CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài 201: Tính các góc của
A
BCΔ
nếu :

()()()()
3
sin B C sin C A cos A B *
2
++ ++ +=Do
A
BC
+
+=π

Nên:
()
3
*sinAsinBcosC
2
⇔
+−=
=
⎪
⎩
==
⇔
2
2
2
2
2
2
2
=
A
BAB C 3
2 sin cos 2 cos 1
22 2
CAB C1
2cos cos 2cos
22 22
CCAB
4cos 4cos cos 1 0
222
CAB AB
2cos cos 1 cos 0
22 2
CAB AB
2 cos cos sin 0
22 2
CAB

⇔
⎨
π
⎪
=
⎪
⎩
C
23
B
AB
0
2
AB
6
2
C
3Bài 202: Tính các góc của
A
BC
Δ
biết:
()
5
cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)
2
+++=

⎧
−=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
=−
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
2
2
2
2
2
0
0
4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0
2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0
2cosA 3cos B C 3sin B C 0
sin B C 0

22 2222
CAB CC AB A
2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin
22 22 2 2
CAB C AB
cos cos sin cos cos
22 2 22
CAB AB AB
cos cos cos cos cos
22 2 22
CAB AB
2cos cos cos cos cos
222 22
+−
⇔+=
−+
⇔+=+
−
⎛⎞
⇔+=⋅
⎜⎟
⎝⎠
−+
⎡⎤
⇔+=
⎢⎥
⎣⎦
⇔=
2
B

Bài 204: Tính các góc của
C
Δ
ΑΒ
biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và
33
sin A sin B sin C
2
+
++=Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử
A
BC<<

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B
Mà
A
BC++=π
nên
B
3
π
=

Lúc đó:
33
sin A sin B sin C
2

−
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−π
⇔==Do C > A nên có:
CΔΑΒ
−π
π
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪
⎪
ππ
⎪⎪
+= ⇔ =
⎨⎨
⎪⎪
ππ
⎪⎪
==
⎪⎪

sin A sin B sin C 1 2 2Áp dụng đònh lý hàm cosin:
22
bca
cos A
2bc
+−
=
2
2

Do (1): nên
co
22
bca+≤
s A 0
≤

Do đó:
A
A
24
ππ
≤<π⇔≤ <
22
π

Vậy

≤
+⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
BC
do * và cos 1
2

Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+
Dấu “=” tại (2) xảy ra
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪

A
BCΔ
không tù thỏa điều kiện

(
)
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++=
Tính ba góc của
A
BCΔ* Cách 1: Đặt M =
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3
+
+−

Ta có: M =
2
BC BC
2cos A 4 2 cos cos 4
22
+
−
+−

⇔ M =
2
A
BC

π
<
≤⇒≤ ≤
⇒≤
2
0cosA1
cos A cos A
Do đó:
A
M2cosA42sin 4
2
≤+ −2
2
2
A
A
M12sin 42sin
22
AA
M4sin 42sin 2
22
A
M22sin 1 0
2

⎧
=
−
⎪⎪
=⇔
⎨⎨
==
⎪
⎩
⎪
⎪
=
⎪
⎩

* Cách 2:
()
* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −=
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
BC BC

⇔−−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎞
=
⎟
⎠
C
0(*)
2
=

Do
A
BCΔ
không tù nên và
co
cos A 0≥
s A 1 0
−
<

Vậy vế trái của (*) luôn
≤
0
Dấu “=” xảy ra
cos A 0
A
BC

0
A90
BC45
Bài 207: Chứng minh
A
BCΔ
có ít nhất 1 góc 60
0
khi và chỉ khi
sin A sin B sin C
3(*)
cos A cos B cosC
+
+
=
+
+

Ta có:

()
(
)
(
)
(*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− =

sin A sin B sin C 0
333
AB AB

π⎡ − π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−− +−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=

π− ππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
⇔−=∨ =−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
CABC
sin 0 cos cos cos
26 2 26 3 2
+
⎞
⎟
⎠
AB

π−π+−+π+
⇔=∨ =− ∨ =−
CABABABA
26 2 3 2 2 3 2
B

ππ

()()
2
11
V
1cos2A 1cos2B cos 1
22
=
++++−()
()()
()
()(
2
2
2
1
V cos2A cos2B cos C
2
)
V
cos A B .cos A B cos C
V cosC.cos A B cos C
V
cosC cos A B cos A B
V
2cosC cos A cosB
⇔= + +
⇔= + −+

⇔
A
BCΔ
có ba góc nhọn
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
không có trường hợp có 2 cos cùng âm )
c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ <cos A 0 cos B 0 cos C 0⇔<∨<∨<
⇔
A
BCΔ
có 1 góc tù.
II. TAM GIÁC VUÔNG

