Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
I. VÉC TƠ – TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1.
Cho các điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm D để
a) ABCD là hình bình hành.
b) ACDB là hình bình hành.
Bài 2. Cho các điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
Bài 3. Cho các điểm A(4; 6); B(1; 4),
3
7; , ( 2;2)
2
C D
 
−
 
 
.
Ch
ứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng.
Bài 4. Cho các điểm A(1; 3); B(3; −2), C(2; 2). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(2; 1).
Bài 5. Cho các điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(−1; 2).
Bài 6. Cho các điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn
3 2 0.

(
)
2;5 , 1;1 , 3;3 .
A B C
a)
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m D sao cho
3 2 .
AD AB AC
= −
  

b)
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm to
ạ

(
)
1;1 , 5; 3 ,
A B
− −

đỉ
nh C thu
ộ
c Oy và tr
ọ
ng tâm G thu
ộ
c Ox. Tìm to
ạ

độ

đỉ
nh C.
Đ
/s:
( )
4
;0 , 0;2 .
3
G C
 
 
 

(
)
; 1;1 .
H C I≡
Bài 14.
Cho
( )
(
)
0;2 , 3; 1 .
A B
− −
Tìm to
ạ

độ
tr
ự
c tâm và tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác OAB.
01. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:

giác ABC.
Đ
/s:
1 1
;1 ; ;1 .
2 4
H O
   
−
   
   

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Phương trình có các yếu tố vuông góc, song song
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua C(−2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x − 5y +10 = 0.
b) d đi qua điểm D(−5; 3) và vuông góc với đường thẳng
1 2
':
4 9
x t
d
y t
= −


= +

.
c) d đi qua điểm M(2; 5) và song song với đường thẳng

ạnh.
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình một cạnh là x + y + 2 = 0; tâm I(1; 1) và diện tích của hình chữ nhật
b
ằng 12. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật.
2) Phương trình có các yếu tố tạo góc và khoảng cách

Lập phương trình đường thẳng có yếu tố tạo góc:
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua A(2; −3) và tạo với ∆: x − 2y + 3 = 0 góc φ với
1
cos
φ .
10
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua A(1; −3) và tạo với ∆: x + 3y + 2 = 0 góc 45
0

Đ/s: d: 2x + y +1 = 0
c) d đi qua M(−3; −1) và tạo với trục Ox góc 45
0

Đ/s: d: x + y +4 = 0
Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d biết d đi qua A(−1; −1) và tạo với ∆: 2x − 3y + 1 = 0 góc φ với
1
cos
φ .
26

A
(3; −2) và tạo với ∆: 2
x
+
y
− 3 = 0 góc φ với
4
cos
φ .
5
=

Đ/s: d: x + 2y +1 = 0
c)
d đi qua A(2; 0) và tạo với Ox góc φ với
3
cos
φ .
10
=
Đ/s: d: x + 3y – 2 = 0

Lập phương trình đường thẳng có yếu tố khoảng cách:
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua M(2; −3) và khoảng cách từ A(1; 1) đến d bằng
3
.
2

Đ/s: d: x + y +1 = 0

ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d bi
ế
t
a)
d
đ
i qua O(0; 0) và cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(2; 2), B(4; 0)
Đ/s: x + y = 0 và x – 3y = 0
b)
d
đ
i qua OM(4; 2) và cách
đề
u hai
đ
i
ể

ng b
ằ
ng 2 và cách B(2; 3) m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 4.
Đ/s: y + 1 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0
3) Phương trình có dạng đoạn chắn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 2) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a) OA = 2OB.
b)
2 2
1 4
1.
OA OB
+ =

c)
9
.
2
OAB
S
=


+ =

Đ/s: a) a = b = 2 b) a = 4; b = 6 c) x + y – 5 = 0 d)
2 3
; .
3 2
a b
= =

Bài 3.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
d
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng ∆: 2
x
–
y
+ 1 = 0 và c
ắ


