CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC

I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN
Cho
A
BCΔ
có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của



A
,B,C, R
là bán kính
đường tròn ngoại tiếp
A
BCΔ
, S là diện tích
A
BC
Δ
thì

===
=+− =+−
=+− =+−
=+− =+−
222 22
222 22
222 22
abc
2R

()
()
⇔−=
⇔− −− =
⇔−=
⇔− + − =
⇔+ −=
⇔
−= += >
⇔−=∨−=π−
⇔
=
22
sin A sin B sin B sin C
11
1 cos 2A 1 cos 2B sin Bsin C
22
cos 2B cos 2A 2sin B sin C
2 sin B A sin B A 2 sin B sin C
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A
2B

Cách khác:
−=
⇔− +=
+− + −
⇔=

sin A B
ab
sin C c
−
−
=Ta có
−−
=
22 22 22
222
ab 4RsinA4RsinB
c4RsinC()()
()()
()() ()
()
()
−−−
−
==
−+ −
−
==
+− −
==

ab

2c+=

Ta có :
⋅=⇔ =
A
B1 A B A B
tg tg 3sin sin cos cos
223 22 22A
B
do cos 0,cos 0
22
⎛⎞
>>
⎜⎟
⎝⎠()
A
BABA
2sin sin cos cos sin sin
22 22 22
AB AB AB
cos cos cos
22 2

22
AB AB
8R sin cos do *
22
4R sin A B
4R sin C 2c

Cách khác:
()
+=
⇔+=
ab2c
2R sin A sin B 4R sin C

+−
⇔=
−++
⎛⎞
⇔== =
⎜⎟
⎝⎠
A
BAB CC
2sin cos 4sin cos
22 22
A
BC AB AB
cos 2 sin 2 cos do sin cos
22 2 2
C

()
⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB *
Cách 1:
(
)
()
()() ()
()()()
[]
()()()
2
2
22
22
22 2 2
222
sin A C
2cosB
Ta có: * sin B 2sin A sinCcosB
sin A sin C sin B
sinB cosA C cosA C cosA C
sin B cos A C cos A C cos A C
1
sin B cos B cos 2A cos 2C
2
1
sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C
2
2sin B sin A sin C
+

⎜⎟
⎝⎠
⇔=+−
+−
=
+− +−
==
+− +− +−
⇔+=⋅
⇔
=+
222
222
222
22 2
22 2 2 22
22 2 2 22 22 2
222
Ta có: a b c 2ab cos A
1
abc4bcsinA.cotgA
2
abc4ScotgA
bca
Do đó cotgA
4S
acb abc
Tương tự cotgB , cotgC
4S 4S
bca abc acb

A

Do đònh lý hàm cosin nên ta có
222
abc2bccos=+−

(
)
()
()

+−−
+−
⇔= =
+
=≥=
≤
22 22
22 2
22
0
2b c b c
bca
cos A ( do * )
2bc 4bc
bc 2bc1
do Cauchy
4bc 4bc 2
Vạây : BAC 60 .


Ra b c
cotgA+cotgB+cotgC
abc
++
=

+−
=
+− +−
==
+
+++
++= =
++
=
22 2
22 2 2 22
222 22
222
bca
Ta có: cotgA
4S
acb abc
Tương tự: cotgB ,cotgC
4S 4S
abc abc
Do đó cot gA cot gB cot gC
abc
4S
4

⎜⎟
=+
⎜⎟
ππ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ππ
+
=
ππ
ππ
π
π
⎛⎞
=⋅ =
⎜⎟
ππ
⎝⎠
π
=⋅ =
ππ
=
11 1 1
Ta có:
b c 2R sin B 2R sin C
11 1
24
2R
sin sin

+
⇔= + =
⇔= = =
ππ
===•
111 1 1 1
a b c sin A sin B sin C
11 1sin4Asin2A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A
1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosA
sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A
34
do : sin 3A sin sin sin 4A
77

Bài 191: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu
sin A sin B sin C
12
3
==Do đònh lý hàm sin:
abc
2R
sin A sin B sin C
===

()
2
22
222
0
0
Ta có: c 4a a 3 a
cba
Vạây ABC vuông tạiC
Thay sin C 1 vào * ta được
sin A sin B 1
12
3
1
sin A
2
3
sin B
2
A30
B60
== +
⇔=+
Δ
=
==
⎧
=
⎪
⎪


hay :
2
22 2
a
a
cb2m
2
+= +
Bài 192:
Cho UABC có AM trung tuyến,

A
MB =
α
, AC = b, AB = c, S là diện tích
UABC. Với 0 < <
90

α
0
a/ Chứng minh:
22
bc
cotg
−
4S

22
22
ac2accosBc
bc
4S 2AH.a
+− −
−
=
2

Đặt BC = a
22
bc a ccosB a BH
4S 2AH AH 2AH AH
−
⇒=−=−
(2)
Từ (1) và (2) ta được :
22
bc
cotg
4S
−
α=

