MỤC LỤC
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
6
6
6
6
6
6
7
7
10
11
11
11
12
1
12

Lập đề cương chi tiết các vấn đề của đề tài cần làm sáng tỏ.
Phân tích, tổng hợp, đánh giá các nguồn tài liệu đã thu thập.
Sắp xếp thành một đề tài hoàn chỉnh.
3
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
1. Đối tượng
Sự vận dụng các quy luật, cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật
trong toán học.
2. Phạm vi
Do thời gian không cho phép nên chỉ nghiên cứu “quy luật phủ định của
phủ định”, cặp phạm trù “cái chung và cái riêng”, “nội dung và hình
thức”
2. NỘI DUNG
1. Quy luật phủ định của phủ định
1. Khái niệm
Phạm trù là những khái niệm rộng nhất phản ánh những mặt, những
thuộc tính, những mối liên hệ chung, cơ bản nhất của các sự vật và hiện
tượng thuộc một lĩnh vực nhất định.
Các phạm trù của phép biện chứng duy vật là những khái niệm chung
nhất phản ánh những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ cơ bản
và phổ biến nhất không phải chỉ của một lĩnh vực nhất định nào đấy của
hiện thực, mà của toàn bộ thế giới hiện thực, bao gồm cả tự nhiên, xã hội
và tư duy.
Phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình
vận động và phát triển.
Phủ định biện chứng là phạm trù triết học dùng để chỉ sự phủ định tự
thân, là mắt khâu trong quá trình dẫn tới sự ra đời sự vật mới, tiến bộ
hơn sự vật cũ.
Quy luật phủ định của phủ định nêu lên mối liên hệ, sự kế thừa giữa
cái khẳng định, nhờ đó phủ định biện chứng là điều kiện cho sự phát

Lobasepki, một mặt phủ định hình học Oclit nhưng mặt khác lại là sự
mở rộng hình học Oclit; hình học Oclit trở thành trường hợp giới hạn
của hình học Lobasepki khi góc nhọn giữa hai đường thẳng song song
5
với một đường thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm ngoài a, dần tới 0.
2. Cái chung và cái riêng
1. Khái niệm và mối liên hệ
1. Khái niệm
Cái riêng là phạm trù chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quá
trình nhất định.
Cái chung là phạm trù triết học dùng để chỉ những mặt, những
thuộc tính không những có một kết cấu vật chất nhất định, mà còn
được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ
khác.
2. Mối liên hệ
Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng mà biểu
hiện sự tồn tại của mình.
Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung.
Cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là
cái bộ phận, nhưng sâu sắc hơn cái chung.
2. Trong toán học
1. Các phát minh lý thuyết chủ yếu là những sự mở rộng
Người ta đã sắp xếp chương trình học toán nói chung là dẫn dắt
học sinh từ những trường hợp riêng rồi khái quát dần lên những cái
chung như từ số tự nhiên rồi đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam
giác vuông rồi đến tam giác thường, từ tam giác rồi đến tứ giác, từ
hàm lượng giác các góc nhọn rồi đến hàm lượng giác các góc suy
rộng, Khi làm bài tập học sinh phải vận dụng những khái niệm
chung, những định lý chung vào các trường hợp riêng cụ thể cho từng
bài.

3. Một cái chung, đem đặc biệt hóa từng bộ phận khác nhau, bằng
những cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau:
Ví dụ:
7
+ Một tứ giác đem đặc biệt hóa theo các tính chất và quan hệ giữa
các cạnh và các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình
thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Đặc biệt hóa tứ giác bằng cách cho
một cạnh triệt tiêu, hoặc bằng cách cho một góc đạt giới hạn 180
0
để
có tam giác.
+ Bài toán con bướm:
Cho I là trung điểm của dây cung PQ của đường tròn (O;R). Qua I vẽ 2 dây cung
AB và CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AC và BD với PQ. Chứng minh
rằng: IM = IN.
Tuy đây là bải toán trong hình học Euclide nhưng ta vẫn có thể phát biểu bài toán
này trong hình học affine như sau:
Bài toán affine: Cho I là trung điểm của dây cung PQ của elip (E). Qua I vẽ 2
dây cung AB và CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AC và BD với (d). Chứng
minh rằng I là trung điểm của MN
Bổ sung thêm đường thẳng vô tận (l) . Để đơn giản ta dùng chung ký hiệu cho
đường thẳng xạ ảnh và đường thẳng affine tương ứng sau khi bổ xung điểm vô
tận, ta được bài toán xạ ảnh như sau:
8
Bài toán xạ ảnh:Cho conic (S). Một đường thẳng d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt
PQ. Một đường thẳng (l) tùy ý cắt (d) tại J. Gọi I là điểm liên hợp với J đối với
conic (S). Hai đường thẳng phân biệt (khác d) qua I cắt (S) tại A, B và C, D. Gọi
M AC d
= ∩
,

Qua bài toán con bướm nêu trên ta thấy từ bài toán xạ ảnh, khi chọn đường thẳng
vô tận khác nhau thì sẽ thu được các bài toán khác nhau.
Chú ý: Khi nói đến “cái” thì phải hình dung đó là một tổng thể có
nhiều bộ phận và giữa các bộ phận đó có những quan hệ. Vì vậy nhìn
một cái “riêng” theo nhiều quan điểm khác nhau thường trước hết là nhìn
từng bộ phận, từng quan hệ đó theo nhiều cách khác nhau, sau đó tổ hợp
lại các cách nhìn từng bộ phận, từng quan hệ đó thành những cách nhìn
khác nhau về “cái riêng” đã cho.
3. Ý nghĩa
Tập nhìn một cái “riêng” theo nhiều góc độ khác nhau là một điều
rất quan trọng đối với việc rèn luyện óc sáng tạo toán học.
Trong dạy học bằng cách tổng quá hóa rồi đặc biệt hóa, ta có thể tạo
ra hàng trăm bài toán thoạt nhìn cứ tưởng là khác nhau, nhưng thực ra
chúng chỉ là một. Tập cho học sinh tư duy tổng quát hóa và đặc biệt hóa
để thấy các trường hợp riệng, cũng như từ các trường hợp riêng mà nhìn
ra trường hợp tổng quát của nó, như vậy học sinh sẽ cảm thấy học một
mà biết mười, các em sẽ thích thú tìm tòi, và tạo cảm hứng tự mình sáng
tạo ra các bài toán mới.
10
Tập cho học sinh phân biệt cái chung, cái riêng để phát hiện ra
thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trưng của một khái niệm. Từ đó
phân chia khái niệm. Việc nắm vững cách phân chia khái niệm cũng giúp
cho việc giải các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán biện luận
theo tham số, bài toán chứng minh bằng phản chứng, một cách chính
xác và đầy đủ, không bỏ sót trường hợp. Ví dụ phân chia các tập hợp số
3. Nội dung và hình thức
1. Khái niệm và mối quan hệ
1. Khái niệm
Nội dung là phạm trù chỉ tổng hợp tất cả những mặt, những yếu
tố, những quá trình tạo nên sự vật.

dương
không
nguyên
Số
nguyên
âm
Số âm
không
nguyên
tố của sự vật đó.
2. Mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức
Nội dung và hình thức luôn gắn bó chặt chẽ với nhau trong một
thể thống nhất.
Nội dung giữ vai trò quyết định đối với hình thức trong quá
trình vận động và phát triển của sự vật.
Nếu hình thức phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều
kiện thuận lợi thúc đẩy nội dung phát triển; nếu không phù hợp với
nội dung thì hình thức sẽ ngăn cản, kìm hãm sự phát triển của nội
dung.
2. Trong toán học
1. Cùng một nội dung có thể chứa đựng trong nhiều hình thức khác
nhau:
Trong toán học hiện đại, phương pháp tiên đề đã trở thành một
văn phong để trình bày các lý thuyết toán học. Mỗi hệ tiên đề có
nhiều mô hình. Mỗi mô hình là một hình thức chứa đựng nội dung
hàm ẩn trong hệ tiên đề. Gần gũi nhất đối với mọi người là hai mô
hình của hình học Oclit rất phổ biến trong nhà trường: hình học tổng
hợp với các hình và những suy diễn trên các hình đó để tìm ra các
tính chất của chúng; hình học giải tích với các tọa độ, các phương
trình, các bất phương trình, các đẳng thức và bất đẳng thức nhờ đó