Bài 4. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 1) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a) OA = 2OB.
b)
2 2
1 3 13
16
OA OB
+ =

c)
( )
6
; .
17
d O d =
Đ/s: b) a = 4; b = 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
1) Bài toán tìm điểm thuộcđường thẳng
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: 2x + y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho
a)
2 5
MA = v
ớ
i A(3;

ng d: x – 3y + 1 = 0. tìm
đ
i
ể
m M trên d sao cho
a)

(
)
; 3 2
d M ∆ = v
ớ
i ∆: x + y + 3 = 0.
b)

(
)
(
)
1 2
; ;d M d M
∆ = ∆
, v
ớ
i ∆
1
: x + 2y – 1 = 0; ∆
1
: 2x + y + 4 = 0;
Đ/s: a)

:
2 3
x t
d
y t
= −


= −

. Tìm t
ọa độ điểm A trên d sao cho tam giác AMN
vuông t
ại A.
Ví dụ 5. Cho đường thẳng
1 2
:
1 3
x t
d
y t
= −


= − +

, B(3; –1), C(–1; –3). Tìm t
ọa độ điểm A trên d sao cho A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ 6. Cho đường thẳng
2 2

A B C
− −
và đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0.
Tìm
điểm M trên d sao cho
MA MB MC
+ +
  
nhỏ nhất.
Đ/s:
19 13
; .
15 15
M
 
−
 
 

2) Một số bài toán về góc; khoảng cách và diện tích
Ví dụ 1. (Khối B - 2003). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1; −1) là trung điểm cạnh
BC và
2
;0
3
G
 
 
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

c ABC vuông cân t
ạ
i A.
02. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM – GÓC – KHOẢNG CÁCH

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
(
)
(
)
( ) ( )
1;3 , 3;5
3; 1 , 5;3
B C
B C

−

−



Ví dụ 3.
Cho hình bình hành
ABCD
tâm
I

(2 ; 4) ho
ặ
c
C
(–5; –4),
D
(–6 ;–4)
Ví dụ 4.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

Oxy
có
A
(2; –1),
B
(1; –2), tr
ọ
ng tâm
G

ằ
ng
3
.
2

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
(2; 1) , (1; 2)
A B
− −
, tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác n
ằ
m
trên
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y – 2 = 0. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh C bi
ế
t di

tr
ọ
ng tâm G
đế
n tr
ụ
c hoành b
ằ
ng
1
3
. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.
Cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2
: ; ':
3 4 5
x t x u
d d

x t
d
y t
= − −



= − +


. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M trên d sao cho tam giác ABM
cân t
ạ
i M.
Bài 4.
Cho hai
đ
i
ể
m A(2; 1), B( –1; –3) và hai
đườ
ng th

t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y
−
3 = 0 và 2
đ
i
ể
m A(1; 1), B(
−
3; 4). Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể

c
đườ
ng th
ẳ
ng 3x – y – 5 = 0 sao cho hai tam
giác MAB, MCD có di
ệ
n tích b
ằ
ng nhau
Bài 7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy cho tam giác ABC, v
ớ
i
(1;1) , ( 2;5)
A B
−
,
đỉ
nh C n
ằ
m trên

a c
ạ
nh AB là y = 2x. Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a c
ạ
nh AC là x + 4y – 9 = 0; tr
ọ
ng tâm
8 7
;
3 3
G
 
 
 
. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; –1) và đường thẳng d: x – 2y –1 = 0. Tìm tọa độ
điểm C thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; –5 ) và đường thẳng
: 3 4 4 0
d x y
− + =
. Tìm trên d hai

