


=

j
1n
1j
j
j
1n
)a(1)
1as
a
()f(a
, ở đây

+
=
=
1n
1j
j
as
Đạo hàm

=
+
+
+
=
n
1j
2
j

n
1j
j
as'
).
1
s
a
f(1)
1n
1j
j
=

+
=
(làm tăng tử, giảm mẫu).

max f(a
n+1
) = max{f(0), f(1)}

1

(đpcm).
a
n+1
[0, 1]
BT3(Đề 148II1) Chứng minh rằng nếu 0 < x


b
1
c))(x
c
1
x
1
(f(x)
++++=
trên (0,b].
Đạo hàm
cb(0.b],x0)
x
1
bc
1
c)((b(x)f'
2
+=
, chứng tỏ f nghịch biến.
Vậy min f(x) = f(b) = 0

(đpcm).
x (0,b]
BT4(Đề 148II2) Chứng minh rằng

a, b

0 ta có: 3a
3

(đpcm).
BT5(Đề 106II2) a, b, c là các số thuộc [0, 1]. Chứng minh rằng;
a
2
+ b
2
+ c
2


1 + a
2
b + b
2
c + c
2
a.
Giải:
Coi c là biến x, xét hàm f(x) = x
2
(1 - a) b
2
x + a
2
+ b
2
- 1 a
2
b trên [0, 1].
Đạo hàm f(x) = 2(1 - a)x b

b}

0

(đpcm).
x [0, 1]
BT6(Đề 112II2) Chứng minh rằng với 0< a
<
b
<
c thì:
a
3
(b
2
c
2
) + b
3
(c
2
a
2
) + c
3
(a
2
b
2
) < 0.

2
b
2
)x
2
2(a
3
b
3
)x = (a - b)x[3(a+b)x 2(a
2
+ ab + b
2
)]
Dễ chứng minh f(x) < 0 khi a < b < x

f nghịch biến.
29

f(x) < f(b) = 0

(đpcm).
BT7(Đề 57II
2
) Cho a

b

c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng (a +b + c)
2

Không mất tính tổng quát giả sử a

b

c

a

1.
# Coi c là biến x, xét hàm f(x) = x
2
+ a
2
+ (3 x a)
2
trên [0, 2].
f'(x) = 4x + 6 2a

0

f đồng biến.
Max f(x) = f(2) = 2a
2
2a + 5
x[0, 2]
# Coi a là biến t, xét hàm g(t) = 2t
2
2t + 5 trên [0, 1].
Dễ thấy g(t)



1. chứng minh rằng:
abc1
3
c1
1
b1
1
a1
1
333
+

+
+
+
+
+
.
Giải:
a. Không mất tính tổng quát giả sử 1

b


a.
Coi b là biến x, xét hàm
ax1
2
a1

+

=
chứng tỏ f nghịch biến

min
f(x) = f(a) = 0

(đpcm)
x [1, a]
b. Không mất tính tổng quát giả sử 1

a

c

b.
Coi c là biến x, xét hàm:
abx1
3
b1
1
a1
1
x1
1
f(x)
333
+


0
b.baa1
2
)b(b1
1
)a(a1
1
22

+

+
+
+
theo câu 1.

(đpcm).
30