Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN =+ π
⎡
=⇔
⎢
=π− + π
⎣
uvk2
sin u sin v
uvk2

cos u cos v u v k2=⇔=±+π

π
⎧
≠+π
⎪
=⇔
⎨
⎪
=+ π
⎩
uk
tgu tgv
2
uvk'

(
)

cos u 1 u k2
=
⇔= π

()

kZ∈
sin u 1 u k2
2
π
=− ⇔ =− + π

cosu 1 u k2
=
−⇔ =π+ π

Chú ý :
sin u 0 cos u 1≠⇔ ≠±
cos u 0 sin u 1≠⇔ ≠±Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)
[
]
x0,14∈
nghiệm đúng phương trình Tìm
(
)
cos 3x 4cos 2x 3cos x 4 0 *−+−=


2
π
=+π∈Z

Ta có :
[]
x0,14 0 k 1
2
4
π
∈⇔≤+π≤

⇔
k14
22
ππ
−≤π≤ −
⇔
1141
0, 5 k 3, 9
22
−=−≤≤−≈
π

Mà k nên Z∈
{
}
k
. Do đó :
0,1,2,3∈

2cos x 1 2sin x cos x sin x 0
−
+−
⎡⎤
⎣⎦
=
)

⇔
()(
2cosx 1 sinx cosx 0
−
+=

⇔
1
cos x sin x cos x
2
=∨ =−

⇔ cos x cos tgx 1 tg
34
ππ
⎛⎞
=∨=−=−
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()

⎝⎠

⇔
5x x
4 cos cos x cos 0
22
=

⇔
5x x
cos 0 cos x 0 cos 0
22
=
∨=∨=

⇔
ππ π
=+π∨=+π∨=+π
5x x
kx k k
22 2 22

⇔
()
ππ π
=+ ∨=+π∨=π+π ∈
2k
xxkx2,
55 2
kZ

cos 2x 0 cos5x 0 cos x 0
=
∨=∨=

⇔
ππ π
=+π∨ +π∨=+π∈

2x k 5x k x k , k
22 2

⇔
ππ π π π
=+ ∨= + ∨=+πk
kk
xx x
42 105 2

∈

,k

Bài 32 : Cho phương trình
()
π
⎛⎞
−= −−
⎜⎟
⎝⎠
22

1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2
+++=

⇔
⎛⎞⎛⎞
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
11
cos 4x sin x 2 sin x 0
22

⇔
()
1
cos 4x 2 sin x 0
2
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()
cos 4x 2 loại
1
sin x sin

2
h

Ta có :
−
<x1 3
⇔ ⇔
3x13−< − <
2x4
−
<<
Vậy :
2k2
6
π
−<− + π<4

⇔
22k 4
66
ππ
−< π<+
⇔
11 21
k
12 12
−<<+
ππ

Do k nên k = 0. Vậy Z∈

7
x
6
.Tóm lại
−
ππ
==
7
xhayx
66

Cách khác :
−
π
=− ⇔ = − + π ∈

k
1
sin x x ( 1) k , k
26

Vậy :
−π − −
−<− +π< ⇔ <− + <
π
π
kk
21
2(1) k 4 (1) k
66

⇔
3
3
sin 2x cos 2x sin 4x
2
=

⇔
3
3
sin 4x sin 4x
4
=

⇔
3
3sin 4x 4sin 4x 0
−
=

⇔ sin12x = 0
⇔ ⇔
12x k=π
()
k
xk
12
Z
π
=∈

2

⇔
πππ
=+π∨=− ∨= ∈

kk
xkx x,k
229

Bài 35 : Giải phương trình
()()
sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++

⇔
2sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos2x+= +
⇔
()
(
)
+= +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1

⇔
()( )
2cos x 1 sin 2x cos2x 0
+
−=

⇔
12

cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x.cos 3x *

Ta có : (*)⇔
(
)
(
)
3
cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos3x++ = + −
⇔
()
cos10x cos 8x 1 cos x 2cos x.cos 9x++=+
⇔
2cos9x cos x 1 cos x 2cos x.cos 9x+= +
⇔
cos x 1=
⇔
(
)
xk2kZ=π∈Bài 37 : Giải phương trình
(
)
33 2
4 sin x 3 cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− =

Ta có : (*) ⇔
()

⎣⎦
⇔
12
cos 2x cos
23
sin x cos x
π
⎡
=− =
⎢
⎢
=
⎣

⇔
2
2x k2
3
tgx 1
π
⎡
=± + π
⎢
⎢
=
⎣
⇔
xk
3
xk

)
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0++ + =

⇔
()(
sin x cos x 1 2cos x 0++
)
=
⇔
sin x cos x
12
cos 2x cos
23
=−
⎡
⎢
π
⎢
=− =
⎣

⇔
tgx 1
2
xk
3
=−
⎡
⎢
π

2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4cos x 3 *++−+=

Ta có : (*) ⇔
()
(
)
(
)
2
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4 1 sin x 3 0++−+−−=

⇔
()( )
(
)
(
)
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0
+
+−++ − =

