Chuyên đề 7
Phương Trình Lượng Giác
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phương trình sin x = a.
Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.
• sinx = a ⇔ sin x = sin α ⇔

x = α + k2π
x = π −α + k2π
. • sinx = a ⇔

x = arcsin a + k2π
x = π −arcsin a + k2π
.
Đặc biệt:
• sinx = 0 ⇔ x = kπ.
• sinx = ±1 ⇔ x = ±
π
2
+ k2π.
2. Phương trình cos x = a.
Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm.
• cosx = a ⇔ cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π. • cosx = a ⇔ x = ±arccos a + k2π.
Đặc biệt:
• cosx = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ.

2
.
e) sin

30
0
− x

=
1
2
. f) sin

π
3
− x

= sin

3x +
π
6

.
7.2. Giải các phương trình sau
a) cosx =
2011
2010
.
b) cosx =

2
.
7.3. Giải các phương trình sau
a) tanx =
√
3
3
.
b) cotx = −2.
c) tan

45
0
− 3x

= −
√
3.
d) tan

5x +
π
4

= tan 2x. e) cot

3x −
π
4


π
4
− 2x

+ 3 = 0.
7.5. Giải các phương trình sau
a) sin
2
x − 3 sin x + 2 = 0.
b) 3cos
2
x + 4 cos x + 1 = 0.
c) 2sin
2
3x − sin 3x −1 = 0.
d) tan
2
x − 5 tan x + 6 = 0. e) cot
2
x + 3 cot x −4 = 0.
f) 2cos
2
2x − 3 cos 2x + 1 = 0.
7.6. Giải các phương trình sau
a) cos
2
x + 3 sin x −3 = 0. b) cos
2
x − 5 sin x + 5 = 0.
c) sin

+ b
2
sin x +
b
√
a
2
+ b
2
cos x =
c
√
a
2
+ b
2
.
• Đặt
a
√
a
2
+ b
2
= cos α;
b
√
a
2
+ b


1 + tan
2
x

.
Lưu ý: Phương trình sau có cách giải tương tự
a sin
3
x + b sin
2
x cos x + c sin x cos
2
x + d cos
3
x = m sin x + n cos x
3. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x.
Dạng: a (sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0.
Cách giải:
• Đặt sin x ± cos x = t, |t| ≤
√
2.
• Rút sin x cos x theo t rồi thay vào phương trình để giải.
Lưu ý: t = sin x ± cos x =
√
2 sin

x ±
π
4

3 sin x + cos x = 2 sin 4x.
c) cos 2x − 2
√
3 sin x cos x = 2 sin x.
d)
√
2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos

x +
π
2

.
e)
√
3 sin x + cos x + 2 cos

x −
π
3

= 2.
f) 3 cos x + 4 sin x +
6
3 cos x + 4 sin x + 1
= 6.
7.11. Giải các phương trình sau
a) (D-07)

sin

x. d) 3 sin 3x −
√
3 cos 9x = 1 + 4sin
3
3x.
e) (D-09)
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x −sin x = 0. f) 2
√
2 (sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x.
7.12. Giải các phương trình sau
a) 2 sin 4x + 3 cos 2x + 16sin
3
x cos x − 5 = 0.
b) (B-2012) 2

cos x +
√
3 sin x

cos x = cos x−
√
3 sin x+1.
c) 1 + 2 (cos 2x tan x −sin 2x) cos
2
x = cos 2x.
d) (B-09) sin x + cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2


a) 3sin
2
x − 4 sin x cos x + cos
2
x = 0. b) 2sin
2
x − 3cos
2
x + 5 sin x cos x −2 = 0.
c) 3sin
2
x + 2 sin 2x −5cos
2
x = 1. d) sin 2x − 2sin
2
x − 2 cos 2x = 0.
e) sin
2
x − 2 sin x cos x = 3cos
2
x.
f) 2 cos x + 4 sin x =
3
cos x
.
7.14. Giải các phương trình sau
a) 2cos
3
x = sin 3x.
b) 2sin

3
x = sin xcos
2
x−
√
3sin
2
x cos x.
h) 2 sin x + 2
√
3 cos x =
√
3
cos x
+
1
sin x
.
7.15. Giải các phương trình sau
a) 1 + 3 sin 2x = 2 tan x.
b) sin
2
x (tan x + 1) = 3 sin x (cos x −sin x) + 3.
c)
sin
3
x + cos
3
x
2 cos x − sin x


