8
SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Khối B
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Phần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số
( )
2
1
x
y
C
x
=
−

1.

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th

t A, B sao cho
độ
dài AB nh
ỏ
nh
ấ
t.
Câu II.
(2
đ
i
ể
m)
1.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −

x
−
+ − − =
+
Câu IV. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc
với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30
0
. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.
Câu V. (1 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa mãn điều kiện
(
)
2 2
2 1
x y
xy+ = +
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
4 4
2 1
x y
P
xy
+
=
+
P h ần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

 
+
 
 
, biết
rằng
2 1
1
4 6
n
n n
A C n
−
+
− = +
.
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng
: 4 0
d x y
− − =
, đường thẳng BC, CD lần lượt đi qua điểm M(4; 0), N(0; 2). Biết tam giác AMN
cân tại A. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip (E) biết rằng có một
đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là
(
)
12 2 3
+

l i m , lim
x x
y y
+ −
→ →
= +∞ = −∞ ⇒
x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

0.25 I.1
+ Đaọ hàm
( )
2
2
' 0, 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
(
)
(
)
;1 , 1 ;
−∞ +∞
.
BBT:

x
x
1
O 1
0.25
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
( )
2
1
2
2
2 2 0(*)
1
x
x
mx m
g x m x mx m
x
≠


= − + ⇔

= − + − =
−


0.25
+ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
(

)
1 1 2 2
; 2 , ; 2
A x mx m B x mx m
− + − +
Theo định lí viét, ta có:
1 2
1 2
2
2
.
x x
m
x x
m
+ =



−
=


( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 1
8
1 1

1
8 16 4 1
AB m AB m
m
 
= + ≥ ⇒ = ⇔ =
 
 
0.25
11
(
)
(
)
2 cos sin 2 cos sin
1 1
sin cos 2 cos cos cos sin
1
cos sin2 sin cos .sin2 sin
x x x x
pt
x x x x x x
x x x x x x
− −
⇔ = ⇔ =
−
+ −
0.25
Điều kiện:
sin 2 0

2 4
x x x x k k
π
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈
ℝ
0.25
II.1
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, pt
đ
ã cho có nghi
ệ
m là
( )
2
4
x k k
π
π

− ≥

(*)
Ta có:
( )
2 2 2 2
2 2 2
8
1 2 2 16 8
64 16
x
x x y x y x
x y x x
≤

⇔ + − = ⇔ − = − ⇔

− = − +

( )
2
8
64 16 3
x
y x
≤


⇔


Vậy h ệ phương trình có hai cặp nghiệm
(
)
(
)
(
)
; 8 ; 8 ; 8 ; 8
x y
= −
0.25
Điều kiện:
2 2
x
− ≤ ≤
(
)
( )
2 2
2
2 4 4 2
6 4 6 4 6 4
2 4 2 2 2 4 2 2
4 4
2
3
2 4 2 2 4 2
x x
x x x
pt

( ) ( ) ( )()
( )
2
4. 2 4 2 2 8 0
4. 2 4 2 2 4 0
2 4. 2 4 2 4 0 2
x x x x
x x x x
x x x x x
⇔ + − − + − =
⇔ + − − − + =
⇔ − + + − + = ⇔ =
Vậy p t đã cho có hai nghiệm x = 2 và
2
3
x
=
0.5
12
M
H
I
E
C
A
D
B
S
K
T

2
.
1 1 2
. 2. ( )
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SAS a a dvtt
= = =
0.25
+ T
ừ
C d
ự
ng CI // DE
2
a
CE DI
⇒ = =
và
(
)
/ /
DE SCI
(
)
(
)
(
)

⇒ = =
0.25
IV
+ Ta có:
2
2
3
.
1 1 . 3
2
. .
2 2
5
2
ACI
a a
CD AI a
S AK CI CD AI AK
CI
a
a
= = ⇒ = = =
 
+
 
 
Kẻ KM//AD
1 1
( )
2 3

19
d ED SC =
0.25
V
Đặt
t xy
=
. Ta có:
( )
2
1
1 2 2 4
5
xy x y xy xy xy
 
+ = + − ≥ − ⇒ ≥ −
 
Và
( )
2
1
1 2 2 4
.
3
xy x y xy xy xy
 
+ = − + ≥ ⇒ ≤
 
nên
1 1

7 2 1
4 2 1
t t
f t
t
− + +
=
+
có
( )
(
)
( )
( )
2
2
7
0
' ; ' 0
1 ( )
2 2 1
t t
t
f t f t
t l
t
− −
=

= = ⇔

(
)
( )
1 2 1
3 7
10 2
;
2 2
3 2 2
H
H
x
R AI IH H
y

= −

 
= ⇒ = ⇒ ⇒

 
= −
 


      
(Do I là tr
ọ
ng tâm tam giác
đề

(
)
,B C C
∈ ⇒
tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
7 3 7 3
2 4 5 0
2 2
3 12 0
3 3 3 3 3 3
2 2
y y
x y x y
x y
x x
 
+ −
= =
 

+ − − − =
 
⇔ ∨
  
+ − =
− +

 
= =

0.25
Vậy
2 2 2
3 3 6
; 25 , ; 25 25
5 5 5
A a a B a a AB a
   
− − − ⇒ = −
   
   
0.25
Do đó
2 2
6 100 5 5
4 25 4 25
5 9 3
AB a a a= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± (thỏa mãn đk)
0.25
VIa.
2
Vậy p h ương trình đường thẳng cần tìm là
5 5 5 5
,
3 3
x x= = −
0.25
Điều kiện 2 ,n n
≥ ∈
ℤ

0.5
VII
a
Với n = 12 ta có:
( )
12
12 12
12
3 3 3 12 36 4
12 12
0 0
1 1 1
2 2 2 2
n k
k
k k k k
k k
x x C x C x
x x x
−
− −
= =
     
+ = + = =
     
     
∑ ∑

Số hạng không chứa x ứng với k = 9 là
9 3

Do CD BC⊥ và đường thẳng CD đi qua điểm N(0; 2)
(
)
: 2 0
CD bx a y
⇒ − − =
Vì ABCD là hình vuông nên ta có:
( ) ( )
2 2 2 2
3
5 5 7
, ,
3
a b
a b a b
d A BC d A CD
a b
a b a b
= −
− − −

= ⇔ = ⇔

=
+ +


0.25
Với 3a = -b, chọn a = 1, b = -3, ta có:
:3 8 0 , : 3 4 0 ,

x y
a b
a
b
+ = > > với hai tiêu điểm là
(
)
1
;0,
F c−
(
)
2
;0
F c
(
)
2 2 2
, 0
c a b c
= − >
và hai đỉnh trên trục nhỏ là:
( ) ( )
1 2
0 ; , 0 ;
B b B b
−
0.25
Theo giả thiết ta có hệ:
( )

2
Vậy (E):
2 2
1
36 27
x y
+ =
0.25
(
)
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + = (*)
Xét khai triên:
( )
2 1
1
n
x
+
+ =
0 1 2 2 3 3 4 42 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1


2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 .
n n
n n n n n
n C C C C n C
+
+ + + + +
+ = − + − + + +
Do đó (*)
2 1 2013 1006
n n
⇔ + = ⇔ =
0.5
……………………………… Hết…………………………………