Cách khác:
Gọi S
1
, S
2

1
=S
2
=
S
2
)
b/Ta có: cotgC – cotgB =
HC HB HC HB
A
HAH AH
−
−=

=
()
(
)
MH MC MB MH
A
H
+−−

=
=
α= =
0
2MH
2cotg 2cotg45 2
A

α
=2 ( vì S
1
=S
2
=
S
2
và câu a ) Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa
b
m,m
c
b
c
m
c
1
bm
=≠
. Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC

Ta có:
2
2
b
22
c

2
22
44
22 22 2 2 22
22 2 2 4 4
22 2 2 2 2 2
222
1b
ac
22
c
b
1c
ba
22
cb
bc ac ab bc
22
1
ac ab c b
2
1
ac b c b c b
2
c
2a c b 1 do 1
b

Thay vào (1), ta có (1) thành
+=+


UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’
Vậy
2
A
BC
3
′
= C

22
c
2
222
222
9c 4m
c
9c 2 b a
2
5c a b
⇔=
⎛⎞
⇔= +−
⎜⎟
⎝⎠
⇔=+

22
5c c 2abcosC⇔=+
(do đònh lý hàm cos)

2 cotg B cotgA cotgC

III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Gọi S: diện tích UABC
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC
r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC
p: nửa chu vi của UABC
thì

()()()
abc
111
S a.h b.h c.h
222
111
S absinC acsinB bcsinA
222
abc
S
4R
Spr
S ppapbpc
===
===
=
=
=−−−Bài 195: Cho UABC chứng minh:

Bài 196 Cho UABC. Chứng minh :
S = Diện tích (UABC) =
()
22
1
asin2B bsin2A
4
+Ta có :
()
1
S = dt ABC absin C
2
Δ=()
+
1
=absinAB
2[]
+
1
= ab sin A cos B sinB cos A
2




GAB ,GBC ,GCA .
=
α=β=γ

Chứng minh:
(
)
222
3a b c
cotg + cotg +cotg =
4S
++
αβγGọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB
⊥

A
H
AMH cos
AM
BH 2BH
BHM cosB
MB a
Δ⊥⇒α=
Δ⊥⇒==

−
α=
a
ccosB
2c a cos B
2
cotg =
ab
sin B a.
22R

()
(
)
−
−
+− +−
2
222 222
R4c 2accosB
R4c 2acosB
= =
ab abc
3cba3cba
= =
abc
4S
R
3a b c
=
4S
2

Cách khác : Ta có
()
222 222
abc
3
m m m a b c (*)
4
++= ++Δ
+−
+−
α= =
2
22
222
a
a
ABM
a
cm
4c 4m a
4
cotg (a)


và r bán kính đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
thì

() () ()
==
=
=− =− =−
aabc
R
2sinA 4S
S
r
p
A
BC
rpatg pbtg pctg
222Bài 198: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
.
Chứng minh:


Mà : BH + CH = BC
nên

()
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⇔=
⇔=
⇔=
⇔=
BC
r cotg cotg a
22
BC
rsin
2
a
BC
sin sin
22
ABC
r cos 2R sin A sin sin
222
AAABC

=
r
IC

C
sin
2
Do đó :
3
r
IA.IB.IC
A
BC
sin sin sin
22
=
2
3
2
r
4Rr (do kết quả câu a)
r
4R
==Bài 199: Cho

22 2
==π−=+

Áp dụng đònh lý hình sin vào
A
'B'C'
Δa'
2r
sin A '
=
(r: bán kính đường tròn nội tiếp
A
BC
Δ
)


BC
a ' 2r sin A ' 2r sin (1)
2
+
⇒= =

A
BCΔ
có :
a BC BA' A'C


Tương tự
b' A C
2sin .sin
b2
=
2Vậy
a' b' C A B
2sin sin sin .
ab 2 2 2
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠b/ Ta có:

()()
11 1
A
'C'B' .B'IA' C A B
22 2
==π−=+Vậy

2
S' a' b' sinC'
SabsinC
C
cos
BCA
2
= 4 sin sin sin
CC
222
2sin cos
22
BCA
= 2 sin sin sin
222Bài 200:
Cho
A
BCΔ
có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông
góc với đường phân giác trong của . Chứng minh:

BCA
abc 2ab
3ab
+
+
=

Gọi là hai đường cao
a
h,h
b
A
BC
Δ
phát xuất từ A, B

Ta có:
a
GK MG 1
hMA
==
3
và
b
GH 1
h3
=Do đó:
()
ab
1
2r h h (3)
3
=+


⎝⎠+
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠
++ +
⇔= ⋅
++
⇔=
+
1ab
1p
3ab
abcab
3
2a
2ab a b c
ab 3
bTh.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

BÀI TẬP

1. Cho
A

BC R r sin A sin B sin CΔ= + +

e/ Nếu : thì
44
abc=+
4
A
BCΔ
có 3 góc nhọn và
2
2sin A tgB.tgC=
2. Nếu diện tích (
A
BCΔ
) = (c + a -b)(c + b -a) thì
8
tgC
15
=

3. Cho
A
BCΔ
có ba góc nhọn. Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B,
C. Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
A
BCΔ
. Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp của
A

⎜⎟
⎝⎠

5. Cho
A
BCΔ
có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có công bội q = 2.
Chứng minh:
a/
111
abc
=+

b/
222
5
cos A cos B cos C
4
++=