CHƯƠNG VII

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN

Cách giải : Áp dụng các công thức

A
0B
AB
0
A
BA
≥≥
⎧⎧
=⇔ ⇔
⎨⎨
B
=
=
⎩⎩2
B0
AB
A
B
≥


()(
22
sin x 0
5cosx 2cos x 1 4 1 cos x
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
−−=−
⎪
⎩
)
=

2
sin x 0
2cos x 5cosx 3 0
≤
⎧
⇔
⎨
+−
⎩

()
sin x 0
1
cosx cosx 3 loại


Bài 139 : Giải phương trình
333 3
sinx cosx sinxcotgx cosxtgx 2sin2x++ + =

Điều kiện :
cos x 0
sin 2x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
sin 2x 0
≠
⎧
≠
⎧
⎪
≠⇔ ⇔ >
⎨⎨
≥
⎩
⎪
≥
⎩

Lúc đó :
()
332 2
* sinxcosxsinxcosxcosxsinx 2sin2x⇔++ + =
()
(

⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
+≥
+≥
⎪⎪
⎜⎟
⎜⎟
⇔⇔
⎝⎠
⎝⎠
⎨⎨
⎪⎪
=
>
+=
⎩
⎩

()
⎧π ⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨

22
sin 3x 0
4
1 8sin 2x cos 2x 4 sin 3x
4
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎛⎞
⎪
+=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
+()
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪

⎝⎠
⎨
⎪
++ −=+
⎩
)⎧π⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
ππ
⎪⎪
= = +π∨ = +π ∈
⎪⎪
⎩⎩

sin 3x 0 sin 3x 0
44
15
sin 2x x k x k , k
21212

So lại với điều kiện

⎢
−
⎢
⎣
1 , nếu k chẵn nhận
1, nếu k lẻ loại

π
•=+π
5
Khi x k thì
12

ππ π
⎛⎞⎛ ⎞⎛
+= +π= −+π
⎜⎟⎜ ⎟⎜
⎝⎠⎝ ⎠⎝
3
sin 3x sin 3k sin k
42 2
⎞
⎟
⎠(
)
()
−

22
2 2 1 sin 2x 4 sin 2x
sin 2x 0
⎧
⎪
+− =
⇔
⎨
≥
⎪
⎩

22
1 sin 2x 2sin 2x 1
sin 2x 0
⎧
⎪
−=
⇔
⎨
≥
⎪
⎩
−

242
2
1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1
1
sin 2x

−
=∨ =
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
33
sin 2x sin 2x
22
2
sin 2x
2

3
sin 2x
2
⇔=

ππ
⇔ =+π∨ = +π∈

2
2x k2 2x k2 , k
33

ππ

cos
3
π
=+ =+
π

1
tsinx2sinx
33
cos
3
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⇔= + = +
⎜⎟ ⎜⎟
π
⎝⎠ ⎝⎠

()
+=*thành t t 2
⇔=−
−≥ ≤
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
=− + − +=
⎩⎩
≤
⎧
⇔⇔=
Bài 143
: Giải phương trình
()
(
)
(
)
++=+3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3 cos x *
Chia hai vế của (*) cho
cos x 0
≠
ta được
() ()
(
)
* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔++=+
Đặt
utgx1vớiu=+ ≥0
x

Thì
2
u1tg−=
(*) thành
()
(
)
22


,xkk



=+
Baứi 144 : Giaỷi phửụng trỡnh
()
()
1
1 cos x cos x cos2x sin 4x *
2
+ =()
()
* 1 cosx cosx cos2x sin2xcos2x + =



+

=

cos x 0
hay 1 cos x cos x sin 2x






=+


+ =


2
cos x 0
cos x 0
hay sin 2x 0
xk,k
42
12(1cosx)cosxsin2x(VT1VP)











= + = +

hay hay
cosx0( sin2x0) cosx1( sinx0 sin2x0)
=+ xh,h
4

Baứi 145
: Giaỷi phửụng trỡnh
(
)
(
)
(
)
33
sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *++ +=
()
33
sinx cosx cosx sinx
*sinx cosx 2sinxcos
sin x cos x
++

+=


x



=
+



sin x 0
sin x cos x 0
4
sin 2x 1
xk,k
4⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪
⎪
⎝⎠
⇔
⎨
ππ
⎪
+=+π∈
⎪
⎩

sin x 0

Bài 146 : Giải phương trình
()
cos 2x 1 sin 2x 2 sin x cos x *++ = +
Điều kiện cos 2x 0 và sin x 0
4
π
⎛⎞
≥+
⎜⎟
⎝⎠
≥

Lúc đó :
() ()
2
22
* cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x⇔−++=+

() ()
22
22
cos x sin x cos x sin x 2 cos 2x cos x sin x⇔−++ + +()
4sinx cosx=+
()
(
)
(

