1
Bài 1: Hệ phương trình đại số
Một số loại hệ phương trình thường gặp:
I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phương trình
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối
xứng loại I nếu
);();(
);();(
xygyxg
xyfyxf
2)Cách giải : - Đặt
x y S
2
.
+) Khi
PS 4
2
thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy
nhất S, P thỏa mãn PS 4
2
.
Chú ý 2 :
Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm
giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem
có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ).
II) Hệ đối xứng loại II
1)Hệ :
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại II nếu :
);();( yxgxyf
0
) thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm của
hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x
0
= y
0
(1)
Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của
tham số để pt` có nghiệm x
0
duy nhất ,ta được giá
trị của tham số. Đó là đ/k cần.
Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra,
rồi kết luận.
III) Hệ nửa đối xứng của x và y
1)Dạng hệ:
)2(;0);(
)1();;();(
0);(
0);(
0);(
0
yxg
yxh
yxg
yx
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng
Ví dụ :
đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số
hạng tự do) đều có bậc là 2.
2) Cách giải :
* Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thường
dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở
số hạng tự do cho đơn giản)
* Cách 2) Khử x
2
( với y 0 ) hoặc y
2
(với x 0):
(Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số).
VI. Một số hệ phương trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu
mực ta thường áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
Một số ví dụ:
1. Hệ đối xứng I:
Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy :
2 2
11
1)
30
xy x y
x y xy
4 4
2 2
1
3)
1
11
1
0; 2 (0;1);(1;0)
( 2 ) 2 1
x y
x y
p s
s
hpt
p p
s p p
Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4).
5- cho:
5( ) 4 4
1
x y xy
x y xy m
a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm.
HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1
ẹK : S
2
-4p
0
1
; 1
ẹS:heọS
1
,P
1
Vn ;
2 2
2 2
4 ( 1) 0
S P m
.
Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m.
b-HPT có ngh duy nhất
2
2 2
4 0
S P
2
( 1) 0
m
x
hpt
x
y x
y
2 2
2 2
2 3 2
3
2 3 2
x x y
y y x
2- ẹK : x 0 ; y 0. Hpt :
2 2
( )( 4) 0
6 4( ) 0
x y x y
x y xy x y
(-2; -2)
3-
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y x x
Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 y=x hoaởc y = 1-x.
Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
12
11
3
xy
y
y
x
x
Giải:
y
x
x
3
4
. 0
. 0
1
( ) ( )
2 1 0
2 0
x y
x y
x y I y II
x
x x
x x
51
1
)(
012
(
0.
3
yx
yx
yx
I
xx
yx
yx
+ Ta có II) :
2 2 2
. 0
1
( )
1 1 3
( ) ( ) 0;( )
2 2 2
x y
II y
x
x x VN
Giải:
Cách 1:
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty, ta có :
Hệ
2 2 2 2
2 2
4
3 4
t y ty y m
y ty
2 2
2
( 4 1)
(1 3 ) 4
y t t m
y t
2
4 1 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t
t
y t
Giải hệ ta được kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :
(I)
2
2
4( 4 1) (1 3 )
(1 3 ) 4
t t m t
y t
af
m nên hệ luôn có
nghiệm thoả mãn t
1
<
1
3
< t
2
. Vậy hệ luôn có
nghiệm với m.
Cách 2 : Khử một ẩn.
Hệ
2
2
4
3 4
x xy m
y xy
2
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phương trình
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy
a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phương trình
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a
5)
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:
2
2
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
tttf 3
3
trên [-1,1] áp dụng vào phương
trình (1)
4
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:
22
22
xy
yx
HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:
55
2
Cô si
52
5
y
y
x
.
20
2
x
theo (1)
20
2
x
suy ra x,y
Bài 9:
2
)1(
3
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có
nghiệm
6)
19
2.)(
33
2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
7)
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào được
hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phương 2 vế .
5
Bài 2: Phương trình và bất phương trình Đại số
Một số dạng phương trình và bất phương trình
thường gặp
1) Bất phương trình bậc hai ;
Định lýý về dấu của tam thức bậc hai;
Phương pháp hàm số.
