CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:
(
)
()
2cosx 1 0 1
3
sin 2x 2
2
−=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩Ta có:
()
1
1cosx
2
⇔
=()

32
π
⎛⎞
=−+π=−≠
⎜⎟
⎝⎠
3
2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là:
2,
3
π
=
+π∈

xkkBài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
xy
3
+
=
⎧
⎪
π
⎨
+=

=
=
⎪
⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
π
⎪⎪
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩
xy
xy
2.sin .cos 1
cos 1
62
2
xy
xy
3
34
2

6
π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=−π
⎪
⎩
xk
kZ
ykCách 2:
Hệ đã cho

3
3
31
sin sin 1
cos sin 1
3
22
3
3

π
⎧
π
⎧
=−
=−
⎪
⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔∈

⎪
⎩Cách 1:
Hệ đã cho
xy xy
2sin cos 2 (1)
22
xy xy
2cos cos 2 (2)
22
+−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
+−
⎪
=
⎪
⎩

Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+
⎛⎞
=


sin x cos x 2⇔+=2 cos 2
4
2,
4
π
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔− = π∈
=

x
xhh

Do đó: hệ đã cho
()
2,
4
2,,
4
π
⎧
=+ π∈
⎪

(
)
()()
⎧− + − =
⎪
⇔
⎨
++−=
⎪
⎩
⎧π π
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎪⎝⎠ ⎝⎠
⇔
⎨
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⎪
++ +=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩
sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2sin x 2sin y 0
44

⎜⎟⎜⎟
⎪
⎧π π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪
−+ −=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎪
π
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⇔⇔+=
⎨⎨
⎜⎟
ππ
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎪⎪
π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⎩
+=
⎪
⎜⎟

⎪
=+ π ∈
⎪
⎩
xk2
4
yh2,h,k
4
ZBài 176: Giải hệ phương trình:
−− =
⎧
⎪
⎨
+=−
⎪
⎩
tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos2y 3cos2x 1 (2)

Ta có:
tgx tgy 1 tgxtgy
−
=+


2
π
≠
+πxy k
4
π
⇔=++π,
với
x, y k
2
π
≠
+π

Thay vào (2) ta được:
cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π
⎛⎞
+
++ π=−
⎜⎟
⎝⎠cos 2 3 s 2 1
31 1


Do đó:
Hệ đã cho
()
()
5
6
,
6
xkh
hk Z
yh
π
⎧
=++π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=+π
⎪
⎩Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)

)
32
sin y cos x cos x cos x 1 cos x=− = −==
2
1
cos x.sin x sin 2x sin x
2ππ
⎛⎞⎛
=− −+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
1
sin sin k
22 4
⎞
π
⎟
⎠π
⎛⎞
=− − + π
⎜⎟

α< π
)
Vậy nghiệm hệ
()
ππ
⎧⎧
=− + π ∈ =− + + π ∈
⎪⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
=α+ π ∈ =−α+ π ∈
⎡⎡
⎪⎪
⎢⎢
⎪⎪
=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈
⎣⎣
⎩⎩




x2m,m x 2m1,m
44
yh2,h y 2h,h
yh2,hyh2,hII. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

⎧
+
+−=
⎡⎤
⎣⎦
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−=
⎪
⎩
−()
(
)
() ()
()
+
+−=⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
−

⇔
⎨
⎪
−=π ∈
⎩


sin x y 1
sin x y 0
xy k2,k
2
xy h,h()
()
ππ
⎧
=− + + ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
ππ
⎪
=− + − ∈
⎪
⎩
≠


sin 1 3 4
sin 0 3 4
Thế 1 vào 2 ta được:
xy
xy
xy
xy
⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
+=− +⎧
⎪
⇔
⎨
−= −
⎪
⎩
)
)

2,
2
,
xy k k

⎪
⇔∈
⎨
ππ
⎪
=− + −
⎪
⎩III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ

Bài 179: Giải hệ phương trình:

()
()
23
1
3
23
cotg cotg 2
3
tgx tgy
xy
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
−
2
23
XY
23
XY
3
3
23
XY 1
X
X10
3
X3 3
X
3
3
Y
Y3
3
⎧
⎧
+=
⎪
+=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩

,,
36
,,
63
ππ
⎧⎧
=+π∈ =−+π∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=− +π ∈ = +π ∈
⎪⎪
⎩⎩


xkk x kk
yhhyhh

⎧
+=
⎪
⇔
⎨
⎪
−+−
⎩
=()
⎧
+=
⎪
⎪
⇔
⎨
−
⎪
+=
⎪
⎩
⎧
+=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪

sin x sin y
2
1m
2sinxsiny 1
42
−⎧
+=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=− +
⎪
⎩
1
sin x sin y
2
3m
sin x sin y
84

Đặt
X
sin x, Y sin y với X , Y 1== ≤

thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình

sin x 1 1
sin x
2
1
sin y
sin y 1
2
=
⎧⎧
=
−
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩2, (1) ,
26
(1) ,
2,
6
2
ππ
⎧⎧
=+ π∈ =−− +π∈
⎪⎪


Xét
()
[]
2
13
yt t CtrênD 1,1
28
=− + + = −

thì:
1
y' 2t
2
=− +1
y' 0 t
4
=⇔=Hệ đã cho có nghiệm
(
)
[
]
* có 2 nghiệm trên -1,1⇔