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có phương trình:
9x –3y – 4 = 0 và x + y –2 = 0.
b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC.
Bài 4. (Trich tạp chí toán học và tuổi trẻ, tháng 10/2007)
Cho tam giác ABC có A(–2; 1) và các đường cao có phương trình 2x – y + 1 = 0; 3x + y + 2= 0. Viết phương
trình đường trung tuyến qua đỉnh A của tam giác.
Bài 5. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 =
0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ.
II. XỬ LÍ TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
Bài 1. Cho tam giác ABC có B(2; –7), phương trình đường cao qua A là 3x + y + 11 = 0, phương trình trung
tuyến vẽ từ C là x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với M(–2; 2) là trung điểm của BC, cạnh AB
có phương trình x – 2y – 2 = 0, cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam
giác ABC.
Bài 3. Cho tam giác ABC, có trọng tâm G và phương trình hai cạnh AB, AC tương ứng. Hãy tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác khi G(–2; –1), AB: 4x + y + 15 = 0; AC: 2x + 5y + 3 = 0.
Bài 4. Tam giác ABC, B(2; –1), đường cao AH: x – 2y + 3 = 0, đường trung tuyến AM: x – 1 = 0. Viết
phương trình các cạnh của tam giác.
Bài 5. Tam giác ABC, B(3; 5), đường cao AH: 2x – 5y + 3 = 0, đường trung tuyến CM: x + y – 5 = 0. Viết
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 6. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh có phương trình là d
1
: 5x + 4y – 1 = 0, d
2
: 8x + y – 7 = 0.
Bài 7. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh có phương trình là d
1
: 5x + 4y – 1 = 0, d

Đường thẳng ∆ qua H và vuông góc với BD có PT:
 
 
− + =
.
  

∆ ∩ = ⇒

Giả sử
 

∆ ∩ =
.
∆


cân tại B ⇒ I là trung điểm của
 
 
⇒
.
Phương trình AB:
 
  
+ − =
. B = AB
∩
BD ⇒


AB.
Ta tìm được: C
′
(2; –1). Suy ra phương trình (AB):
 
 
   
− +
=
− − +

⇔

 
  
+ + =
.
Viết phương trình đường thẳng Cx // AB ⇒ (Cx):
 
  
+ − =

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là

 
−
, tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác là

 

 

 
 
−
 
 
.

 
−
là trung điểm của AB nên

 

 
 
−
 
 
.
Đường thẳng BC qua B và nhận


=

làm VTCP nên có PT:
 
 


       
       
⇔

    

  



= ≡

=



Vậy:

 

 
 
 
 
.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
∆
ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d
1
:

2
.
⇒ phương trình BB’:
 
 
 
− +
=
 
  
⇔ − − =

+) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:
  

  
   

   
 
− − = =
⇔ ⇒
 
+ − = =
 

+) Vì I là trung điểm BB’ nên:
  
  
  

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(2; –1) và các đường phân giác trong góc B và C lần lượt có phương trình x
– 2y + 1= 0 ; x + y + 3 = 0.
Lập phương trình đường thẳng BC.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(–1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân giác trong góc C
nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Ví dụ 7. (Trích đề thi ĐH khối D - 2011)
Cho tam giác ABC có B(–4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường phân giác trong góc A là x – y – 1 = 0. Tìm tọa
độ các đỉnh A và C.
Ví dụ 8. (Trích đề thi ĐH khối B - 2010)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có C(–4; 1) phân giác trong góc A có
phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình BC biết diện tích tam giác là 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Đ/s: B(4; 7), BC: 3x – 4y – 16 = 0
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC có M(1; –2) là trung điểm AB, trục Ox là phân giác góc A, đỉnh B, C thuộc
đường thẳng đi qua N(–3; 0) và P(0; 2). Tìm tọa độ ba đỉnh A, B, C và diện tích tam giác ABC.
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường cao CH
lần lượt có phương trình
 
 
+ − =
,
 
  
− + =
. Điểm


thuộc đoạn AC thoả mãn
 

=




⇒
PT
  
    
+ − =

Do
 

=
nên E là trung điểm của AB
⇒


 
−
.
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
 
 
  
  

+ − =

− + =


Lời giải :
Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên ∆ABC vuông cân tại C. Gọi I là trung điểm
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
của

. Phương trình đường thẳng CI:
 
 
+ =
.
  