2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị
tuyệt đối
2 2
2 2
0B
A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A B
A B C B
A B AB C
* Bất phương trình chứa căn thức:
2 2
2 2
0 0
* 0 * 0
0 0
0 0
Một số ví dụ
BAỉI TAÄP :
Baứi 1: Bỡnh phửụng hai veỏ :
a) x
2
+
1 1
x
Hd:
4 2
0
1 1
1
2 0
1 5
2
x
x
x
x x x
x
.
Bỡnh phửụng hai laà ta coự : ẹS x = 0 .
d)
: 16 9 7
pt x x
. ĐS: x = 0, x = -7.
e)
2 2
:(4 1) 9 2 2 1
: 1/4
pt x x x x
dk x
Bình phương hai lần ta có :ẹS x = 4/3.
Baứi 2 : Đặt ẩn phụ:
a)
2 2
3 3 3 6 3
x x x x
. ĐS: x = 1, x = 2.
b)
2
2
1 1 0 : 0 1
3 4 2 2 5 3
5 3.
DK x
t x x
t x x x
pt t x
2 2 2
2
) 7 2 3 3 19
. 2 7 / 4
5 3 13 4
1; 2
d x x x x x x
t x x
pt t t t t
x x
Bài 3:
1) 1 3 ( 1)(3 )
/2 + t +2 = m (1) . Laọp baỷng bieỏn thieõn
: Tacoự :
2 2 2 2.
m
Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
9 9
x x x x m
Bỡnh phửụng : ẹaởt t=
(9 ) 0 9/ 2
x x t
KSHS
2
( ) 2 9 ; 9/2 9/4 10
f t t t o t Ds m
d)
Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm:
4 4
4
4 4 6
x x m x x m
Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baứi 6. Giải các phương trình sau:
1)
2 2
3 3
3
(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3
x x x x
-ẹaởt :
2 2
3
3 3
3
2 3
.
9
7
u x u v uv
pt
u v
v x
3
3 2
2
1; 0
1
0;1; 2; 1;0;3
1
1;2;10
u x
v x v
u v
u v
u v
x
012
0910
2
2
mxx
xx
ĐS m 4.
Bài 4: Giải bất phương trình:
2212 xxx
HD :
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú ýy ĐK
Bài 5: Giải bất phương trình:
7
2
1
2
2
3
3
x
x
x
x
HD Đặt 2,
HD
Bình phương 2 vế chú ýy ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phương trình (KA 2004)
3
7
3
3
)16(2
2
x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
mxx 41624
2)
16212244
2
xxxx
8)
023243
2
xxx
.
9)
2
2 4 3 18 29
x x x x
7
Bài 3: Phương trình và
hệ phương trình lượng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lượng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
( )
1
tga tgb
tg a b
tgatgb
a a a a a a
c) Công thức hạ bậc
2 2
1 cos 2 1 cos2
cos ; sin ;
2 2
a a
a a
d) Công thức chia đôi
Đặt
2
2
x
t tg x k
. Ta có:
2
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ;
1 1 1
t t t
x x tgx
2 2
sin sin 2sin cos ;
2 2
sin sin 2cos sin ;
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
f) Một số công thức hay dùng:
sin cos 2sin 2 cos
4 4
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
2
PTVN
PT cãngh
a
x k
a a
x k
+ cosx = a
1
1 2 (cos )
PTVN
PT cãngh
a
a x k a
+ tgx = a ĐK:
cos ( ) cos ( ) cos (
tg tg
cotg cotg
f x g x k
f x g x
f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x
f x g x f x
) cos ( ) ;
2
2
0;
0;
atg x btgx c
acotg x bcotgx c
c) Phương bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho
2 2
a b
; đặt:
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b
ta được PT:
2 2
sin( )
c
x
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos
2
x = 0 sinx = 1 nếu
nghiệm đúng phương trình thì đặt cosx làm thừa số
chung.
