CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM
=
β
với
02
≤
β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=
cos OHα=
sin
tg
cos
α
α=
α
với
co

s 0α≠
cos
cot g

60
3
π

()
o
90
2
π

sinα

0 1
2

2
2

3
2

1
cosα

1
3
2

2
2

2
2
1
1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
(
)
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)
a. Đối nhau: và

()
sin sin
cos cos
tg tg
cot
g
cot
g
π−α = α
π−α =− α
π−α =− α
π−α =− α

c. Sai nhau : vaø
π+

π
α α
(
)
()
()
()
sin sin
cos cos
tg t g
cot
g
cot
g

π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠e.Sai nhau
2
π
:
α
vaø
2
π
+α

sin cos
2
cos sin

⎝⎠

f.

()()
()()
()
()
+π=− ∈
+π=− ∈
+π= ∈
+π=
k
k
sin x k 1 sin x,k Z
cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z
cotg x k cot gxV. Công thức cộng
(
)
()
()
sin a b sinacosb sin bcosa
cos a b cosacosb sin asin b
tga tgb
tg a b
1tgatgb

3
3
sin3a 3sina 4sin a
cos3a 4 cos a 3cosa
=−
=−VIII. Công thức hạ bậc:
()
()
2
2
2
1
sin a 1 cos2a
2
1
cos a 1 cos2a
2
1cos2a
tg a
1cos2a
=−
=+
−
=
+
−X. Công thức biến đổi tổng thành tích
()
()
ab ab
cosa cosb 2cos cos
22
ab ab
cosa cosb 2sin sin
22
ab ab
sina sinb 2cos sin
22
ab ab
sina sinb 2cos sin
22
sin a b
tga tgb
cosacosb
sin b a
cotga cotgb
sina.sin b
+−
+=
+−
−=−
+−
+=


Bài 1: Chứng minh
44
66
sin a cos a 1 2
sin a cos a 1 3
+−
=
+−

Ta có:
(
)
2
44 22 22 2
sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−
2

Và:
(
)
(
)
()
66 224224
4422
22 22
22
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1

==+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

Tính giá trò A nếu
1
cosx
2
=−
và
x
2
π
<
<π

Ta có:
22
2
1cosxsinx12cosxcosx
A
sin x sin x
⎛⎞
++−+
=
⎜⎟

13
sin x 1 cos x 1
44
=
−=−=

Do:
x
2
π
<<π
nên
sin

x 0>
Vậy
3
sin x
2
=

Do đó
244
A
sin x 3
3
===
3
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔= −− +− + −
⇔= −− + + − +−
2

A2⇔=
(không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện
sinx.cosx 0,t
g
x1
≠
≠

Ta có:
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
1
+
=+
−−

1
1
221t
g
x

(không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh
()
2
22
22
222
1cosa
1cosa cosbsinc
1cot
g
bcot
g
ccot
g
a1
2sina sin a sin bsin c
⎡⎤
−
+−
−
+−=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
Ta có:
*
22

g
b1 cot
g
c1cot
g
bcot
g
bcot
g
c=+−+− 1=−
(1)
*
()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina sin a
⎡⎤
−
+
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

()
2
2

+
(2)
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.

Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn.
ABCΔ
Tìm giá trò nhỏ nhất của
Pt
g
A.t
g
B.t
g
C=Ta có:
AB C+=π−
Nên:
(
)
tg A B tgC+=−

tgA tgB
tgC
1 tgA.tgB
+
⇔=
−
−

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
t
g
A,t
g
B, t
g
C
ta được
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥

3
P3P⇔≥

32
P3
P33
⇔≥
⇔≥

Dấu “=” xảy ra
==
⎧
π
⎪
⇔⇔=
⎨
π
<<

⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+t

=>
()
3
3
1
y' 1 t 4t
2
=− − +

Ta có : Ù
()

y' 0=
3
3

x
1
y
Min
27b/ Do điều kiện :
sin
và
co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤
=π+π
⎢⎥
⎣⎦
Dk2, k2
2
với
∈

k

Đặt
tcos= x
x
với thì
0t1≤≤

(
)
∈
=
=
xD
max y y 0 1,

(
)
∈
=
=−
xD
min y y 1 1Bài 7: Cho hàm số
44
ysinxcosx2msinxcos=+− x

Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

Xét
44
f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−
()
()
2
22 2

()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,∀∈− 1
t

Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
1
, t
2

2
'm 20Δ= + > m∀
Lúc đó t t
1
t
2

g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔
12
t11
≤
−< ≤

⇔ ⇔
()
()