= ∩
⇒

 

 
 
−
 
 
⇒
  


= = =
Ta có:
  
 

 
 

 
 

 

= =



= − = −


Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là:
   
  
   
   
− −
   
   
.
Ví dụ 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho

∆
, với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân giác
trong BD:
 

−
. Gọi A
′
là điểm đối xứng của A qua BD ⇒ A
′

∈
BC. Tìm được A
′
(5; 1)
⇒ Phương trình BC:
 
  
+ − =
;
 
   
 
  
 
  

+ − =
= ∩ ⇒

+ − =

.
Ví dụ 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao
  

+ + =


⇔






= −

=

⇒

 
−
.
+) Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì
 

∈
.
Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d):
 
  
− − =
.
Gọi


− + =

⇒

 

 
 
− −
 
 
.
+)

 
  
 
  
   
= − + + + =
   
   
,
  
 
   
    
 
+ − +

     
−
     
     
A B C

Bài 4:
Tam giác ABC có A(7; 9), trung tuy
ế
n CM: 3x + y – 15 = 0,
đườ
ng phân giác trong BD: x + 7y – 20 =
0. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC.
Bài 5:
Xác
đị
nh to
ạ

độ

đỉ

: 3 15 0
.
: 3 0
+ − =


− + =

ℓ
A
C
h x y
x y
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD có A(-2; 0) và tâm I(0; 0). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
Đ/s: B(0; 2), C(–1; 0), D(0; –2;)

1
: x − y = 0 và d
2
: 2x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d
1
, đỉnh C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Đ/s: A(1; 1), B(0; 0), C(1; −1), D(2; 0) hoặc A(1; 1), B(2; 0), C(1; −1), D(0; 0).
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm I(1; −1) là tâm của một hình vuông, một trong các
cạnh của nó có phương trình x – 2y + 12 = 0. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
4;8 , 8; 2
A B −
,
(
)
2; 10
C − −
: 2 16 0
AD x y
+ − =
;
: 2 14 0
BC x y

n l
ượ
t là
1 1 17
;5 , ' ; .
3 3 3
   
   
   
G G
Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
B(3; 5), C(1; 7), D(–1; 5)
Ví dụ 10. (Trích đề ĐH khối A năm 2012)
Cho hình vuông ABCD có
11 1
;
2 2
 
 
 
M

Đ/s:
(
)
(
)
4;5 , 1; 1
−
A A

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho ba điểm
(
)
(
)
(
)
1;1 , 2;2 , 2; 2 .
− −
I J K
Tìm tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD.
Đ/s:
(
)
(
)
(

độ
I và C.
Đ/s:
I(1; 1), C(4; 0)
Bài 4.
Cho hình vuông ABCD có M là trung
đ
i
ể
m BC, ph
ươ
ng trình DM: x – y – 2 = 0, C(3; –3).
Đỉ
nh A
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x + y – 2 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ

ạ
nh AB, BC, CD, DA c
ủ
a hình vuông ABCD. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a hình vuông
đ
ó.
Bài 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho hình vuông ABCD bi
ế
t M(2; 1), N(4;
−
2); P(2; 0), Q(1; 2)
l
ầ

ế
t ph
ươ
ng trình
c
ạ
nh BM là x + 5y – 18 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông bi
ế
t C thu
ộ
c d: 2x – y + 3 = 0.
Đ/s:
B(3; 3), C(1; 5); D(–1; 3)
Bài 8.
Cho hình vuông ABCD có A(1; 2),
đ
i
ể
m M (–2; 3) là trung
đ
i
ể

ủ
a BC, N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD, bi
ế
t ph
ươ
ng
trình c
ạ
nh BN là 3x + y – 4 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
(
)

1 2
: 3 0; : 4 0
+ − = + − =
d x y d x y . Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
2;1 , 1;3 , (3; 4), (4;2)
A B C D

và m
ộ
t c
ặ
p n
ữ
a nhé!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!


ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Đ
/s: A(1; 1), B(3; 3), C(2; 4), D(0; 2)
Ví dụ 3.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có AB = 2AD. Các
đ
i
ể
m M, N P, Q

ữ
nh
ậ
t.
Ví dụ 4.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có AB: x – y + 1 = 0, AC: x – 3y + 3 = 0.
Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ

ủ
a CD, N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD. Bi
ế
t DN: 5x – 3y = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Đ
/s: A(–1; 1), B(1; 3), C(2; 2), D(0; 0)
Ví dụ 6.
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có giao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD.
Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x
+ y – 5 = 0. Vi
ết phương trình đường thẳng AB.
Đ/s: (AB): y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao của hai đường
th
ẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với tia Ox. Tìm tọa độ
các
đỉnh của hình chữ nhật.
Đ/s: Tọa độ các đỉnh là (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)
05. KĨ THUẬT XỬ LÍ HÌNH CHỮ NHẬT
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y – 1 =
0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của
hình chữ nhật.
Đ/s: A(1; 0), C(6; 5), D(0; 2), B(7; 3)
Bài 4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tọa độ tâm I của hình chữ nhật ABCD biết phương trình các đường
thẳng
: 2 0
+ + =
AD x y ;
: 3 6 0
− + =
AC x y và đường thẳng BD đi qua điểm
(

AB x y BD x y và
đườ
ng chéo AC
đ
i qua
đ
i
ể
m M(
−
9; 2). Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.
Đ
/s: A(
−
2; 1), B(4; 3), C(5; 0), D(
−
1;
−

đườ
ng th
ẳ
ng (BD): 2x + y – 1 = 0;
đườ
ng th
ẳ
ng (AC)
đ
i qua M(–1; 1).
Tìm to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Bài 7.
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có tâm I(1; –1) ph
ươ

Tìm
t
ọ
a
độ
B bi
ế
t
=
A A
x y
và dt(ABCD) = 18.
Đ
/s:
(
)
3; 12
− −B


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 1. Cho hình thang vuông ABCD tại A, B với AD // BC, AD = 2BC = 2AB. Biết M(–1; −2) là trung
điểm của AC và
2
; 2
3

đ
áy l
ớ
n, AB: x + y – 2 = 0, AC: x = 1. Bi
ế
t r
ằ
ng góc
gi
ữ
a CD và BC b
ằ
ng 45
0
và di
ệ
n tích hình thang b
ằ
ng 3. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thang.
Đ
/s: A(1; 1), B(0; 2), C(1; 3), D(3; 3)
Ví dụ 3.

i DC là
đ
áy l
ớ
n, AD: x + y + 1 = 0.
Đ
i
ể
m
1 3
;
2 2
 
 
 
M
là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh BC. Tìm t
ọ
a
độ


ọ
a
độ
B, C bi
ế
t

0
45 .
=AID
Đ
/s:
(
)
(
)
( ) ( )
2 2; 2 2 , 2 4 2; 2 4 2
2; 4
4 3 2; 2 2 , 4 4 2; 2 2

+ + + +

= = ⇒

+ + + −


B C
t t

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD có B(–2; 3), các đỉnh A, C thuộc d: x – y + 1= 0. Tìm các đỉnh còn lại của
hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 8.
Đ/s:
( 1;0), (1; 2), (2; 1)
− −
A C D
Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD có
7
: 3 8 0; : 3 0; 1; , ( 3;1)
3
 
+ − = + = ∈ − ∈
 
 
AB x y CD x y M BC N AD
. Tìm
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thoi
đ
ã cho.
Đ/s:
(3; 1), (2;2), ( 1;3), (0;0)


Ví dụ 5.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x – 4y + 10 = 0 và
đ
i
ể
m A(2; 1). Tìm các
đỉ
nh hình thoi ABCD bi
ế
t B, D
thu
ộ
c (d) và

0
120
=
BAD
Ví dụ 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ

c
đườ
ng th
ẳ
ng CD. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh B bi
ế
t B có hoành
độ
d
ươ
ng.
Đ
/s: B(1;
−
1).
Ví dụ 7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ

ẳ
ng AD và BC bi
ế
t M(–3; 3)
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AD và N(–1; 4) thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng BC.
Ví dụ 8.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

 
 
N
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng chéo
BD bi
ế
t
đỉ
nh B có hoành
độ
nh
ỏ
h
ơ
n 3.
Đ/s:
14 8
; , : 7 18 0.