Bài 209: Cho
A
BCΔ
có
+
=
Bac
cotg
2b

Chứng minh
A
BCΔ
vuông

2

−
⇔= >
2
BBAC B
cos cos . cos (do sin 0)
22 2 2

−
⇔= >
BAC B
cos cos (do cos 0)
22 2

−−
⇔= ∨=
⇔=+∨=+
BACBCA
2222
A
BCCAB

ππ
⇔=∨=
⇔Δ Δ
AC
22
ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C


sin A
cos B.cos C sin Bsin C
cos B cos C sin Bsin C (do sin A 0)>

()
⇔−
⇔+=
π
⇔+=
⇔Δ
cos B.cos C sin B.sin C 0
cos B C 0
BC
2
ABC vuông tại A
=Bài 211: Cho
A
BCΔ
có:

A
BC ABC1
cos cos cos sin sin sin (*)
222 2222
⋅⋅−⋅⋅=

Chứng minh

22
CABC CABC
sin cos cos 1 sin cos sin
222 222
CC ABC C C C AB
sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin
22 2 2 2 2 2 2
C
2

−−
⇔+ =+
2
C C AB C C AB C
sin cos cos cos cos cos sin
22 2 2 2 2 2

−
⎡⎤⎡⎤
⇔−= −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤
⇔− − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
CC C ABC C
cos sin cos cos sin cos
22 2 2 2 2

vuông nếu:
3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++=
Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:

22
3cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+≤+ +=

và
22
6sin C 8cosC 36 64 sin C cos C 10+≤+ +=

nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++≤
Dấu “=” xảy ra
cosB sin B 4
tgB
34
sin C cosC 4
cotgC=
68
⎧⎧
==
⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩⎩
3

]
[]
⇔+ −=−+−−
⇔+=−+ −
2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)
cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B)

[
]
⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B)

⇔− + = − −
2
cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B)

⇔− + = −
2
cos C(1 sin C) cos C.cos(A B)

⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*)

⇔=cos C 0

( Do nên
sin C 0>
(1 sin C) 1−+ <−
Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥−
Do đó
A
BCΔ

sin C
2
C
cos A.cos B
sin
2
CC C
2sin cos 2cos
22
C
cos A cosB
sin
2
+
⇔=
⇔=
⇔=
2⇔
2
CC
sin cos A.cos B do cos 0
22
⎛⎞
=>
⎜⎟
⎝⎠


A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
ATa có:
33
A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A22
A
B
sin sin
11
22
AA BB
cos cos cos cos
22 22
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⇔=

⇔+=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔−+−=
⎛⎞⎡ ⎤
⇔− +++ =
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎣ ⎦⇔=
A
B
tg tg
22
( vì
22
A
BAB
1tg tg tg tg 0
2222
+
++ >
)

⇔=
A
B


⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
−

22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
1
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
22 2 2
2111
2
sin A sin B sin A sin B

()
⇔=+

2
+= +

()
⇔+ = +
C
a b cotg atgA btgB
2

⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
CC
a tgA cotg b tgB cotg 0
22
⎤
=
⎥
⎦

++
⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
=
⎥
⎦


⇔= = ⇔Δ
A
BhaytgA tgB ABC
cân tại C
IV. NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Bài 218: Cho
A
BCΔ
thỏa:
acosB bcosA asinA bsinB (*)
−
=−

Chứng minh
A
BCΔ
vuông hay cân

Do đònh lý hàm sin:
a 2RsinA,b 2RsinB
=
=

Nên (*)
(
)
22
2R sin A cosB 2R sin Bcos A 2R sin A sin B⇔−=−

⇔−=∨+=
π
⇔=∨+=

vậy
A
BCΔ
vuông hay cân tại C
Cách khác
()
−=−
⇔−=+ −
22
sin A cos B sin B cos A sin A sin B
sin A B ( sin A sin B) ( sin A sin B)

()
+− +−
⇔−=
A
BAB ABAB
sin A B ( 2sin cos ) (2 cos sin )
22 22

()()
(
)
() ()
⇔−=+ −
⇔−=∨+=

4R sin A 4R sin B sin A B 4R sin A sin B sin A B⇔+ −=− +
()()
(
)()
22
sin A sin A B sin A B sin B sin A B sin A B 0⇔−−++−++
⎡⎤⎡
⎣⎦⎣
=
⎤
⎦
=

()
22
2sin A cos A sin B 2sin Bsin A cosB 0⇔−+

sin A cos A sin Bcos B 0⇔− + =
(do và
si
)
sin A 0> n B 0>
sin 2A sin 2B
2A 2B 2A 2B
ABAB
2
⇔=
⇔=∨=π−
π
⇔=∨+=

sin A sin 2B sin Bsin 2A 4sin A sin Bcos A
2sin A sin B cos B 2sin A cos A sin B 4 sin A sin B cos A
sin A cos B sin B cos A 2sin Bcos A (do sin A 0,sin B 0)
sin A cos B sin B cos A 0
sin A B 0
AB
⇔+=
⇔+=
⇔+= >
⇔−=
⇔−=
⇔=
2
>
Thay vào (2) ta được