≤
⎪
⎩
⇔
11
m
22
−≤ ≤

Cách khác : gt
()
2
t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,1−∀∈

{
}
[,]
max ( ) max ( ), ( )
t
gt g g
∈−
⇔≤

⇔−≤

4444
357
A sin sin sin sin
16 16 16 16 2
π πππ
=+++
3
=

Ta có :
7
sin

sin cos
16 2 16 16
πππ π
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
πππ
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
55
sin cos cos
16 2 16 16
π3



44 44
33
sin cos sin cos
16 16 16 16


=+++





22
11
1sin 1sin
28 2 8


= +


3





13
2
22
= =Baứi 9 : Chửựng minh :
oooo
16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1
=

Ta coự :
o
o
Acos10 1
A
cos10 cos10
==
o
(16sin10
o
cos10
o
)sin30
o
.sin50
o

()
oo
o
1
A
2sin40 cos40
cos10
=o
o
oo
1cos10
A
sin 80 1
cos10 cos10
===Baứi 10 : Cho
A
BC
. Chửựng minh :
A
BBCCA
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
+
+=

A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2

+=


B
2A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++ =Baứi 11 :
Chửựng minh :
()

++ +=84tg 2tg tg cotg *
81632 32

Ta có : (*) ⇔

⎥
⎣⎦
(*) ⇔
2cotg 2tg 4tg 8
16 16 8
ππ π
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎣⎦
⇔
=
4cotg 4tg 8
⇔
88
π
π
=

−
8cotg 8
π
⇔
=
(hiển nhiên đúng)
4

Bài :12 : Chứng minh :
22 2
22

⎞
⎟
⎠
()
11 414
1cos2x 1cos2x 1cos 2x
22 323
⎡π⎤⎡π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
=+ ++ + ++ −
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦

31 4 4
cos 2x cos 2x cos 2x
22 3 3
⎡
ππ⎤
⎛⎞⎛⎞
=+ + + + −
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦

31 4

cos a cos b sin b cos a sin a cos b
cot ga cot gb
sin a sin b sin a sin b
−
−=−=

()
sin b a
sin a sin b
−
=

Do đó :
(
)
()
sin 2x x
1
cot gx cot g2x 1
sin x sin 2x sin 2x
−
−= =

(
)
()
sin 4x 2x
1
cot g2 x cot g4x 2
sin2xsin4x sin4x
Bài 13 : Chứng minh :
3
8sin 18 +=
0 20
8sin 18 1

Ta có: sin18
0
= cos72
0

⇔ sin18
0
= 2cos
2
36
0
- 1
⇔ sin18
0
= 2(1 – 2sin
2
18
0
)
2
– 1
⇔ sin18

0
– 1) = 0
0
< 1)
Chia 2 vế của (1) cho ( sin18
0
– 1 ) ta có
( sin18
0
+ 1 ) – 1 = 0
Bài 14 :
⇔ 8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1 = 0 (do 0 < sin18
Cách khác :
( 1 )
⇔ 8sin
2
18
0

Chứng minh :
()
a/

a/ Ta có:
2
2
1sin2
4
=−

x

()
1
11cos4
4
=− −

x

31
cos 4x
44
=+

b/ Ta có : sin6x + cos6x
)()(
224224
sin x cos x si n x sin x cos x cos x=+ − +
()
44 2
1
sin x cos x sin 2x

3cos4x sin2x
16 16

()
()
⎡
⎤
=+ + − −
⎢
⎥
⎣
⎦
2
2
111
9 6cos4x cos 4x 1 cos4x
16 8 2

()
()
2
93 1 1
cos 4x 1 cos8x 1 2 cos 4x cos 4x
16 8 32 32
=+ + + − − +

()
=+ + + − +
93 1 1 1
cos4x cos8x cos4x 1 cos8x

s3sin x 4 sin x 4 cos x 3co x=−+−

()
(
)
44 66
3sin x cos x 4sin x cos x=−−−
()
(
)
2222
3 sin x cos x sin x cos x=− +
()
(
)
224224
4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x−− + +
22
3cos 2x 4 cos 2x 1 sin x cos x
⎡
⎤
=− + −
⎣
⎦