đỉ
nh c
ủ
a hình bình hành.
Đ
/s: C(–15; –3), D(–20; –6) ho
ặ
c C(9; 1), D(4; –2)
07. KĨ THUẬT XỬ LÍ HÌNH THOI, HÌNH BÌNH HÀNH

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 10. Cho hình bình hành ABCD có A(2; 0); B(3; 2), I thuộc d: y = x. Tìm C, D biết S
ABCD
= 4.
Đ/s:
(3; 4), (2;4); ( 5; 4), ( 6; 4)
− − − −
C D C D
Ví dụ 11. Cho hình bình hành ABCD có A(0; 1); B(3; 4) nằm trên
2
( ) : 2 1.
= − +
P y x x Tâm I nằm trên cung
AB của (P). Tìm C, D sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất?
Đ/s:
1 7
3; , 0;
2 2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Ví dụ 1.
Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc Ox, đi qua A(3; –1) và B(1; 1).
b) Tâm I thuộc Oy và đi qua A(1; 3), B(5; 1).
c) Tâm I thuộc d: 2x + 2y – 3 = 0 và đi qua A(3; 0), B(1; –2).
Đ/s: a)
2 2
( 2) 2
x y
− + =
b)
2 2
( 4) 50
x y
+ + =
c)
2 2
( 2) ( 1) 2
x y
− + + =

Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc Ox, đi qua A(3; 1) và B(0; -2).
b) Tâm I thuộc Oy và đi qua A(–1; 1), B(-3; –1).
c) Tâm I thuộc d: x + y – 1 = 0 và đi qua A(0; -4), B(2; 0).

Đ/s: a)
2
2
7 65
( 4)
2 4
x y
 
− + − =
 
 
b)
2 2
( 1) ( 3) 10
x y
− + − =

Ví dụ 6. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
a) A(1; 3), B(-1; -1), C(2; 0).
b) A(1; 0), B(-3; -2), C(-5; 2).
Đ/s: a)
2 2
( 1) 5
+ − =
x y
b)
2 2
( 2) ( 1) 10
+ + − =
x y

+ + + − + − =
m
C x y mx m y m

Tìm m để
a) (C
m
) là phương trình đường tròn?
06. ĐƯỜNG TRÒN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
b) (C
m
) là đường tròn có bán kính
33
.
2
=R
Đ
/s: b) m =
−
3
Bài 4.
Cho
đườ
ng tròn (C): x
2
+ y
2

ế
p tam giác ABC bi
ế
t ph
ươ
ng trình 3 c
ạ
nh c
ủ
a tam giác là
2 7 0; 2 3 0; 2 1 0
+ − = − − = − + =
x y x y x y
Bài 6. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB với
(
)
( 8;0), 0;6
−A B

Đ/s:
( ) ( )
2 2
2 2 4
+ + − =
x y

Bài 7. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với
1
( 2;3), ;0 , (2;0)
4

 
=
 
 
J r

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
II. ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Ví dụ 1.
Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc ∆: x + y + 5 = 0 và tiếp xúc với d: x + 2y + 1 = 0 tại A(3; –2).
b) Tâm I thuộc ∆: x + 2y + 3 = 0 đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d
1
: x + 3y + 1 = 0; d
2
: x – 3y + 2 =
0.
Đ/s: a)
( 1; 6), 4 2
I R− − =

Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc ∆: x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với d: x + 3y + 4 = 0 tại M(–1; –1).
b) Tâm I thuộc ∆: x – y + 2 = 0 và tiếp xúc với d: 3x – y + 1 = 0 và qua A(2; 3).
Đ/s: a)
3 1 10

Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tiếp xúc với Ox tại A(3; 0) và tiếp xúc với d: x + 2 = 0.
b) Tiếp xúc với Ox đồng thời đi qua A(0; 8), B(−1; 1).
Đ/s: a)
(3;5), 5
I R
=
b)
(3;4), 5
I R
=

Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tiếp xúc với Oy tại A(0; −2) và đi qua B(1; −1).
b) Tiếp xúc với Ox; Oy và đi qua A(2; 1).
c) Tiếp xúc với Ox; Oy và đi qua A(4; −2).
Đ/s: a)
(1; 2), 1
I R
− =
b)
(1;1), 1
I R
=
c)
(2; 2), 2
I R
− =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

/s: a)
(29; 2), 20 2
( 6;3), 5 2

− =

− =


I R
I R
b)
( ) ( )
35 40 32
; ,
3 3 3
25;0 , 16; 5;0 , 4

 
± =
 

 


− = =

I R
I R I R


5
− + =
C x y và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
: 0, : 7 0
∆ − = ∆ − =
x y x y . Xác
đị
nh to
ạ