⇔
()
(
)
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0
+
+−+−
⎡⎤
⎣⎦

26 6
ZBài 40: Giải phương trình
()
(
)
+= +
66 88
sin x cos x 2 sin x cos x *

Ta có : (*)
⇔
6868
sin x 2sin x cos x 2 cos x 0−+−=

⇔
()
(
)
6262
sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0−− −=

⇔
−=
66
sin x cos 2x cos x.cos 2x 0
⇔
()

=+
,k
∈



Bài 41 : Giải phương trình
()
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x *
16
=

Ta thấy
xk
=
π
không là nghiệm của (*) vì lúc đó
cos x 1,cos2x cos 4x cos 8x 1=± = = =

(*) thành :
1
1
16
±=
vô nghiệm
Nhân 2 vế của (*) cho
16sin x 0
≠
ta được

πππ
=∨=+ ∈
k2 k
xx ,k
15 17 17
Z

Do : không là nghiệm nên
=πxh
≠
k 15m
và
()
+≠ ∈2k 1 17n n, m Z

Bài 42: Giải phương trình
()
3
8cos x cos 3x *
3
π
+=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
tx xt
33
ππ

=
⇔
()
cos t 2 cos 2t 1 0+=
⇔
12
cos t 0 cos 2t cos
23
π
=∨ =−=

⇔
()
ππ
=+∨=±+
2
t2k1 2t k2
23
π

⇔
ππ
=+π∨=±+πtkt
23
k

Mà
xt
3
π

cos x 0
cos 3x 4 cos x 3cos x 0
≠
⎧
⎨
=−≠
⎩
ππ
⇔≠⇔≠+
h
cos3x 0 x
63

Lúc đó ta có (*) ⇔
()
tgx tgx tg3x 2
−
=

⇔
sin x sin x sin 3x
2
cos x cos x cos 3x
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
()

()
k
xk
42
ππ
=+ ∈Z

so với điều kiện
Cách 1 : Khi
k
x
42
π
=+
π
thì
()
33k 2
cos 3x cos 0 nhận
42 2
ππ
⎛⎞
=+=±≠
⎜⎟
⎝⎠

Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy
không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó :
(*)
⇔

(vô lý vì
∈
k, h Z
)

Bài 44: Giải phương trình
()
222
11
tg x cot g x cot g 2x *
3
++ =

Điều kiện
cos x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
≠
⎧
⎪
≠⇔ ≠
⎨
⎪
≠
⎩
Do đó :
(*)
⇔
222
11 1

⇔
2
3
sin 2x
4
=
(nhận do sin2x
0
≠
)
⇔
()
13
1cos4x
24
−=

⇔
12
cos 4x cos
23
π
=− =

⇔
2
4x k2
3
π
=± + π

52
sin 2x 3
=
0Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003)
Giải phương trình
()
222
xx
sin tg x cos 0 *
24 2
π
⎛⎞
−−=
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện :
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
lúc đó :
(*)
⇔
[]
2
2
1sinx1
1cosx 1cosx 0
22cosx2

−
−+ =
+

⇔
()
1cosx
1cosx 1 0
1sinx
−
⎡⎤
+−
⎢⎥
+
⎣⎦
=
=

⇔
()( )
1 cos x cos x sin x 0+−−
⇔
()
cosx 1 nhậndocosx 0
tgx 1
=− ≠
⎡
⎢
=−
⎣

2
sin x 0
2cos x 1 0
≠
⎧
⎨
−
≠
⎩
⇔
cos x 1
2
cos x
2
≠±
⎧
⎪
⎨
≠±
⎪
⎩

Ta có :
cos x sin 2x
cot gx tg2x
sin x cos 2x
+= +

cos2x cos x sin 2x sin x
sin x cos 2x

⇔
cos x 0
1
2
cos2x
=
⎡
⎢
⎢
=
⎣
⇔
()
⎡
⎛⎞
=
≠≠±
⎢
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
π
⎢
== ≠
⎣
2
cosx 0 Nhậndocosx và 1
2

cos 2x
−
=+

Ta có :
22
22
22
cos x sin x
cot g x tg x
sin x cos x
−= −44
22 2
cos x sin x 4 cos2x
sin x cos x sin 2x
−
==

Điều kiện : ⇔
si
sin 2x 0
cos 2x 0
≠
⎧
⎨
≠
⎩

1 2 1 cos 4x 1 cos 4x
121cos4x 2sin4x
1
sin 4x nhận do sin 4x 0
2
11
1cos8x
22
k
cos 8x 0 x , k
16 8Bài 48
: Giải phương trình:
()
44
7
sin x cos x cot g x cot g x *
836
ππ
⎛⎞⎛⎞
+= + −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Điều kiện
sin x 0 sin x 0
33
2

22
tg2x 3
⇔− + ≠
⇔≠

Ta có:
()
2
44 22 22 2
1
sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x 1 sin 2x
2
+= + − =−

Và: cot g x .cot g x cot g x .tg x 1
36 33
ππ ππ
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
+−=++
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
=