2
sin 2A 2sin A=

()
2
2sinAcosA 2sin A
cosA sinA dosinA 0
tgA 1
A
4
⇔=
⇔= >
⇔=
π

()
(
)
⇔=+−2 3 sin B sin C 2 sin B sin C sin B C+
()
⇔=+−−2 3 sin Bsin C 2 sin B sin C sin B cos C sin C cos B

⎡⎤⎡
⇔−− +−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
13 13
2sinB1 cosC sinC 2sinC1 cosB sinB 0
22 22
⎤
=
⎥
⎦

⎡π⎤⎡π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−−+−−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦
sin B 1 cos C sin C 1 cos B 0 (1)
33

Do và

⎧π
⎛⎞
−
=
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎛⎞
⎪
−
=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩CB
3
π
⇔==

⇔
A
BC
Δ
đều.


(
)
23
abc b c⇔+=+
3(
)( )
(
)
22
22 2
abc bcb bcc
abbcc
⇔+=+ −+
⇔=−+
2
c

(do đl hàm cosin)
22 22
bc2bccosAbcb⇔+− =+−

⇔=
π
⇔=⇔=
2bc cos A bc
1


Vậy từ (1), (2) ta có
A
BCΔ
đều

Bài 223:
Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu:

sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C++= + +

Ta có:
(
)
(
)
sin 2A sin 2B 2sin A B cos A B+= + −(
)
2sinCcos A B 2sinC (1)=−≤

Dấu “=” xảy ra khi:
(
)
cos A B 1

(
)
2 sin2A sin2B sin2C 2 sinC sinB sin A++ ≤ ++

Dấu “=” xảy ra
(
)
()
()
−
=
⎧
⎪
⇔−=
⎨
⎪
−
=
⎩
cos A B 1
cos A C 1
cos B C 1

A
⇔
==BC⇔
A

=⋅
=

Mà:
(
)
(
)(
=−−+
⎡⎤
⎣⎦
4 sin A sin B sin C 2 cos A B cos A B sin A B
)
+
)
+()
()(
=−+
⎡⎤
⎣⎦
=+−
=++
2cosA B cosCsinC
2 sin C cos C 2 cos A B sin A B
sin 2C sin 2A sin 2B
Do đó,với điều kiện
A

⎧
⎪
⇔=
⎨
⎪
=
⎩

=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
sin 2A sin 2B
sin 2B sin 2C
A
BC⇔==
A
BC
⇔
đều

Bài 225: Chứng minh
A
BCΔ
đều nếu:
a cos A bcos B c cosC 2p
(*)
a sin B b sin C c sin A 9R

+

()
()
2223
2R sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2R sin A sin Bsin C do bđt Cauchy
=++
≥

Do đó vế trái :
3
a cos A bcos B c cosC 2
sin A sin Bsin C
a sin B b sin C c sin A 3
+
+
≤
++
(1)
Mà vế phải:
()
++
==++
2p a b c 2
sin A sin B sin C
9R 9R 9

3
2

⎛⎞⎛⎞
++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠(
)
(
)
9abc a b c ab bc ca⇔=++ ++

Do bất đẳng thức Cauchy ta có
3
222
3
abc abc
ab bc ca a b c
++≥
++≥

Do đó:
()( )
abcabbcca 9abc++ + + ≥
Dấu = xảy ra
abc⇔==
A
BC
⇔
Δ

+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(do bđt Cauchy)

22 2
CC C
2sin cos 2sin
22 2
A
BAB CA
sin .cos cos cos
222
==
B
2
+
−−C
2tg
2
≥
(1)
Tương tự:
B
cot gA cot gC 2tg
2

=
A
BACBC
cos cos cos 1
222
sin A sin B sin C

A
BC
A
BC đều.
⇔==
⇔Δ

BÀI TẬP
1. Tính các góc của
A
BCΔ
biết:
a/
=+−
3
cos A sin B sin C
2
(ĐS:
2
BC ,A
63
π
π

sin A sin B sin C
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

3. Cho
A
BCΔ
có:
⎧
+
+<
⎨
+
+=
⎩
222
cos A cos B cos C 1
sin 5A sin 5B sin 5C 0

Chứng minh
Δ có ít nhất một góc 36
0
.
4. Biết . Chứng minh
222
sin A sin B sin C m++=

s

in A sin B sin C 1 cos A cosB cosC++=−++
d/
()
()
2
2
21 cosB C
bc
b1cos2B
⎡⎤
−−
−
⎣⎦
=
−

6. Chứng minh
A
BCΔ
cân nếu:
a/
22
1cosB 2ac
sin B
ac
++
=
−


f/
()
C
a b tg atgA btgB
2
+= +

7.
A
BCΔ
là
Δ
gì nếu:
a/
()
A
B
atgB btgA a b tg
2
+
+=+

b/
cc

cos2Bbsin2B=+
c/
++sin 3A sin 3B sin 3C 0=
d/