28 16 0
(1) 1 2 0
(1) 9 2 0
1
11
24
⎧
Δ= − ≥
⎪
=+ ≥
⎪
⎪
⇔
⎨
−=+ ≥
⎪
⎪
−≤ = ≤
⎪
⎩
m
af m
af m
S
17
24
⇔− ≤ ≤m

()
2
2
X
mY m 1
YmXm 2
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

Lấy (1) – (2) ta được:
(
)
22
X
YmYX0
−
+−=()
(
)
X
YX Y m 0
X

X
YYmX
X
mX m 0 * X mX m m 0 * *
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+−= −+−=
⎪⎪
⎩⎩

a/Khi m = -4 ta được hệ

()
()
2
2
Y4X
XY
X
4X 20 0 vô nghiệm
X4X40
X2loạidoX1
Y2
=− −
=
⎧
⎧

m do m không là nghiệm của *
1X
⇔= −
⇔=
−

Xét
[
)
()
22
2
X
X2X
Ztrên1,1Z'
1X
1X
−+
=−⇒=
−
−
;

Z' 0 X 0 X 2=⇔ =∨ =Do đó hệ
()
2
XYX1


Khi
m
thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm
0≥


Khi < thì (I) vô nghiệm mà (**) cùng vô nghiệm m
0

Δ
(do < 0)
nên hệ đã cho vô nghiệm
Do đó: Hệ có nghiệm
m0
⇔
≥

Cách khác
Hệ có nghiệm (*)hay ⇔=+−=
2
f(X) X mX m 0
(**) có nghiệm trên [-1,1] =− + −=
22
g(X) X mX m m 0

(1) (1) 0ff⇔− ≤
2
1
40

2
34
(1) 1 0
(1) ( 1) 0
11
22
mm
ag m
hay
ag m
Sm
⎧
Δ=− + ≥
⎪
0
−
=+≥
⎪
⎪
⎨
=
−≥
⎪
⎪
−≤ = ≤
⎪
⎩

12 0m⇔− ≤
2
Bài 182: Giải hệ phương trình:
⎧π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎪
⎪⎝
⎨
π
⎛⎞
⎪
+
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
tgx cotgx = 2sin y + (1)
4
tgy cotgy = 2sin x - (2)
4
⎠Cách 1:
Ta có:
22
sin cos sin cos 2
tg cotg =
⎧π
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎪
⎪⎝
⇔
⎨
π
⎛⎞
⎪
=−
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
1sin2xsiny (1)
4
1 sin 2y.sin x (2)
4
⎠

Ta có: (1)
==
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
ππ

44

Thay
π
⎧
=+π∈
⎪
⎪
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩


xk,k
4
yh2,h
4
vào (2) ta được
sin 2y.sin x sin .sin k 0 1
42
ππ
⎛⎞
−= π=≠
⎜⎟
⎝⎠
(loại)
Thay
⎧
π
⎛⎞
=−+π=
⎨
⎜⎟
−
⎝⎠
⎩
1( nếuklẻ)
sin k
2
1 ( nếu k chẵn)

Do đó hệ có nghiệm

()
()
π
⎧
=− + + π
⎪
⎪
∈
•
⎨
π
⎪

Dấu = tại (1) chỉ xảy ra khi
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
ππ
⎨⎨
⎛⎞ ⎛⎞
+= +=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎩
ππ
⎧⎧
=+π ∈ =−+π ∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=+ π ∈ =− + π ∈
⎪⎪
⎩⎩


tgx 1 tgx 1
sin y 1 sin y 1
44

()
π
⎧
=− + + π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=− + π
⎪
⎩

x2m1
4
,m,h
3
y2h
4Bài 183: Cho hệ phương trình:

()
2
xym (1)
2 cos2x cos 2y 1 4 cos m 0 (2)
−=
⎧

⎩
−=
⎧
⎪
⇔
⎨
−++− +
⎪
⎩
−=
⎧
⎪
⇔
⎨
−++ +=
⎪
⎩
2
22
22
xym
4cos x y cosm 4cos m 1 0
xym
[2 cos m cos x y ] 1 cos x y 0
xym
[2 cos m cos x y ] sin x y 0
=

()
()


2
mh2m h2,h
33BÀI TẬP

1. Giải các hệ phương trình sau:
a/
22
sin x sin y 2
tgx tgy tgxtgy 1
f/
3sin2y 2 cos4x
sin x sin y 2
+=
+
+=
⎧
⎧
⎨⎨
−=
+=
⎩
⎩⎧
⎧

(
)
2
2
cos x y 2cos x y
2cosx 1 cosy
c/ h/
3
cos x.cos y
2sinx siny
4
1
sin x 7cos y
sin x cos y
d/ k/
4
5siny cosx 6
3tgx tgy
tgx tgy 1
sin x cos xcos y
e/ l/
xy
tg tg 2
cos x sin x sin y
22
+
=−
⎧
⎧
=+

⎩

2.Cho hệ phương trình:
2
cos x cos y m 1
sin x sin y 4m 2m
=+
⎧
⎨
=+
⎩
a/ Giải hệ khi
1
m
4
=−

b/ Tìm m để hệ có nghiệm
⎛⎞
−≤≤−
⎜⎟
⎝⎠
31
ĐS m hay m=0
44

3. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:

()
⎧

⎩
⎩

()
≤≤ĐS 1 m 2

⎛⎞
+
≤≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1- 5 1 5
ĐS m
22Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn