Ta bắt đầu với ứng dụng tính giới hạn của khai triển Taylor. Như đã
biết quy tắc L’Hopital là một trong những kỹ thuật quan trọng để tính
giới hạn. Có thể nói một trong các nguồn gốc của quy tắc này xuất phát
từ khai triển Taylor. Việc dùng khai triển Taylor để tính giới hạn bắt
nguồn từ việc tính giới hạn của phân thức

trong đó Để tính được giới hạn ta cần xác định các hệ số có tính chất sau:
+ là các số lớn nhất thỏa mãn
và
Khi đó ta có thể viết

trong đó ta hiểu là đại lượng vô cùng bé cấp cao hơn khi
nghĩa là

Ta có ba tình huống sau xảy ra
+ nếu thì (ví dụ )
+ nếu thì không có giới hạn (ví dụ )
+ nếu thì (ví dụ ).
Ta cũng mong muốn tính được giới hạn

với là các hàm khá tổng quát dựa trên kỹ thuật trên, kỹ thuật sử
dụng biểu diễn “vô cùng bé” hay cũng chính là khai triển Taylor dạng
Peano!
Vẫn đề ta khai triển Taylor như nào?
Câu trả lời: ta khai triển cả
Vấn đề tiếp khai triển đến bậc bao nhiêu?
Câu trả lời: phụ thuộc vào mẫu số
Phụ thuộc như nào?


Công thức này có được nhờ lý luận khá đơn giản sau:
một cây đầy có lá gồm
+ một nút gốc (không là con của nút nào),
+ cây con trái, cũng là cây đầy, với lá và cây con phải, cũng là cây đầy, với
lá.
Ta chia tập các cây đầy lá thành các lớp:
lớp là lớp các cây có cây con trái có lá,
lớp là lớp các cây có cây con trái có lá, .v.v.
Lớp mỗi cây có cách chọn cây con trái, cây con phải nên số phần tử
của lớp

Từ đó cộng tất cả lại ta có công thức truy hồi.
Xét hàm số có khai triển Taylor

trong đó hệ số là các số Catalan.
Giả sử khai triển Taylor của là

Không khó khăn gì ta có
Từ công thức truy hồi có Do đó

Giải phương trình hàm với lưu ý xác định tại ta có

Để tính ta khai triển Taylor hàm

Có