LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x

= −

+ = ⇒

= −





2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1




3 3 3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos ); sin cos (sin cos )(
1 sin .cos )
+ = + − − = − +
x x x x x x x x x x x x

II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Góc I Góc II Góc III Góc IV
sinx
+ + – –
cosx
+ – – +
tanx
+ – + –
cotx
+ – + –

Ví dụ 1.
Tính giá tr
ị
c
ủ
a các hàm l
ượ
ng giác còn l
ạ

2 2
x x= − < <
Hướng dẫn giải:
a)
2 2
1 1 8 2 2
sin cos 1 sin 1 cos
3 9 9 3
x x x x= ⇔ = − = − = ⇒ = ±

Do
π 2 2
0 cos 0 cos .
2 3
x x x< < ⇒ > → =
Từ đó ta được:
sin 1 2
tan
cos 4
2 2
1
cot 2 2
tan
x
x
x
x
x

= = =

⇒
> → =
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

01. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Từ đó ta được:
sin 1
tan
cos 2
1
cot 2
tan
x
x
x
x
x
−

= =



5cos 1
sin cos
sin cos 1
5
5
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x


= ±

=


=
= =

  
⇔ ⇔ ⇔
   
=

  


< < ⇒ ⇒
 
< −


=



d)
1 1
cot tan 2
2 cot
x x
x
= − ⇒ = = −

Ta có
2
2
2
2 2
2
1
sin
sin
cos
sin 2cos
tan 2

   
=

  
= = ±
+ =






Do
2
sin
sin 0
3π
5
2π
cos 0 1
2
cos
5
x
x
x
x
x
−



b)
sin cos 1 cos
sin cos 1 1 sin
x x x
x x x
+ −
=
− + +c)
2 2
sin cos
1 sin cos
1 cot 1 tan
x x
x x
x x
− − =
+ +
d)
tan tan
tan .tan

ôi
ở
ph
ầ
n IV ta
đượ
c:
( )
2
2
2sin cos sin
2sin cos 2sin cos sin
sin cos 1
2 2 2
2 2 2 2 2
, 1
sin cos 1
2sin cos 2sin cos sin
2sin cos sin
2 2 2 2 2
2 2 2
x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x
 
−
− −

x x
− −
= =
+
 
+
+
 
 

T
ừ
(1) và (2) suy ra
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
c)
2 2 2 2 3 3 3 3
sin cos sin cos sin cos sin cos
1 1 1 1
cos sin
1 cot 1 tan sin cos sin cos sin cos
1 1
sin cos
x x x x x x x x

x y x y
x y x y
x y
x y x y y x
x y x y
x y x y
+
+
+
= = = = ⇒
+
+
+
đpcm.
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau
2 2 2
2 2 2
cos cos cot
sin sin tan
x x x
A
x x x
+
=
+

2
cos 2sin (1 sin ) 2(1 sin )
.
(1 sin )cos (1 sin )cos 1 sin

cos cos cot cos
sin sin
cot
sin sin (cos sin )
sin sin tan sin
sin sin .
cos cos
x x x x
x x
x x x x
x x
A x
x x x x
x x x x
x x
x x
+
+
+
= = = = =
+
+
+

 Ta có
2 2 2
cos 2sin (1 sin ) 1 sin 2sin (1 sin ) (1 sin )(1 sin 2s
in ) (1 sin )
(1 sin )cos (1 sin )cos (1 sin 1 sin )cos 2cos 2cos
x x x x x x x x x x

2 2
sin cos cos sin cos sin sin cos
(sin cos )(sin cos sin cos ) cos sin (sin cos ) sin cos
(sin cos )(1 sin cos ) sin cos (sin cos 1) sin cos si
n cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
= + + + −
= + + − + + −
= + − + + − = + −


Ta có
( ) ( )
2 2
4 2 4 2 2 2 2 2
sin 4cos cos 4sin 1 cos 4cos 1 sin 4sin
D x x x x x x x x
= + + + = − + + − +

( ) ( )
2 2
4 2 4 2 2 2 2 2
cos 2cos 1 sin 2sin 1 cos 1 sin 1 sin cos 2 3
x x x x x x x x
= + + + + + = + + + = + + =