Với cos
2
x 0 chia cả hai vế cho cos
2
x ta được:
atg
2
x + btgx + c = d(1 + tg
2
x).
* Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối
với sin2x và cos2x.
e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
2
t
2
2
1
2 2 0
2
t
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y =
sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phương bằng 0.
4. Các ví dụ:
Giải các phương trình sau:
Bài 1:
x
x
tgxgx
2
sin
4cos.2
cot
.
ĐS:
3
x k
.
Bài 2:
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
sin
sin
2
2
2
2
x
x
x
x
.
ĐS:
2
2 ; 2
3 3
x k x x k
.
Bài 4:
8
1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33
xxtgxtgx
HD: Biến đổi theo sin và cos.
ĐS:
3
x k
.
Bài 6:
3. 6sin 2sin( ) (1)
2
2sin 6sin( ) (2)
2
y
tg x y x
y
tg x y x
1
5cos4cos3cos2coscos xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trường hợp
bằng 0.
Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng
nxxxT
nxxxT
sin 2sinsin
cos 2coscos
thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx
HD: BĐ về dạng:
2 2
(sin cos )(sin 3cos ) 0
x x x x
Bài 10
2
Bài 1. Tìm m để phương trình:
sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm
3
[0; ]
4
x
.
HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phương trình:
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos
2
x
có đúng 2 nghiệm x [0; ].
HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
9
Bài 3. Tìm m để phương trình:
mcos
2
2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
có nghiệm x [0 ; /3].
HD: Đặt t = sin2x.
Bài 4: Cho phương trình
02sin24cos)cos.(sin2
44
mxxxx
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc
đoạn
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22
xx
x
6. Các bài tập luyện tập:
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx
.
2) 2cos.3sincos.3sin xxxx .
3)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
3sin
42
sin2cos)32(
2
x
x
x
x
.
8) 02cos2sincossin1
xxxx .
Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
1
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương
trình
x
xtgxxg
2
sin
2
2sin42cot KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
0;14
của
phương trình
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
KB 2003
5) Giải phương trình
4 4
sin cos 1 1
a) Giải phương trình (2) khi
1
3
a
b) Tìm a để phương trình có nghiệm
8) Giải phương trình
2
1
sin
8cos
x
x
(DB
2002)
9) Giải phương trình
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 2
x
gx x x
tgx
(KA
2003)
x
x
x
(DBKB 2003)
14) Giải phương trình
2 2 2
sin . cos 0
2 4 2
x x
tg x
(KD 2003)
15) Giải phương trình
2
cos cos 1
2 1 sin
2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
KB 2004.
10
Bài 4: Hệ thức lượng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thường dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
+
. 4 .
2 2 2
A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos
+
. 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
CosA CosB CosC
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2
cot.
2
.
2
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+
CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,
cos2C… sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos
2
A,
cos
2
B, cos
2
C suy ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
2 2 2
1 . 2. 1
Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và
chỉ khi
2.
222
CSinBSinASin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:
2222
1
sin
1
sin
1
sin
1
A
g
A
g
A
g
C
tg
B
tg
A
tg
CBA
HD: thay
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
sin
2
cos
sin
sin
sin
sin
2
.
222
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR:
c
b
a
111
và
4
5
.
222
CCosBCosACos
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
CBA
R
r
2
CB
tg
c
b
cb
Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2
cos.
2
cos
CBACBA
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin
2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA
B
CMR
tam giác ABC là tam giác đều
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1
2
cos
1
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cos
2
1
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phương pháp BĐ Lượng giác xuất
hiện bình phương một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu
thức
)cos(cos3cos3 CABP
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2 CBACBB
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?