2
1
3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x
4
⎛⎞

44
−+
⎛⎞⎛
=+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝

⎞
⎟
⎠
()
()
22
31
sin 3x sin x cos 3x cos x cos 3x s in 3x
44
=++−

()
31
cos 3x x cos 6x
44
=−+

(
1
3cos 2x cos 3.2x
4
=+


o
os 3 2cos15 cos45 2cos15 cos3=

+
oo o o oo
2cos15 c
oo
2cos15 cos45=

()
oo
cos 60 cos 30=
31
2
=
+Baứi 17 : Tớnh
o

2o 2 o
Psin50 sin70cos50cos70=+

()()()
= + +
ooo
111
P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos20
222


Baứi 18 : Chửựng minh :
oooo
83
tg30 tg40 tg50 tg60 cos20
3
+++=

o
()
sin a b
tga tgb
cos a cos b
+
+=
Ap duùng :
Ta coự :
)
o
()(
oo o
tg50 tg40 tg30 tg60+++
oo
oo o
sin 90 sin 90
cos 50 cos 40 cos 30 cos 60
=+

o
oo




po
oo
s 20 cos10

co
4
cos10 cos 30
=
o
83
cos 20
3
=

Baứi 19 : Cho
A
BC
, Chửựng minh :
a/
A
BC
sin A sin B sinC 4 cos cos cos
22
++=

2
A


2

a/ Ta coù :
()
A
BAB
sin A sin B sin C 2sin cos sin A B
22
+
−
++= + +

A
BAB AB
2sin=cos cos
22 2
+− +
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

+π
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
CAB AB C
4 cos cos cos do

⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦

+
A
BA B
4cos sin sin 1
22 2
+
⎛⎞
− +
⎜⎟
⎝⎠

=−
CAB
4sin sin sin 1
222
=+

(
)
(
)
sin 2A s in 2B sin 2C 2sin A B cos A B 2sin C cos C+= + −+ c/
=−+2sin C cos(A B) 2sin C cosC

=−−2sinC[cos(A B) cos(A B)]

)
cos A B cosC+=− cos C−
()
(
)
1 cosC cos A B cos A B=− − + +
⎡⎤
⎣⎦

1 2 cos C.cos A .cos B=−

e/ Do neân ta coù
g A B tgC+=−

ab C+=π−
()
t
tgA tgB
tgC
1tgAtgB
+
=−
−
⇔
⇔
tgC

tgA tgB tgC tgAtgB+=−+
⇔
a có : cotg(A+B) = - cotgC

22
+
=

⇔
A
B
tg tg
C
22
cot g
AB
2
1tg tg
22
+
=
−

A
B
cotg cotg
C
22
cot g
AB
2
cot g .cot g 1
22
+

BC
. Chứng minh : Cho
Δ
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 Bài 21 :
A
BCΔ
Cho . Chứng minh :
3A 3B 3C
4 sin s in sin
22
cos3A + cos3B + cos3C = 1 -
2
Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C
2
33
2cos (A B)cos (A B) 1 2sin
22

22
π
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠

3C
sin
2
=−

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C
(
)
2
3A B
3C 3C
2sin cos 2sin 1
22 2
−
=− − +

(
)
3A B
3C 3C
2sin cos sin 1
22 2
−⎡⎤
Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh :
sin A sin B sin C A B C
tg tg cot g
cos A cos B cosC 1 2 2 2
+−
=
+−+

2
A
BAB CC
2sin cos 2sin cos
sin A sin B si n C
22 2
AB AB C
cos A cosB cosC 1
2cos cos 2sin
22 2
2
+
−
−
+−
=
+−
+−+
+
Ta có :

−
⎡⎤
+
+
⎢⎥
⎣⎦

A
B
2sin
C
22
−.sin
cot g .
AB
2
2cos .cos
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=

CAB
cot g .tg .tg
22
=

2

⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
A
B
tg tg
1
22
A
BC
1tg tg tg
22 2
+
=
−