Ví dụ 4.
Ch

4
2 4
2 1
1 cot
sin sin
x
x x
− = −

c
c
)
)2
2
2
1 sin
1 2cot
1 cos
x
x
x
+
= +
−

d
d


2 2
2 2
2 2
cos sin
sin .cos
cot tan
x x
x x
x x
−
=
−

g
g
)
)2 2
2
2
1 4sin cos
(sin cos )
(sin cos )
x x
x x
x x
−

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a)
2
1 cos 1
sin 1 cos
x
A
x x
−
= −
+
b)
2 2
2
2
1 sin .cos
cos
cos
x x
B x
x
−
= −
c)
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
x x
C
x x

+ = < <
d)
2 3
π
cos ;
π
2
6
x x= < <
e)
2 3
π
tan cot ;
π
2
3
x x x− = − < < f)
1
π
tan ;
π
2
3
x x
= − < <

Ví dụ 7: Ch
ứ
ng minh các
đẳ



c
c
)
)2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
x
x
x
+
= +
−



d
d
)
)2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
x x
x
x x
−
=
−
b
b
)
)2 2
2 2
1
2 tan cot
sin .cos
= + +
x x
x xc
c
)
)4 4
6 6 4
sin 3cos 1 3
sin cos 3cos 1 2
x x
x x x


2 2 2 4
cos (2sin cos ) 1 sin
+ = −
x x x xVí dụ 9: Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau
a
a
)
)(cos 1 sin )(cos 1 sin ) 2sin cos
+ + − + =
x x x x x x



c
c
)
)4 4 2
cos sin cos (1 tan )(1 tan )
− = − +
x x x x x

Ví dụ 10: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các bi
ể
u th
ứ
c sau không ph
ụ
thu
ộ
c vào x?


b
b
)
)
d
d
)
)

1 cos
x x
B
x
+ +
=
−
, v
ớ
i
12
cos
13
x
= −
và
π
/2 < x <
π

2 2
4 4
2sin sin .cos cos
sin cos
x x x x
C
x x
+ +
=
−

 tan(x + kπ) = tanx  cot(x + kπ) = cotx
Ví dụ 1:
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( ) ( )
π 3π
sin π cos cot 2π tan
2 2
A x x x x
   
= + + − + − + −
   
   

b)
( )
3π 5π
sin .cos 3π .cot
2 2
B x x x
   
= + − +
   
   

c)
(
)
0 0
0 0 0

cot cot 0
2
x x x x x x
 
= − + − + + − = − + =
 
 

b)
( ) ( )
3
π
5
π π π
sin .cos 3
π
.cot sin
π
.cos
π
2
π
.cot 2
π
2 2 2 2
B x x x x x x
       
= + − + = + + − − + +
       
       

tan 360 8
2cos 180 . 8 os 90 8
2
c
C
c
− + − −
= + = +
+
 
+
+ + +
 
 0 0
0
1 2 sin 30 .( cos8 ) 1 cos8 2
tan 8 2 sin 8 sin 8 tan 8 sin 8 tan 8
− −
= + = + =
−

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:


− +

c)
(
)
(
)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75 0
+ − − − − =

Hướng dẫn giải:
a)
11π 21π 9π 29π
sin sin sin sin
10 10 10 10
A
       
= + + − + − =
       
       

9π 21π 9π 21π
sin 2
π sin sin sin 5π
10 10 10 10
       
= − + + − + − =
       
       

cot 55 .tan 55 tan17 .cot17 2
+ + − − − + + +
= =
+ − − − + + −
− + − − +
= = =
+
0
2

c)

(
)
(
)
0 0 0 0
tan105 tan 285 tan 435 tan 75
C = + − − − −

(
)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
tan(180 75 ) tan(360 75 ) tan( 360 75 ) tan 75
tan 75 tan 75 tan 75 tan 75 0
= − + − − − − − − =
= − − + + =

Ví dụ 3:

π
cos cos 2
π
2 2
B x x x x
   
= − + − + − + −
   
   

c)
3
π
3
π
7
π
7
π
cos sin cos cos
2 2 2 2
C x x x x
       
= − − − + − −
       
       

b)
( )
5

sin tan cot
2 2 2
A x x x x
     
= − + − − + −
     
     

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0
sin 270 2sin 450 cos 900 2sin 720 cos 540
B x x x x x
= − − − + + + − + −

3
π
3
π
7
π
tan .cos sin

π
.cos sin 7
π
2 2 2
D x x x x x x
 
     
 
= + − + − + − − −
     
 
 
     
 

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 5: Cho
4 4
98
3sin 2cos .
81
x x+ = Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
4 4

−
=
−

c)
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
1
cot 572 tan( 212 )
− − −
− = −
−
d)
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
+ +
=
+ +

e)
4 4

± =
∓

Ta xét m
ột số các trường hợp đặc biệt.