12
Bài 5. Phương trình và hệ phương trình
mũ - Lôgarit
1. Một số kiến thức cần nhớ:
* Một số phép toán về luỹ thừa:
1 2 1 2
1
1 2
2
log log
log ;
log ( . ) log log ;
log log log ;
1
log log ; log log ;
log
ln lg
log ;
log ln lg
1
log ; ;
log
log .log .log log
b b
x
a
a a a
a a a
a a a
a
b
a
b
c a
a
( ) ( )
0
( ) log
( ) ( )
f x
a
f x g x
b
a b
f x b
a a f x g x
b) có số có chứa ẩn:
( ) ( )
( ) 1
( ), ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
cã nghÜa
f x g x
h x
0 1
log ( )
( )
( ) 0( ( ) 0)
log ( ) log ( )
( ) ( )
hoÆc
a
b
a a
a
f x b
f x a
f x g x
f x g x
f x g x
b) Cơ số có chứa ẩn:
b)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x
;
c)
2
2
3 ( 3) ;
x x
x x
d)
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x
;
e)
6.9 13.6 6.4 0;
x x x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
2
log 2.log ( 6) 1
x
x
;
b)
2
log (9 2 ) 3
x
x
;
c)
2 2
3 7 2 3
log (4 12 9) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
d)
2
2 2
log ( 1)log 6 2 ;
x x x x
log ( 1) log 2
x x x x x
;
j)
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
;
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x
2 2
log ( ) log ( ) 1
3
x y x y
x y
;
13
d)
2 2
2 2
(log log )( 1)
1
x y
e e y x xy
x y
;
Một số bài luyện tập:
Bài 1: Cho phương trình
đs (4,4)
Bài 3: )4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx
HD: ĐK x>0 Và x ≠1
ĐS x=2 , 332 x .
Bài 4: xxxx
3535
log.loglog.log
HD: dổi cơ số x=1 va x=15
Bài 5:
2 2
log ( ) log 3
2 2
9 3( ) (1)
3 3 6 (2)
xy
xy
x y y x
yy
PP hàm số.
Bài 7:
32
2
2
23
1
log xx
x
x
2
4
2
2
1
2
2
xmxx
HD: Đặt t =
2
log
x
(t 5.)
2
0
1 3
1
3
m
m
t
m
t
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log
3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x
5)
25
1)
1
(log)(log
22
4
4
1
xy
y
xy
KA 2004 (3,4)
yx
xyyx
xyx 1
22
22
10)
06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
14
Bài 6: Bất phương trình và hệ bất phương
trình mũ - lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ:
* Bất phương trình mũ:
( ) ( )
1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x
a f x g x
a a
a f x g x
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
0 1: ( )
b
a
b
b
a
b
a f x a
f x b
a f x a
a f x a
f x b
a f x a
1: ( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1:0 ( ) ( )
a a
5 6
1 1
;
3
3
x
x x
b)
2
2
(4 2 1) 1
x x
x x
;
c)
9 3 2 3 9
x x x
;
d)
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0;
x x x
;
c)
1
2 1
2
log (4 4) log (2 3)
x x
x
;
d)
2 2
4 2
log (2 3 2) 1 log (2 3 2)
x x x x
;
e)
2
6 6
log log
6 12
x x
x
;
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm
Bài 3:
1))279.((loglog
3
x
x
Bài 4:
0)2(loglog
2
2
4
xxx
Bài 5:
06log)52(log)1(
2
1
2
2
1
xxxx
HD
đặt t bằng log của x coi là phương trình
bậc 2 ẩn t.
3
3
1
2
2
1
x
xx
Bài 9: Giải bất phương trình
2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)
x x x
Bài 10. Giải bất phương trình
3
3
1
29
2
2
bất phương trình:
2x
2
+ (m + 2)x + 2 - 3m < 0 (2)
Bài 12. Giải bất phương trình:
2
lg( 6) 4 lg( 2)
x x x x
15
Bài 7. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp.
Đạo hàm cấp cao.
1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đoán công thức tổng quát;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.
* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1 1
( )
Ví dụ 1. Cho hàm số y =
1
1
x
.
a) Tính y’, y’’, y’’’
b) Chứng minh rằng:
( )
1
!
(1 )
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0,
x (a; b).
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x) để có
điều cần chứng minh.