Lúc đó: (*)
2
17
1sin2x
28
⇔− =


sin 2x
+=+Điều kiện:
cos 2x 0
sin 2x 0 cos 2x 1
sin 2x 0
≠
⎧
⇔
≠⇔ ≠±
⎨
≠
⎩

Lúc đó: (*)
2sinx cos2x 1
2sin2x
cos x sin 2x sin 2x
⇔+= +()
()
()
()
()
()
⇔+= +

cos2x cos nhận docos2x 1
23
2
2x k2 k Z
3
xk,k
3Bài 51: Giải phương trình:
()
()
3sinx tgx
21 cosx 0*
tgx sin x
+
−+ =
−
()

Điều kiện : ⇔
tgx sin x 0−≠
sin x
sin x 0
cos x
−
≠

⇔
()


⇔
()
()
()
3cosx 1
21 cosx 0
1cosx
+
−+ =
−

⇔
()
−= ≠ +≠
−
3
2 0 do sin x 0 nên cos x 1 0
1cosx

⇔
12cosx 0+=
⇔
1
cos x
2
=−
(nhận so với điều kiện)
⇔
π

≠

Lúc đó (*)⇔
()
()
()
2
32
22
21 cos x
sin x 1 sin x
1sinx
41sinx 1sinx 2 1sinx
+
−=++
−− −

⇔
()
()
(
)
(
)
23 2
1 cos x 1 sin x 2sin x 1 sin x 1 sin x 2sin x++−=+−+
2

⇔
()

π
=+π

⇔
xk
42
π
=+
π
(nhận do cosx
≠
0)

Bài 53 : Giải phương trình
(
)
cos 3x.tg5x sin7x *=

Điều kiện
cos5x 0≠
Lúc đó : (*) ⇔
sin 5x
cos3x. sin7x
cos 5x
=

sin 5x.cos 3x sin7x.cos5x=
⇔
[][]
11

(loại nếu k lẻ)
ππ ππ
⎛⎞
=+ = + ≠
⎜⎟
⎝⎠
20 10
kk
xthìcos5xcos 0nhận
4 2

π
π
=π∨ = +
k
xh x
20 10
Do đó : (*)⇔ , với k, h
∈


Bài 54 : Giải phương trình
()
44
sin x cos x 1
tgx cot g2x *
sin 2x 2
+
=+



()
cos 2x x
1
cos x sin 2x sin 2x
−
==

()
−
⇔=
⇔− =
⇔= ≠
⇔=
π
⇔=+π ∈
ππ
⇔= + ∈


2
2
2
2
1
1sin2x
1
2
Do đó : (*)
sin 2x 2 sin 2x

⎢⎥
+− +−
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
22 2 2
Lúc đó (*) cotg3x tg x cot g 2x 1 tg x cot g 2x
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x
cot g3x 1
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x

−
()
(
)
(
)
(
)
()()()()
[]
()
[]
()
⎡
⎤
⇔−+−+−
⎣
⎦
=− − −+ +
⇔−=−+

* Khi
π
π
=+
k
x
63
thì
ππ π
⎛⎞⎛⎞
+
+π≠
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
2k
sin .sin k 0
33 2

+
⎛⎞
⇔π≠
⎟
⎠
12k
sin 0

Luôn đúng
⎜
⎝
3

⎢
=+π∈
⎢
⎣


k
x,kZ2k3m1(m
63
xl,l
4

)
Cách khác:
()
⇔−=−
−
−
⇔= =
−−
+−
⇔=
−+
⇔= ⇔=∨=
22 2 2
22
22
22 22
(*) cotg3xtgxcotg2x 1 tgx cotg2x
tg 2x.tg x 1


. Tỡm caực nghieọm x treõn



2

2

0,
cuỷa phửụng trỡnh
4x cos 6x sin 10, 5 10x
3. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
x cos x 2 sin x s x+= +

sin
()
= +
22
a/
sin co
()
33 55
b/
sin x sin 2x sin 3x
3
cos x cos2x cos3x
++
=
++

2
i/
2tgx cot g2x 3
sin 2x
+=+

h/
2
3tg3x cot g2x 2tgx
sin 4x
+=+

k/ =
22 2
sin x sin 2x sin 3x 2++
l/
si 2n x
2cosx 0
inx
+
1s
=
+

m/
()
2
25 4x 3sin 2 x 8sin x 0+

=

3
2
os cos 3x sin x sin x
4
+=

s/
44
xx5
sin cos
338

+
=
t/ =
33 2
cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 +
u/
44
xx
sin cos 1 2sin x
22
+=

v/
s 3in x sin 2x.sin x
44

⎝
4 Cho phương trình:
()
(
)(
2
)
2s x m 3 4cos x 1++=−

a/ Giải phương trình khi m = 1
2sinx 1 2cos2x in−
[
]
0,
π
b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên
m0m 1m3
=
∨<−∨
( ĐS:
>
)

5. Cho phương trình:
(
)
5
4cos xs
52
inx 4sin x.cosx sin 4x m 1−=+