Trường hợp 1: Với y = x, ta được công thức góc nhân đôi
 sin2x = 2sinx.cosx
 cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2cos
2
x – 1 = 1 – 2sin
2
x

2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−

Hệ quả (Công thức hạ bậc 2):

 cos3x = 4cos
3
x – 3cosx

3
2
3tan tan
tan 3
1 3tan
x x
x
x
−
=
−

Hệ quả (Công thức hạ bậc 3):
3
2
3sin sin 3
sin
4
3cos cos 3
cos
4
x x
x
x x
x
−

Cho a, b là các góc nh
ọ
n th
ỏ
a mãn:

8 5
sin , tan
17 12
a b= =
Tính:
(
)
(
)
(
)
sin , cos , tan
a b a b a b
− + −

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 2

4 49
1 tan tan 1
4 9
x
A x
x
−
−
 
= − = = =
 
 
+ +

b) Ta có:



8 15
sin a cos a
17 17
= → = ±

Do
a
là góc nh
ọ
n
15 8
cos 0 cos tan .

b b


= ±

=
 
⇔
 
 
= ±
+ =




Do b là góc nh
ọ
n nên
5
sin
13
sin 0; cos 0
12
cos
13
b
b b
b


a b
a b
−
−
− = = =
+
+

Ví dụ 2:
Ch
ứ
ng minh các bi
ể
u th
ứ
c sau không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n
a)
2 2 2
π π
cos cos cos
3 3
A x x x
   
= + + + −

       
2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
cos cos sin cos sin cos sin cos sin
4 2 4 4 2 4
x x x x x x x x x
= + − + + + + =

2 2
3 3 3
cos sin
2 2 2
x x
= + =

Cách 2:
Sử dụng công thức hạ bậc:
2 2 2
2π 2π
1 cos 2 1 cos 2
π π 1 cos 2
3 3
cos cos cos
3 3 2 2 2
x x
x
A x x x
   
+ + + −
   

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) Ta có
3 3 3 3 3 3
3cos cos3 3sin sin 3 3cos 4 cos 3cos 3sin 4sin 3sin
cos sin cos sin
x x x x x x x x x x
B
x x x x
− + − + − +
= + = +
3 3
2 2
cos 3cos sin 3sin
cos sin 6 5
cos sin
x x x x
x x
x x
− + − +
= + = − − + =

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ 3:
Chứng minh các đẳng thức sau
a)
(
)
(
)
2 2

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin sin sin .cos sin .cos
tan tan
cos cos cos .cos
a b a b b a
a b
a b a b
−
− = − =

2 2 2 2
(sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( )sin( )
cos .cos cos .cos
a b b a a b b a a b a b
a b a b
− + − +
= =

b)
( )
2

2 4 4
1 1 cos 4
sin 2 1 cos 4
sin 2
4 2
x x
x x x x
x
x
x x
x
   
− − +
   
+ −
+
   
= = = =
−
−

Ví dụ 4:

Cho tam giác ABC, ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau:

A B C
+ + = + + =sin cos cos sin cos cos sin cos cos
cos cos cos
cos (sin cos sin cos ) sin cos cos
cos cos cos
cos sin( ) sin cos cos cos .sin sin cos cos
cos cos cos cos cos cos
sin (cos cos cos )
cos cos
A B C B A C C A B
A B C
C A B B A C A B
A B C
C A B C A B C C C A B
A B C A B C
C C A B
A
+ +
=
+ +
=
+ + +
= =
−
=
[ ]
sin cos( ) cos cos

⇔ + = − + ⇔ + + = →
V. CÔNG BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
π π 2
sin sin sin 2
8 8 2
x x x
   
+ − − =
   
   
b)
sin (1 cos 2 ) sin 2 .cos
x x x x
+ =

c)
1 2
tan
tan tan 2
x
x x
− = −
d)
1
tan 1 tan

π π π π
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
C x x x x
       
= − + − + −
       
       

π 2π
tan tan tan
3 4
D x x x
   
= + + + +
   
   