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x -
2
2
x
, x > 0.
b)
2
sin , (0; )
2
x
x x
.
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +
2
2
x
với x > 0.
Có
2
1
'( ) 1 0, 0
1 1
Đặt g(x) = xcosx - sinx.
g’(x) = -xsinx < 0 với
(0; )
2
x
g(x) là hàm
NB trên
(0; )
2
g(x) < g(0) với
(0; )
2
x
.
f’(x) là hàm số NB trên
(0; )
2
f(x) > f(
2
) =
2
,
f x f x
f x
x x
.
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bước:
+ Bước 1: Đưa giới hạn cần tính về đúng công
thức:
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
+ Bước 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x
0
), f’(x) và
f’(x
0
).
x x f x
g x g x
g x
x x
.
Ví dụ. Tính các giới hạn:
a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
;
HD: Đặt f(x) =
3
1 1
x x
thì giới hạn có
dạng:
x
x
; f’(0) =
1 1 5
3 2 6
16
Vậy
3
0
1 1 5
lim
6
x
x x
x
.
b)
34
7
9 1
lim
7
0
1 1
lim
1 cos
x
x x
x x
; ĐS:
5
2
.
HD:
3
3
3 3
0 0
1 1
1 1
lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x
x
x x x x
x
* Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một
khoảng.
PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một
điểm cực tiểu thì đó là GTNN.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một
điểm cực đại thì đó là GTLN.
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
một đoạn.
PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, x
3
,
của f(x) trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số
trên rồi kết luận.
M =
[ ; ]
max ( )
a b
f x
, m =
trên đoạn [1;e
3
].
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
326
)1(4 xxy
trên đoạn [-1;1] .
Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
với mọi x thuộc [-1/2;3]
)352()3).(21(
2
xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx
Từ miền xác đinh của
x suy ra
4
27
;0t .
Biến đổi thành f(t) = t
2
xxy 2cossin2
48
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 2 (4 4 )
x x x x
y
với
0 x 1
.
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4 xxy
* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá
trị của hàm số.
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a)
2
2
3
12
x
y
x x
.
17
Bài 8: Tiếp tuyến, tiếp xúc và
tương giao
1. Phương trình tiếp tuyến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
* Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
)
(C):
y - y
0
= f’(x
0
)(x - x
0
).
* Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
+ Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Ta có f’(x
0
) = k.
+Giải phương trình ta tìm được x
0
là: y = f’(x
0
)(x - x
0
) + f(x
0
).
A TT y
1
= f’(x
0
)(x
1
- x
0
) + f(x
0
).
Giải phương trình ẩn x
0
rồi tìm f(x
0
), f’(x
0
).
Cách 2: Đường thẳng đi qua A có hệ số góc k có
phương trình: y = k(x - x
1
) + y
1
hệ phương trình sau có nghiệm.
3. Điểm cố định của họ đường cong.
Điểm cố định là điểm có toạ độ (x
0
; y
0
) nghiệm
đúng phương trình: y
0
= f(x
0
, m). Vì vậy: muốn tìm
điểm cố định mà họ đường cong (C
m
) đi qua ta làm
theo hai bước tuỳ theo dạng hàm số như sau:
+ Đưa phương trình về dạng:
*
2
0
0 0
0
A
Am Bm C m B
C
Dạng 2: Họ đường cong không đi qua điểm
cố định: áp dụng điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai
hàm số, ta có hệ phương trình sau có nghiệm với
mọi m:
( )
'( )
f x ax b
f x a
.
5. Tương giao
Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = f(x)
và y = g(x) là nghiệm của phương trình: f(x) =
g(x).
Chú ý bài toán tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành.
* Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt trục
hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng hàm số
có 2 cực trị và điểm uốn nằm trên trục hoành
' 0
0
Các bài tập luyện tập:
a) Các bài tập về phương trình tiếp tuyến:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
- 2x
2
+ 2x có đồ thị là
(C).
1) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng y = -x +1.
2) Chứng minh rằng trên (C) không có 2 điểm mà
tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với
nhau.
HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27.
2) CM: y’ > 0 với x.
Bài 2. Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị hàm số y
= x
3
- 3x
2
. CMR đây là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất trong các hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị.
HD: ĐS: y = -3x + 1.
CMR y’ - 3 với x.
Bài 3. Cho hàm số y = x
3
- 3x + 1. Viết PTTT với
(C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 6).
ĐS: y = 9x - 15.
Bài 4. Cho hàm số y =
v x
.
1) CMR hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm x =
x
0
của đồ thị với trục hoành là k =
0
0
'( )
( )
u x
v x
.
2) Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
2
2
x x m
x
cắt trục
hoành tại 2 điểm mà các tiếp tuyến của đồ thị tại 2
điểm này vuông góc với nhau.
ĐS: m = 2/5.
b) Các bài toán về tiếp tuyến cố định:
Bài 6. CMR đồ thị hàm số
2
2 (1 ) 1
x m x m
HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b. Ycbt
hệ:
2
4
1
4
( )
m kx b
x m
k
x m
có nghiệm với
m
.
ĐS: y = x + 3, y = x - 5.
c) Các bài toán về tiếp xúc:
Bài 9. Tìm m để hàm số y = x
3
d) Các bài toán về tương giao:
Bài 12. Tìm m đề đồ thị hàm số y = x
3
- 3mx
2
+
4m
3
cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành một CSC.
HD: m = 0, m =
1
2
.
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
- 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một
CSC.
ĐS: m = 4, m = -4/9.
Bài 14: Cho hàm số
)1(
1
)2(
2
x
x
x
y
Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C ) Tìm
điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông
góc với dường thẳng IM.
Bài 17: Cho hàm số
)1(
1
2
x
mxmx
y
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2
điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 18: Cho hàm số
)1(1
24
mmxxy
Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4
điểm phân biệt
Bài 19: Cho hàm số )1(
1
22
2
<=>
3 4
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx
Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9
Bài 21: Cho hàm số
)1(
2
92
2
x
xx
y
Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C )
tại 2 điểm phân biệt nhận I(5;10) là trung điểm.
Bài 22. Cho hàm số
2
2 1
(1)
sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ
độ tại A và B tạo thành tam giác vuông cân OAB.
Bài 3 : Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của y
= x
3
+ 3x
2
- 9x + 5.
Bài 4 : Viết tiếp tuyến với y = -x
3
+ 3x
2
biết tiếp
tuyến vuông góc với y =
1
9
x.
Bài 5: Viết pttt qua M(
2
3
; 1) với y = -x
3
+3x -1.
Bài 6:Viết pttt đi qua M(1 ; 0) với y =
2
1
1
x x
. Xác định a để
hàm số tiếp xúc với Parabol y = x
2
+ a.
Bài 11. Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
có đồ thị là
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao
cho các tiếp tuyến ấy vuông góc với tiệm cận xiên.
Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn
thẳng tiếp tuyến bị chắn bởi hai đường tiệm cận.
Bài 12. Cho hàm số
2
2
x mx m
y
x m
1
1
x
x
cắt đường thẳng d: y = mx + 1 tại 2 điểm thuộc 2
nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài 17. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C)
của hàm số y =
2
3 3
2( 1)
x x
x
tại hai điểm A, B sao
cho AB = 1.
Bài 18. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C)
của hàm số y =
2
1
x mx m
x
tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho OA OB.
0
0
a
; f(x) 0 x
0
0
a
f(x) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
+ x
1
< x
2
0
( ) 0
2. Cực trị của hàm số.
Cần nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị.
* Cho hàm số y = f(x).
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
+ bx
2
+ c:
+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục
tung.
+ Vì y’ = 2x(2ax
2
+ b) nên hàm số có 3 cực trị
phương trình 2ax
2
+ b = 0 có 2 nghiệm phân biệt
khác 0.
+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có 3 cực
trị thì luôn có 2 cực trị đối xứng nhau qua trục Oy.
