MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyn Vn Cng 1

S DNG K NNG NHN LIấN HP
GII PHNG TRèNH Vễ T

Nguyn Vn Cng GV THPT M c A - H Ni
Email : [email protected]
Trong thi i hc khi B nm 2010 cú cõu gii phng trỡnh vụ t,cõu ny gõy nhiu khú
khn cho hc sinh khi lm bi thi. giỳp hc sinh nm vng cỏch lm dng phng trỡnh
trờn,bi vit ny tụi xin trỡnh by k nng bin i s dng biu thc liờn hp trong gii
phng trỡnh vụ t . Hy vng rng s giỳp ớch cho cỏc em lm tt cỏc dng bi trờn .
a b
a b
a b
-
=
m
(a,b>0, a
ạ
b);
3 3
3 3
2 2
3
a b
a b
a ab b

=

ớ ớ
- - = =
ù ù
ợ ợ

Li gii: TX
1
6
3
x
- Ê Ê

(1)


2
3 5 5
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x x x x x
x x
- -
+ - + - - + - - = + + - + =
+ + + -
5 0 5
1 1

2
x

.Vit li phng trỡnh nh sau :
( )
2
2( 1) 2
( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0
2 1 1 2 1 1
1
2
2 0(*)
2 1 1
x
x x x x x x x
x x
x
x
x
-
ổ ử
- - + - + = + - - = - + - =
ỗ ữ
- + - +
ố ứ
=
ộ
ờ

ờ

2
- t
2
= x-t
Cách 3: biến đổi tương đương

Ví dụ 3 Giải phương trình :
(
)
3 2 2 2 6
x x x
+ - = + +
(3) (HVKTQS 2000)
Phân tích :
Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình .Ta sẽ đưa (2) về dạng
(x-3)f(x)=0 như sau
Lời giải: Viết lại phương trình (2):
2(x-3) +
8( 3)
( 6 3 2) 0 2( 3) 0
6 3 2
x
x x x
x x
-
+ - - = Û - - =
+ + -

3
3 0

ê
ê
+ + -
ë
ë

Ví dụ 4 :Giải phưng trình
2
2
1 2
1
x x x
x x
- +
=
+
(4)
Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x=
1
2
,ta phân tích như sau
Lời giải:
Đk
0 1
x
< £
,(3)
(
)
(


2 2
2 1
0(*)
1 1 2
1
2
x x x
x x x x x
x
é
+ +
+ =
ê
- + - +
ê
Û
ê
=
ê
ë

Nhận thấy (*) vô nghiệm với
0 1
x
< £
.Vậy
1
2
x

ë û

6
36 27
( 6) 1 0
36 27
1 0(*)
4 1 5 4 3 2
4 1 5 4 3 2
x
x
x x
x x
=
é
é ù
ê
Û - - - = Û
ê ú
ê
- - =
+ + + -
ë û
ê
+ + + -
ë

Rễ thấy phương trình (*) vô nghiệm.
Cách khác :
3


Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh .
Li gii:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
(6) 12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 2
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
- -
+ - = - + + - = - +
+ + + +
ổ ử
+ +
- - - = =
ỗ ữ
+ + + +
ố ứ

2
2 33
2 3
2 23
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
ộ ự
- + +
+
ờ ỳ
- - + - = - - - + =
ờ ỳ
- +
- + - +
ờ ỳ
ở ỷ

Ta chng minh :
( )
(
)

Li gii: k:
2 4
x
Ê Ê

(7)
2
3 3
( 2 1) ( 4 1) 2 5 3 ( 3)(2 1)
2 1 4 1
x x
x x x x x x
x x
- -
- - + - - = - - - = - +
- + - +

3
1 1
2 1(*)
2 1 4 1
x
x
x x
=
ộ
ờ

ờ
- = +

x x x x
+ + + = + +
(9)
Phõn tớch :
VP
1 1 1
VT x
ị ị -
.Nhn thy nu 2x
2
= x+1 thỡ hai v ca pt bng nhau gi cho ta ngh
n vic phõn tớch ra tha s chung l 2x
2
-x 1
Li gii: (8)
3 3
2 2
3 3
( 2 1 2) ( 2 1) 0
x x x x
+ - + + - + =

2 2
3
2 2 2 2 4 2 2
3 3 3 3 3
2 1 2 1
(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x x x

(*)
x x
vn
é
= - = -
ê
Û
ê
ë
(Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số)
Ví dụ 10 Giải phương trình :
3
24 12 6
x x
+ + - =
(10)
Lời giải: Đk:
12
x
£

(10)
3
2
3
3
3 3
( 24 3) ( 12 3) 0 0
12 3
( 24) 3 ( 24) 9

2
3
3
( 24) 4 ( 24) 0 24; 88
x x x x
+ + + = Û = - = -

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9).
Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88.
Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa
chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét Ví dụ sau
Ví dụ 11 Giải phương trình
(
)
(
)
1 1 1 2 5
x x x x
+ + + + - =
(11)
Lời giải: Đk x
1
³ -
. Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với
1 1 0
x
+ - ¹
ta có


= + + - - + Û + + - - + =
(*)
Lấy (*) cộng với (12) theo vế ta có
2
2 2 3 5 2 3 4
x x x x
+ + = + Û =

Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 13 Giải phương trình
2 3 2 6
x x x
- - = -

Lời giải:Đk
3
2
x
³
,pt tương đương
( 2 3 )( 2 3 )
2( 3)
2 3
x x x x
x
x x
- - - +
= -
- +


³ -
,pt
( )( )
(
)
(
)
( )
2 3 10 1 3 10 1
3 6
3 10 1
x x
x x
x
+ - + +
Û + + = Û
+ +

MATHVN.COM | www.mathvn.com

www.MATHVN.com & Nguyễn Văn Cường 5

( )( )
( )
( )
( )
6( 3) 6
3 6 3 ( 6) 0
3 10 1 3 10 1
x

2 11 21 3 4 4
x x x
- + = -

Lời giải: pt tương đương
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3
3 3
2 2
3 3
3 3
3 4 4 2 4 4 2 4 4 4
12( 3)
( 3)(2 5) ( 3)(2 5)
4 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4
x x x
x
x x x x
x x x x
- - - + - +

-
+ - - =
+

Lời giải : Đk x
Î
[
]
2;2
-
, Phương trình tương đương
2
2(3 2) 2(3 2)
2 4 2 2
4
x x
x x
x
- -
=
+ + -
+

x=3 hoặc 2 4 2 2
x x
+ + -
=
2
4
x

x
x
x x
Û - + - - + - + = Û - + - =
+ - + +
=
é
ê
Û
ê
- + - =
ê
+ - + +
ë

+) Giải (2):
1 1
( 1 2) (1 2 )
1 2 1 2
(2) ( 1) 0 ( 1) 0
( 2 2 )(1 1) ( 2 2 )(1 1)
1 1
1 2 1 2
( 1)[1 ] 0 1.Vay PT(1) có 2 nghiem x=0, x=1.
( 2 2 )(1 1)
x x
x x
x x
PT x x
x x x x

( )
3 2
3
3 2
3
3 1
3 1 1
1
x x
a x x x x a
x x
+ -
Û = Û + - + - =
- -

Xét hàm số g(x) =
3 2
3 1
x x
+ -
>0 , đồng biến trên
[
)
1;
+¥

h(x) =
(
)
3

f
³ =
.Vậy a
3
³
thì phương trình có nghiệm .