2
π
1 sin 2sin
4 2
4 cos
2
x
x
E
x
 
+ − −

2
2(sin 2 2cos 1)
cos sin cos 3 sin 3
x x
I
x x x x
+ −
=
− − +

cos sin cos sin
cos sin cos sin
x x x x
J
x x x x
+ −
= −
− +

sin sin 3 sin 5 sin 7
cos cos 3 cos5 cos 7
x x x x
K
x x x x
+ + +
=
+ + +

1 1 1 1 1 1
π

   

c)
(
)
(
)
2 2
2 2
sin sin
cos .sin
1 tan .cot
a b a b
a b
a b
− +
= −
−
d)
(
)
(
)
2 2
2 2
cos cos
1 tan . tan
cos .cos
a b a b
a b

Ch
ứng minh:
 
   
 
  
  
 
+ =
+
.
Ví dụ 5:
Chứng minh các đẳng thức sau:
g)



 

  
 


π
π
π
 
+ +
 
 

= −
 
−  
k)
 
 
 
 
 
  
 
   
−
=
−

c)
    
 

     

− =
d)
 
 
  

    
  


    
   
− +
=
− −

c)


 


 
 
 
 
− = +
d)
 

  
  

  
−
− =
+

e)

 
 
b)
π
2sin 2x 3 0
6
 
− + =
 
 

c)
π
2cos x 3 0
3
 
+ − =
 
 
d)
π 2
cos x
3 2
 
− + =
 
 

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)


Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a)
2 2
π
sin x cos x
4
 
− =
 
 
b)
2
2cos x 5sin x 4 0
+ − =

c)
(
)
2
3 tan x 1 3 tan x 1 0
− + + =
d)
(
)
2
4cos x 2 3 1 cos x 3 0
− + + =
sin cos 1 2sin x
2 2
+ = −
Ví dụ 5: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
6 6
2(cos x sin x) sin x.cos x
0
2 2sin x
+ −
=
−

b)
4 4
sin x cos x sin x.cosx 0
+ + =

c)
4 2
1
cos x sin x
4
= −
d)
( )

x x
b)
8
5
3
cos
3
sin
44
=+
xx

c)
6 6
sin cos cos 4
+ =
x x x
d)
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4
+ = +
x x x x

Ví dụ 7:
Giải các phương trình sau
a)
2 2 2
π
sin tan cos 0
2 4 2

x x x x LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
•
••
• Dạng phương trình:
sin cos
+ =
a x b x c

•
••
• Cách giải: Chia hai vế phương trình cho
2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos+ → + =
+ + +
a b c
a b x x
a b a b a b

+ Đặt
2 2 2 2 2 2

b c
thì ta sử dụng phép nhóm nhân tử chung.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)
cos x 3sin x 2
+ =
b)
6
sin x cos x
2
+ =

c)
3 cos3x sin 3x 2
+ =
d)
sin x cos x 2 sin5x
+ =

Ví dụ 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
(
)
(
)

− = −
b)
(
)
tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x
− = +

c)
(
)
3 1 cos2x
cos x
2sin x
−
=
d)
2
1
sin 2x sin x
2
+ =

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
a)
1
cos x 3sin x
cos x
+ = b)
2
π 6π

+ Xét
cos 0,
≠
x
chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
ta được
2 2
tan tan (1 tan ) 0 tan
+ + + + = ⇒ ⇒
a x b x c d x x x

Tài liệu bài giảng:

03. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) 2sin
2
x + sinx.cosx – 3cos
2
x = 0 b) 2sin
2
x – 3sinx.cosx + cos
2

+ − − =

d)
3sin
2
x – 4 sinx.cosx + 5cos
2
x = 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
3
3sinx cos x
3sinx cos x 1
+ =
+ +

b)
2
cos x 2sin x.cos x
3
2cos x sinx 1
−
=

ng trình sau
a)

( )
sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x
− = +
b)
2
2sin x 3 sin 2x 3
+ =

Bài 4:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
3 1
8cos x
sin x cos x
= +b)

π
3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 2
6

4sin x 3 3 sin x cos x 2cos x 4
+ − =

b)
2 2
cos x 3 sin 2x 1 sin x
− = +

Bài 7:
Giải các phương trình sau
c)
1
4sin x 6cos x
cos x
+ =
d)
2
π 3π
4sin x cos x 4sin (x
π) 2sin x cos(π x) 1
2 2
   
− + + + + + =
   
   

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
3
6sin x 2cos x 5sin 2x cos x
− =
d)
3 2
cos x sin x 3sin x cos x 0
+ − =

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a)
3 3 2
cos x 4sin x 3cos x.sin x sin x 0
− − + =
b)
3 3 2
4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0
+ − − =

c)
tanxsin
2
x – 2sin
2
x = 3(cos2x + sinxcosx)
d)
3 1
2sin x 2 3 cos x
cos x sin x
+ = +


Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
( )
4 4
sin x cos x 1
tanx cot x
sin 2x 2
+
= +
b)
6 6 2
13
cos x sin x cos 2x
8
− =
c)
4 4
7 π π
sin x cos x cot x .cot x
8 3 6
   
+ = + −
   
   
d) cos
6
x + sin
6
x = 2(cos
8

d)
2cos
3
2x – 4cos3xcos
3
x + cos6x – 4sin3xsin
3
x = 0

Bài 3:

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
cos
3
x + sin
3
x = cosx – sinx
b)
cos
6
x + sin
6
x = cos4x
Bài 4:
Gi

x + sin
4
x = cosx + cos
2
x + cos
3
x + cos
4
x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau
a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
c)
π
sin 2x 2sin x 1
4
 
+ − =
 
 
d)
tan x 2 2sinx 1

)
2 sinx cos x tanx cot x
+ = +
d)
(1 + sinx)(1 + cosx) = 2
Ví dụ 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2
b)
sinxcosx + |sinx + cosx| = 1
c)

(
)
2 sin 2x sinx cos x 2
+ =
d)
|sinx – cosx| + 4sin2x = 1
e)
2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0
− + + =

DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH F(SIN2X, COS2X, SINX, COSX)
Ví dụ 1:


3 sin cos
−
= −
+
x
x
x x

Ví dụ 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
cos 2 3cos 3(3sin sin 2 ) 4
x x x x
+ = − +
b)
2
2sin 3 2 sin sin 2 1
1 0
sin 2 1
x x x
x
+ − +
+ =
+

c)

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
c)
sin 2 5cos 6(sin cos ) 3 0
− + + + =
x x x x d)
cos3 3 sin cos 0
+ − =
x x x
Bài 2: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
1 1 2
sin 2 cos sin 4
x x x
+ =

b)
3 2
cot 2 2cot 4 3
sin 2 sin 4
x x
x x
+ = − +

c)
( )
1 2cos
2 2 sin
cos sin cos sin cos
x
x

Bài 4: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
2
π
2sin 3 1 8sin 2 .cos 2
4
 
+ = +
 
 
x x x

b)
π
sin .sin 4 2 cos 3 cos .sin 4
6
 
= − −
 
 
x x x x x

Bài 5: Giải các phương trình sau (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
2cos 2 sin 2 2 sin cos
x x x x
− = +


x x
x
x x
+
− =
−

Bài 7*: Giải các phương trình sau:
a)
2 2
tan 8cos 3sin 2
x x x
= +

b)
2
sin cos cos
x x x
+ =

Bài 8*: Giải phương trình

2
1 sin 3 2 cos 2
sin cos
1 cos
x x
x x
x
+

= + −
x x x x

b)
2 2 2
cos 3 cos 3cos 2 cos 2 2
+ + + =
x x x x

c)
2
sin 2 2 tan tan
= +
x x x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)
2
2cos 2
4cot 4 cot
1 cos 2
= +
+
x
x x
x

b)
2
2

tan 8cos 3sin 2
= +
x x x

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
a)
2 2
4cos 3 tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0
+ − + + =
x x x x

b)
2
4cos 2 2 cos 2 6 4 3sin
+ + =
x x x

c)
2
3 sin 2 2sin 2 cos 2 2 2 sin
+ = + +
x x x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau
a)
3
cos 2 cos 6 4(3sin sin 1) 0
− + − + =
x x x x

(
)
1 tan 1 sin 2 1 tan
x x x
− + = +

Bài 4: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
Tài liệu bài giảng:

04. MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PT LƯỢNG GIÁC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a)
2
2
5
3 12sin 2 cos 4
1 tan
x x
x
− − = −
+
b)
4 6
cos cos 2 2sin 0
x x x
− + =

Bài 5: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)

3(cos 2 cot 2 ) π π
4sin cos
cot 2 cos 2 4 4
x x
x x
x x
+
   
= + −
   
−
   
b)
sin 3 sin
sin 2 cos 2
1 cos 2
x x
x x
x
−
= +
−

Bài 7: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
sin8x + cos4x = 1 + 2sin2xcos6x
b)
(
)
1

− + − + + =
   
 
   
 

Bài 12*: Giải phương trình
6
π
32cos sin 6 1 3sin 2
4
x x x
 
+ − = −
 
  LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

KĨ THUẬT 2
. ĐẶT ẨN PHỤ
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a)
3