⎣

2
tgx 1 cos x 4 cos x 5 0⇔=−∨ + −=

(
)
tgx1cosx1cosx5loại⇔=−∨ =∨ =−

π
⇔=−+π∨= π∈

xkxk2,k
4

Thử lại :
()
ππ
⎛⎞
•=−+π = − =
⎜⎟
⎝⎠
x k thì cos 2x cos 0 nhận
42

Và
()
sin x sin k 0 nhận
4
π

**
sin x cos x 0
⎧
+=
⎪
⇔
⎨
+≥
⎪
⎩

2
cos x 1
cos 2x 2cos x 1 1
sin x cos x 0
=
⎧
⎪
⇔=−
⎨
⎪
+≥
⎩
=
π∈

=
⎧
⇔⇔=
⎨

cos x sin x cos x sin x 2

+>
⎧
⎪
⇔=−
⎨
+
=
⎪
⎩
cos x sin x 0
tgx 1 hay
2cosx2cos2x4

+>
⎧
⎪
⇔=−
⎨
+
=
⎪
⎩
cos x sin x 0
tgx 1 hay
cos x cos 2x 2

=
⎧

3
0
1tgx
−
=
−

c/
sin x 3 cos x 2 cos 2x 3 sin 2x+=++

d/
2
sin x 2sinx 2 2sinx 1
−
+= −

e/ =−
−
3tgx
23sinx 3
2sinx 1

f/
24
sin 2x cos 2x 1
0
sin cos x
+−
=


()
22
gx 2cos2x3cos2x 1=+. Tìm tất cả các giá trò m để phương
trình f(x) = g(x) có nghiệm.
()
ĐS : 1 m 0≤≤

4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
12cosx 12sinx m+++=(
)
ĐS : 1 3 m 2 1 2+≤≤ +

B) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách giải : 1/ Mở giá trò tuyệt đối bằng đònh nghóa
2/ Áp dụng

A
BA•=⇔=±B≥
≥≥
⎧
⎧⎧
•=⇔ ⇔ ⇔ ∨
⎨⎨ ⎨⎨

⎪
⇔
⎨
=− +
⎪
⎩⎧
≤
⎪
⇔
⎨
⎪
−=− +
⎩
22
1
sin 3x
3
1 sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x⎧
≤
⎪
⇔
⎨
⎪
−=

k
x,k
3

Bài 148 : Giải phương trình
(
)
3sinx 2 cosx 2 0 *+−=

()
*2cosx23sin⇔=−x22
23sinx 0
4cos x 4 12sinx 9sin x
−≥
⎧
⇔
⎨
=− +
⎩

()
⎧
≤
⎪
⇔
⎨
⎪

⎪
=∨ =
⎪
⎩
2
sin x
3
12
sin x 0 sin x
13⇔=
⇔=π∈

sin x 0
xk,k

Bài 149 : Giải phương trình
(
)
sin x cos x sin x cos x 1 *++=

Đặt tsinxcosx 2sinx
4
π
⎛⎞
=+= +
⎜⎟
⎝⎠

sin 2x 0
k
x,k
2

Bài 150 : Giải phương trình
(
)
sin x cos x 2sin 2x 1 *−+ =

Đặt
()
t sin x cos x điều kiện 0 t 2=− ≤≤

Thì
2
t1sin2=− x
()
()
2
*thành:t 21 t 1+−=

()
2
2t t 1 0
1
t 1 t loại diều kiện
2
⇔−−=
⇔=∨=−

−≥
⎧
⎪
⇔
⎨
=+
⎪
⎩2
cos 2x 0
1 sin 2x 1 sin 2x
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
−=+
⎪
⎩2
cos2x 0
sin 2x sin 2x
≤
⎧
⎪
⇔
Baøi 152 : Giaûi phöông trình
()
2
3sin2x 2cos x 2 2 2cos2x *−=+
Ta coù :
()
(
)
22
* 23sinxcosx 2cosx 22 22cosx 1
⇔
−=+ −31
cosx sinx cosx cosx
22
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=

cos x.sin x cos x
6
π
⎛⎞

−=+ π∈ −=−+ π∈
⎪⎪
⎩⎩


cos x 0 cos x 0
cos x 0
xk2,kx k2,k
62 6 2

><
⎧⎧
π
⎪⎪
⇔=+π∈∨ ∨
ππ
⎨⎨
=
+π∈ =−+π∈
⎪⎪
⎩⎩



cos x 0 cos x 0
xk,k
2
2
xk2,kx k2,k
33

⇔=
⎜⎟
⎝⎠
−

Điều kiện :
sin x 0 x k≠⇔≠π
()
Khi x 0, thìsin x 0nên :•∈π >

()
*2cos2x2cos2x
4
π
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠
−()
π
⎛⎞
⇔=± −+π∈
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔=+π∈
ππ

⎝⎠
π
⎛⎞
⇔π−= −
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔−=±π− +π∈
π
⇔=+π∈
ππ
⇔= + ∈



*cos2xcos2x
4
cos 2x cos 2x
4
2x 2x k2 , k
4
5
4x k2 , k
4
5k
x,k
16 2

Do
(

2
22 22
2
sinx cosx sinx cosx sinx sinxcosx cosx
sin x cos x 3sin x cos x
3
1sin2x
4

Đặt t =
sin 2x
điều kiện
0t1
≤
≤

thì (*) thành :
()
−=
2
3
1tat**
413
ta
t4
⇔− =
(do t = 0 thì (**) vô nghiệm)

Tìm m để phương trình có nghiệm trên
0,
3
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦Đặt t = tgx thì
Vậy : (*) thành:
(
)
2
1t m1t**−= + (chia 2 vế cho )
2
cos 0≠
Khi
0x
3
π
≤≤
thì
t0,3
⎡⎤
∈
⎣⎦

(
)
(
)
−−++−
=− + + =
++
−−
⎡⎤
⇔= <∀∈
⎣⎦
+
1t 21t 1t
y' 1 t
21 t 21 t
3t 1
y' 0 t 0, 3
21 tDo đó : (*) có nghiệm trên
0,
3
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

h/ 2 cos x
sin x 2
m/ cos 2x 1
−=−
+=
=+
⎛⎞
+
+−=−
⎜⎟
−+
⎝⎠
=+
−=
++−
=
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
++
x
33
2
sin x cos x
sin 2x
2
n/ cos x sin 3x 0
1


Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi ĐH Vĩnh Viễn)