nhưng không có nghĩa là có thể tùy tiện khi suy nghĩ để tìm ra những
hình thức khác nhau của cùng một nội dung, mà khi đi tìm hình thức
diễn tả nội dung, tư duy con người vẫn luôn bị nội dung chi phối, coi
nội dung là kim chỉ nam cho việc tìm tòi.
Ví dụ: Trong hai mô hình của hình học Lobasepki, thì độ dài
được biểu diễn bằng logarit là vì chỉ có cách đó thì định nghĩa về độ
dài của đoạn thẳng mới thỏa mãn được các tiên đề của hình học
Lobasepki.
Hình thức ảnh hưởng trở lại nội dung. Mỗi hình thức mang đến
cho việc nghiên cứu nội dung những khó khăn và thuận lợi riêng.
13
Ví dụ, nghiên cứu hình học Oclit có thể dùng phương pháp tổng
hợp hoặc phương pháp giải tích. Phương pháp tổng hợp có cái hay
là huy động được nhiều trí tưởng tượng không gian và chính trí
tưởng tượng đó nhiều khi giúp ta tìm được các mắt xích logic nối giả
thiết với kết luận, đưa đến những lời giải hay, gọn, đẹp. Nhưng
phương pháp tổng hợp cũng có cái dở là mỗi bài toán hình học lại
đòi hỏi một sự sáng tạo ra phương pháp giải riêng nhờ vào trực giác
mà tìm ra hoặc qua việc phân tích cả giả thiết và kết luận để tìm
cách xây dựng cái cầu logic nối hai bên lại. Phương pháp tổng hợp
lại ít khả năng đi vào cái vô cùng bé và cái vô cùng lớn nên dễ bị
trực giác đánh lừa, do đó dễ mắc sai lầm, dễ bỏ sót các nghiệm.
Chẳng hạn với phương pháp tổng hợp thì chỉ nghiên cứu được sự
tiếp xúc bình thường, khó mà nghiên cứu được sự mật tiếp, sự thái
tiếp giữa các đường, các mặt vì đối với trực giác thì tiếp xúc bình
thường hay mật tiếp cũng như nhau. Phương pháp tổng hợp còn gây
khó khăn ở chỗ phải phân biệt nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau,
chẳng hạn đối với các đường bậc hai không suy biến phải chia ra ba
trường hợp (elip, hypebol, parabol). Phương pháp tổng hợp cũng
không cho phép đưa được các phần tử ảo vào nên cũng phải phân

những người nghiên cứu (trong con người giáo viên) có khả năng diễn tả
một nội dung ra thành nhiều hình thức khác nhau, có những sản phẩm
phụ trong công trình nghiên cứu, mà còn có khả năng đi sâu vào tư duy
sáng tạo để hướng dẫn học trò biết “tư duy”, lại có nhiều phẩm chất để
giáo dục học trò nâng cao sức sáng tạo, trong đó phẩm chất “có tư
tưởng” tiến công là một phẩm chất rất quan trọng.
Cùng một số (một nội dung), học sinh tiểu học nhiều khi đã phải
diễn tả nó ra thành những hình thức khác nhau để tính toán cho nó
nhanh, ví dụ như học sinh lớp một, khi phải cộng thêm “chín” thì thấy
khó vì “chín” là số lớn (đối với các em) nên phải dùng que tính mới làm
được, em nào thông minh sẽ viết “chín” không phải dưới hình thức 9 mà
dưới hình thức 10-1 để biến phép cộng thêm chín (khó) thành hai phép
cộng thêm mười rồi trừ đi một (cả hai đều dễ). Một cách vô ý thức em
nào thông minh như vậy, thực ra đã vận dụng triết học tư duy biện chứng
15
về mối quan hệ qua lại giữa nội dung và hình thức; một nội dung (chín)
có thể chứa đựng trong nhiều hình thức (9 và 10-1) và hình thức tác
động trở lại nội dung (hình thức 10-1 làm cho phép cộng thêm chín trở
lên dễ hơn). Dĩ nhiên, học sinh lớp một không thể hiểu nổi tư tưởng triết
học đó nhưng nếu giáo viên thần thoại hóa “chín” thành một cô tiên có
phép biến hóa thần thông, khi thì hiện ra thành một có gái có cái lưng
ong (9), khi lại hiện ra một cái cầu bắc qua sông (10-1).
Hoặc khi phải tính 8+9+6+2 thì học sinh viết tổng trên dưới một hình
thức khác 8+2+10-1+6 (thực chất là vận dụng luật giao hoán của phép
cộng) để tính nhẩm cho nhanh, đem 2 đặt cạnh 8 để có 10, đổi 9 thành
10-1 thì có ngay 10+10+5=25.
3. KẾT LUẬN
Phủ định biện chứng không phải là phủ định sạch trơn mà là kế thừa
những cái đã có và bổ sung thêm cái mới, bằng cách phủ định biện chứng ta có
các phát minh mới. Đây là con đường rất hay gặp trong toán học.