* Đối với hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
:
+ Hàm số có cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
'
'
b
a
thì y(x
0
) =
0
2
'
ax b
a
.
+ Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
2
' '
a b
y x
a a
.
Một số ví dụ :
* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD:
1) ĐK y’ 0 với x g(x) = 3x
2
2
6 9
'
( 3)
x x m
y
x
.
ĐK y’ 0 với x > 1 g(x) = x
2
+ 6x + 9 - m
2
0 với x > 1 m
2
x
2
+ 6x + 9 x > 1 m
2
mint(x) = x
2
+ 6x + 9 x > 1. ĐS: -4 m 4.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số
0 với x > 1. Xét 2 trường hợp:
+ TH1: ’ 0 m = 0.
+ TH2: ’>0 m < 2 -
3
.
* Các ví dụ về cực trị của hàm số:
21
Dạng 1. Tìm m để hàm số có cực trị:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 3(2m - 1)x + 1.
Tìm m để hàm số có CĐ và CT.
HD: y’ = 3x
2
- 6x + 3(2m - 1).
ĐK y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y’
> 0
m > -1.
Bài 2. Cho hàm số:
y =
3 2 2
1
( 2) (5 4) 1
3
x m x m x m
3
y x mx x m
.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa
chúng là nhỏ nhất.
HD: y’ = x
2
-2mx - 1, y’ = 0 x
2
-2mx - 1 = 0 (1).
Có = m
2
+ 1 > 0 m hàm số luôn có CĐ và
CT.
Chia y cho y’ ta được:
2
1 2 2
'. ( ) ( 1) ( 1)
3 3 3
y y x m m x m
.
Gọi 2 điểm cực trị là: A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
= (4m
2
+ 4)[1+
2 2
4
( 1)
9
m
]
4 52
4(1 )
9 9
.
AB
2 13
3
4.
16 32 12 0
m
m
m
Gọi (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị thì:
y
1
= -2x
1
+3, y
2
= -2x
2
+ 3.
Bài 7. Tìm m để hàm số :
y =
2 2
( 1) 4 2
1
x m m m
x
có CĐ, CT và y
CĐ
.y
CT
là nhỏ nhất.
ĐS: y
CĐ
.y
CT
nhỏ nhất = -4/5 khi m = 7/5.
Bài 8. CMR hàm số y =
2
1
x mx m
x
luôn có CĐ,
CT và khoảng cách giữa chúng không đổi.
Dạng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt phẳng
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
v« nghiÖm
y
y
ĐS: 0 < m < 4.
Bài 10. Tìm m để hàm số y =
2
( 1) 1
x m x m
x m
có 2 cực trị cùng phía.
ĐK
' 0
0
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
y
y
.ĐS:
1
5
m .
Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số )1(
1
22
2
x
mxx
y
Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B. CMR
khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng
2x - y -10 = 0.
Bài 2: Cho hàm số )1(3)(
3
xmxy
22
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có
hoành độ x = 0.
Bài 3: Cho hàm số )1(
312
22
)(2
4)12(
22
mx
mmxmx
y
Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách
giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số.
Bài 7: Cho hàm số
2
(5 2) 2 1
(1)
1
x m x m
y
x
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa
điểm CĐ,CT nhỏ hơn
2 5
.
Bài 8: Cho hàm số )1(12
224
xmxy .
.
1) Khảo sát khi m = 2.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x (3, +).
Bài 12: Cho hàm số y =
2
2 2
x mx m
x m
.
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng
xác định.
Bài 13: Cho hàm số y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx - 5.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 14: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 3mx + 5.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 15: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số không có cực trị.
Bài 19: Cho hàm số y =
2
2 2
1
x x m
x m
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm
cực trị.
Bài 20: Cho hàm số y =
2 2
2 2
1
x x m
x
.
1) Khảo sát khi m= 0.
2) Tìm m để: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái
dấu; khoảng cách từ cực tiểu và cực đại đến Ox
bằng nhau.
Bài 21: Cho hàm số y = x
4
- 2mx
2
phần phía dưới qua trục Ox.