độ
tâm K và tính bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn (C
1
); bi
ế
t
đườ
ng tròn
(C
1
) ti

b)
qua 3
đ
i
ể
m A(1; 3), B(5; 6) và C(7; 0)
c)
tâm I(–4; 2) và ti
ế
p xúc d: 3x + 4y – 16 = 0
d)
ti
ế
p xúc các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
và
đ
i qua A(2 ; 4)
e)
ti
ế
p xúc v
ớ
i Ox t
ạ
i A(–1; 0) và

i
đ
i
ể
m A và kho
ả
ng cách t
ừ
tâm c
ủ
a (C)
đế
n
đ
i
ể
m B b
ằ
ng 5.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
III. ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐƯỜNG TRÒN
Ví dụ 1.
Cho đường tròn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 5

=
MB MA

Đ
/s: 2x – y – 3 = 0
Ví dụ 4.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy, cho
đườ
ng tròn
2 2
( ) : 2 8 8 0
C x y x y
+ + − − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình

Oxy, vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn (C) qua 3
đ
i
ể
m A(2; 3), B(4; 5), C(4; 1).
Ch
ứ
ng t
ỏ

đ
i
ể
m K(5; 2) thu
ộ
c mi
ề
n trong c
ủ
a
đườ
ng tròn (C). Vi
ế
t ph

ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua A(2; 1), c
ắ
t (C) t
ạ
i
E, F sao cho A là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a EF.
Ví dụ 7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ

ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m M, c
ắ
t
đườ
ng tròn t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A và B sao cho M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB.

C x y
+ + =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M(1; 3) và c
ắ
t (C) t
ạ
i
hai
đ
i
ể
m A, B sao cho AB ng
ắ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t.

Ví dụ 10. (Khối A – 2009)
Cho đường tròn
2 2
( ) : 4 4 6 0
+ + + + =
C x y x y
và đường thẳng ∆: x + my – 2m + 3 = 0.
Tìm m để đường ∆ cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.
Đ/s:
8
0; .
15
m m= =

Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1 2
: 1 0; : 3 1 0
− = − + =
d y d x y
. Lập phương
trình dường tròn (C) tiếp xúc với d
2
tại A, cắt d
1
tại B, C sao cho tam giác ABC vuông tại C và diện tích tam
giác ABC bằng
3 3
.
2


ập phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại 2 điểm A; B sao cho
2 2
50.
+ =MA MB

Hướng dẫn: Dễ thấy M nằm ngoài đường tròn, đặt AH = x, với H là trung điểm của AB.
Tính toán một hồi với Pitago suy ra
2
= = =
R
IH AH x
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(2; 3) và đường tròn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 9
+ + − =
C x y

L
ập phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại 2 điểm A; B sao cho
2 2
18.
+ =MA MB

Đ/s:
2 1 0; 2 8 0.
− − = + − =
x y x y

Bài 4. Cho đường tròn
2 2

( ) : ( 2) 25
C x y
+ + =
và đường thẳng d: x + 5y – 7 = 0.
Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng và đường tròn, tính diện tích tam giác IAB.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
17
( 3; 2), (2;1); .
2
IAB
A B S− =

Bài 8.
Cho đường tròn
2 2
( ) : ( 1) 13
C x y
+ + =
và đường thẳng d: 5x – y – 8 = 0.
Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng và đường tròn, tính diện tích tam giác IAB.
Đ/s:
13
(1; 3), (2;2); .
2
IAB
A B S− =

Bài 9. Cho đường tròn

t
ạ
i A, c
ắ
t d
2
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m B, C sao cho tam giác ABC vuông t
ạ
i B. Vi
ế
t ph
ươ
ng
trình c
ủ
a (T), bi
ế
t tam giác ABC có di
ệ
n tích b
ằ
ng
3
2

ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác
ABC ti
ế
p xúc v
ớ
i các c
ạ
nh BC, CA, AB l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i các
đ
i
ể
m D, E, F. Cho D(3; 1) và
đườ
ng th
ẳ
ng EF có
ph
ươ
ng trình y = 3. Tìm t
ọ