⇔
A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎣⎦

B

22 22 2 22 22
⎡⎤⎡⎤
−+ +=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

⇔
A
BC A BC
sin cos cos s in 1
22 22
++
+=

⇔
A
BC
sin 1
2
++
=

π
⇔=sin 1
2
( hiển nhiên đúng)

Bài 24 :
()
A

−
in=+−

CAB C
2sin cos sin 4
22 2
−
⎡⎤
−+
⎢⎥
⎣⎦

=
CAB AB
2sin cos cos 4
22 2
−+
⎡⎤
−+
⎢⎥
⎣⎦

=
CA B
in4sin sin .s 4
22 2
+
(1)
=
A

4 cos cos cos
222
=
(2)
(*) ⇔
A
BC ABC
sin sin sin sin sin sin 1
222222
A
BC ABC
cos cos cos cos co
+
s cos
222 222
++=

A
BC B AC C AB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
⎡⎤⎡⎤⎡
++
⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣

⎤
⎥
⎦



A
⇔
BC
1
2
++
⎤
=
⎢⎥
⎣⎦

sin
⎡
⇔
sin
π
1
2
=
( hiển nhiên đúng)
Bài 25 : . Chứng minh:
A
BC
sin sin sin
222
2
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 22

1
A
BC ABC
2
cos cos cos cos cos cos
222 222
−
+
=

=
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
==
A
B
CAB
cos
cos .cos
2
22
A
BC A
cos .cos .cos cos cos
222 2

B

AB
cos cos
22
==Cách 2 :
BC AC AB
cos cos cos
22
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 2
+++
=++

2
2
Ta có vế trái
BC BC AC AC
cos cos sin sin cos cos sin sin
22 22 22 2
BC CA
cos cos cos cos
22 22
−−
=+

2
A


Bài 26 :
ài 10 )
. Có
A
BC
cot g ,cot g ,cot g
22
A
BCΔ
Cho
2
theo tứ tự tạo cấp số cộng.
A
C
cot g .cot g 3
22
=
Chứng minh
A
BC
cot g ,cot g ,cot g
22
Ta có :
2
là cấp số cộng
⇔
A
CB
cot g cot g 2cot g

cos 0
2
>
⇔
=
+
12
A
CAC
sin sin cos
22 2
(do 0<B<
π
)
⇔
A
CAC
cos cos sin sin
22 22
2
AC
sin .sin
22
−
⇔
A
C
cot g cot g 3
=
22

α
α
α+ α= + =
α
αα

1A B C A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 2 2 2 2
⎡⎤
+++ + +
⎢⎥
⎣⎦
Do đó :
1A B C1 A
cotg
⎡
+
⎢
B C
tg tg tg cotg cotg
2 22 2 2 2
⎡⎤ ⎤
=+++ +
⎢⎥ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦

22
1A A1B B1C C
tg cot g tg cot g tg cot g

cos15 sin15
+
=
−

246
cos cos cos
777
πππ
++=
c/
1
2
−
d/
3
+=
33
sin 2x sin 6x cos 2x.cos 6x c os 4x

oooo
tg20 .tg40 .tg60 .tg80 3
=
e/
ππππ
+++=
25 π3
tg tg tg cos
6918339



ooo
3
sin20.sin40 .sin80
e/
8
=

m/
oooo
tg5 . tg55 .tg65 .tg75 1
=

(
)
2. Chứng minh rằng nếu
()
(
xy 2k1 kz
2
π
+≠ + ∈
⎪
⎩
)
x y+

thì
sin x 2sin=⎧
⎪

A
sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1=++++ +
()
(
)
88 6 6
B 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x=−+−+ b/
4
c/
() ()
(
)
(
)(
22
C cos x a sin x b 2cos x a sin x b sin a b=−+−−−−−
)
5. Cho , chứng minh :
A
BCΔ
cosC cos B
cot
a/
gB cot gC
sinBcosA sinCcosA
+=+

b/
333
A

6. Tìm giá trò nhỏ nhất của :
d/ c c
e/
22
cos A cos B co++
2
f/ s
11
y
sin x cos x
=+
với
0x
2
π
<
<
a/
π
=++
9
y4x sinx
x
với
0x
<
<∞
b/
2
y2sinx4sinxcosx 5=+ +