* Đồ thị hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
được suy ra từ
đồ thị hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
(1) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) với
'
'
b
x
a
.
+ Bỏ phần đồ thị hàm số (1) với
nghiệm của PT: x
3
-3x
2
+ 2 = 2(
2
1
m
m
).
HD:
2
1 1 1
2
m
m m
m m m
2
1
2
m
m
hoặc
t t
t
= m.
Bài 4. Khảo sát y =
2
2 2
x x
x
. Biện luận số nghiệm
của phương trình:
2
2 2
x x
x
= m.
Bài 5. Khảo sát y =
2
3
2 2
x x
x
. Biện luận số
nghiệm của PT: x
2
.
Bài 7. Khảo sát y =
2
1
1
x x
x
. Biện luận số
nghiệm của PT: x
2
- x - k
1
x
+ 1 = 0. (1)
Bài 8. Khảo sát y = -x
3
+ 3x
2
- 2. Biện luận số
nghiệm: x
3
- 3x
2
+ m = 0.
Bài 9. Khảo sát y =
2
2
x
mxx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên
đoạn [-1;0]
c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
2 2
1 1 1 1
9 ( 2).3 2 1 0
t t
a a
(2)
HD:
Đặt x =
2
1 1
3
t
. Điều kiện x 3.
(2) x
2. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
* Loại 1:
Dạng:
2 2
a x dx
,
2 2
dx
a x
đặt x = asint.
Dạng:
2 2
dx
x a
đặt x = atgt,
2 2
( )
Dạng:
( )sin ,
b
a
P x xdx
( )cos ,
b
a
P x xdx
( ) ,
b
x
a
P x e dx
Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e
x
dx).
Dạng:
2 2
, ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
+ Nắm vững các công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy:
Dạng
sin ,
b
x
a
e xdx
cos .
b
x
a
e xdx
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e
x
dx. Tích phân từng
phần 2 lần.
Dạng:
sin(ln ) , cos(ln ) .
b b
a a
x dx x dx
Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx. Tích phân
từng phần 2 lần.
trong đó f(x) là
hàm số chẵn.
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xét tích phân
0
( )
1
x
f x
dx
a
Các ví dụ
Bài 1: Tính tích phân
1
0
2
3
1
dx
x
x
I
ĐS I =1/2(1-ln2).
Bài 2: Tính tích phân
3ln
0
3
)1(
dx
e
e
I
x
2
0
56 3
cos.sin.cos1
dxxxI
HD: t =
6 3
1 cos
x
cos
3
x = 1- t
6
.
ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân
32
5
2
4.
1
dx
xx
I
Bài 8: Cho hàm số
x
ebx
x
a
xf .
)1(
)(
3
Tìm a,b
biết rằng f’(0) = -22 và
1
0
5)( dxxf
Bài 9: Tính tích phân
3
4
2
cos1.cos
dx
3
1
3
1
dx
xx
I
2) Tính tích phân
8ln
3ln
2
.1 dxeeI
xx
3) Tính tích phân
2
0
2
cos)12(
xdxxI
4) Tính tích phân
4
4
1
dx
x
xx
I
7) Tính tích phân
7
0
3
1
2
dx
x
x
I
8) Tính tích phân
4
0
sin
)cos(
0
2
cos1
sin.
dx
x
xx
I
12) Tính tích phân
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
I
13) Tính tích phân
e
dxxxI
1
sin
1
x x
I
x
17) Tính tích phân
2
sin
2 1
x
x
I dx
18) Tính tích phân
2
1
2 2
I dx
x
.
4. Diện tích:
* Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a;
b]. Trong đó phương trình: f(x) - g(x) = 0 vô
nghiệm trên [a; b].
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
* Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a;
b]. Trong đó phương trình: f(x) - g(x) = 0 có ít nhất
một nghiệm x = x
0
trên [a; b].
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
b
ví i
b
a
V x dx x g y
Các ví dụ :
Copyright: Tài liệu đại học ©