π π 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
   
− − − =
   
   
x x x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
3
π
8cos cos 3
3
 
+ =
 
 
x x
b)
3
π
1
π
3
sin sin
10 2 2 10 2
   
− = +

   
x x
f)
3
2sin sin 0
4
+ =
x
x
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
sin 3 cos sin 3 cos 2
+ + + =
x x x x
b)
6
3sin 4 cos 6
3sin 4 cos 1
+ + =
+ +
x x
x x

c)
2
2
1 1
cos cos
cos cos
+ = +x x

5sin 3 3sin 5
x x
=
b)
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x
− =
Bài 3: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)a)
3 3
7 tan 2 tan 3
x x
+ + − =
b)
2
sin sin sin cos 1
x x x x
+ + + =

Bài 4: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
tan 3cot 8cos 2 sin 3 cos
x x x x x

+
− =
−


Bài 6: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)

2 2
π
sin .sin cos .sin 1 2 cos
2 2 4 2
x x x
x x
 
− + = −
 
 
  b)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x

Tài liệu bài giảng:


x x x x x

Bài 9: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)a)
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
+ +
=
+ +
x x x
x x x

b)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x

Bài 10: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2
2

2 2
π
2sin 2 3 cos 4 3 4sin
4
 
− + = −
 
 
x x x

Bài 12: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2
π
2 tan .sin 3 sin
4 2
 
+ =
 
 
x
x x
b)
3 2
cos cos
2(1 sin )
sin cos
−
= +
+

cos9 2cos3 2 sin 3 3sin
4
 
+ + + =
 
 
x x x x

b)
2
π
5
π
3sin 4sin sin 8cos 4
2 2 2
   
− + + + =
   
   
x
x x x

Bài 15*:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
( )
2

x
x x x x x x x
x
+ + =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

KĨ THUẬT 3
. XỬ LÍ PHƯƠNG TRÌNH CÓ ĐIỀU KIỆN
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a)
6 6
4(cos sin ) 6 cos 2 2 cos 4
0
sin 2
+ − +
=
x x x x
x

b)
1 sin 2sin 2 2cos
cos 2 3(1 cos )

x
x x
b)
3
8sin .cos sin 4 3
tan 2 sin
cos 2
+
= +
x x x
x x
x

c)
4cos 3 sin 2
2(1 sin )
1 sin
−
= +
−
x x
x
x
d)
2cos 4
cot tan
sin 2
= +
x
x x

2 sin 2 cos tan
4 2
0
2 cos 1 2 sin 1
   
− − + +
   
   
=
+ +
x x x
x x
d)
1 3
π
4 cos
cos sin 6
− = +
 
 
 
x
x x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tìm nghiệm trong
(
)
0;

(
)
2
3 2sin sin 2 2 sin 3 cos
+ − = −
x x x x

Bài 3: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)

sin
cos 2
cos 1
1 tan cos tan
2 2
x
x
x
x x
x
+
−
 
+ = +
 
 


4 2
1 2

2
2 sin 2 cos 2 3 2 sin
1
(sin cos )
− − +
= −
+
x x x
x x

b)
2 2
π
sin .sin 2 cos sin 2 1 2 cos ( )
4
− + = −
x x x x x

Bài 6: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2 2
π
2cos 2 3 cos 4 3 4sin
4
 
− + = −
 
 
x x x


 
+ −
 
 
x x x
x x
x

b)
2
π
sin 3 3sin 2(2sin 1)cos 2 sin
4
x x x x x
 
+ = + + −
 
 

Bài 8: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
2 2 3
sin .cos 2 cos tan 1 2 sin 0
+ − + =
x x x x x

b)
cos

0
1 cot
− +
=
+
x x x
x

Bài 11: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
(
)
1 1
2 cos 2 3 cot 2
sin 2 cos
+ = +x x
x x
b)
1
cot 2 2 tan 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = +

Bài 12: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
2
2sin (1 cos 2 ) 2cos (sin cos )
+ = + −

2
2
sin 2
1 cos 2 (3cos 2)(sin 2)
4
+ + = − +
x
x x x

Bài 14: Giải các phương trình sau: (ôn tập tổng hợp)
a)
1 sin 2 1 tan
2 3
1 sin 2 1 tan
+ +
 
+ =
 
− −
 
x x
x x
b)
tan .cos 3 2 cos 2 1
3(sin 2 cos )
1 2sin
+ −
= +
−
x x x