+ 2cos
3
2x = 0.
7.16. Giải các phương trình sau
a) 3 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 3 = 0. b) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1.
c) 2 sin x + sin 2x −2 cos x + 2 = 0. d) 3 cos 2x + sin 4x + 6 sin x cos x = 3.
e) sin 2x +
√
2 sin

x −
π
4

= 1.
f) |sin x − cos x|+ 4 sin 2x = 1.
g) 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3
2
sin 2x. h) sin
3
2x + cos
3
2x +
1

10
3
.
g) tan
2
x + cot
2
x + cot x −tan x −2 = 0. h) 2tan
2
x − 3 tan x + 2cot
2
x + 3 cot x −3 = 0.
§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích
7.18. Giải các phương trình sau
a) sin x + sin 2x + sin 3x = 0. b) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
c) sin 3x + sin x −2cos
2
x = 0.
d) sin 3x + sin 2x = 5 sin x.
7.19. Giải các phương trình sau
a) (B-07) 2sin
2
2x + sin 7x −1 = sin x. b) sin 5x + sin 9x + 2sin
2
x − 1 = 0.
c) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x. d) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x.
e) (CĐ-2012) 2 cos 2x + sin x = sin 3x.
f) (D-2012) sin 3x + cos 3x −sin x + cos x =
√
2 cos 2x.

2
x + sin
2
3x = 2sin
2
2x. b) (B-02) sin
2
3x − cos
2
4x = sin
2
5x − cos
2
6x.
c) sin
2
2x − sin
2
8x = sin

17π
2
+ 10x

. d) 1 + sin
x
2
sin x − cos
x
2

x = cos 2x.
b) sin
4
x
2
+ cos
4
x
2
= 1 − 2 sin x.
c) 16

sin
6
x + cos
6
x − 1

+ 3 sin 6x = 0.
d)
1
cos
2
3x
−
1
sin
2
3x
=

1 + cos
2
x

sin x = 1 + sin 2x.
e) 2 cos x (1 − cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 sin x. f) sin 4x − cos 4x = 1 + 4 (sin x −cos x).
g) (D-06) cos 3x + cos 2x −cos x −1 = 0.
h) (A-05) cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0.
7.25. Giải các phương trình sau
a) 4 cos x − 2 cos 2x −cos 4x = 1. b) 9 sin x + 6 cos x −3 sin 2x + cos 2x = 8.
c) (D-2010) sin 2x − cos 2x + 3 sin x −cos x −1 = 0. d) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
e) 32cos
6
x − cos 6x = 1. f) 4cos
2
x − cos 3x = 6 cos x + 2 (1 + cos 2x).
7.26. Giải các phương trình sau
a) 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1. b) 3 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x.
c) (1 − tan x) (1 + sin 2x) = 1 + tan x.
d) (B-04) 5 sin x − 2 = 3 (1 −sin x) tan
2
x.
e) 4sin
2
x + 3tan
2

f)

1 +
√
1 − x
2
= x

1 + 2
√
1 − x
2

.
7.29. Giải các phương trình sau
a) |sin x| + |cos 2x| = 2. b) |tan x| + |cot x| = 2.
c) 4 cos x + 2 cos 2x + cos 4x = −7.
d) sin
2010
x + cos
2012
x = 1.
7.30. Giải các phương trình sau
a) sin
2
x + sin 2x +
√
2 sin x +
3
2

=
√
3.
b)
√
3 (sin 2x − sin x)
cos x − 1
= 2 cos x + 1.
c)
cos x − 2 sin x cos x
2cos
2
x + sin x −1
=
√
3.
d)
2

cos
3
x + 2sin
3
x

2 sin x + 3 cos x
= sin 2x.
e)
2sin
2

1
sin 2x
=
2
sin 4x
.
d)
1 − cos 4x
2 sin 2x
=
sin 4x
1 + cos 4x
.
e) (B-03) cot x − tan x + 4 sin 2x =
2
sin 2x
.
f)
3sin
2
2x + 8sin
2
x − 11 −3 cos 2x
1 + cos 4x
= 0.
7.33. Giải các phương trình sau
a) (A-06)
2

cos

3π
2

= 4 sin

7π
4
− x

.
e) (D-03) sin
2

x
2
−
π
4

tan
2
x − cos
2
x
2
= 0. f) (D-05) cos
4
x + sin
4
x + cos

1
2
sin 2x.
c) (A-09)
(1 − 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x) (1 −sin x)
=
√
3.
d) (A-2010)
(1 + sin x + cos 2x) sin

x +
π
4

1 + tan x
=
1
√
2
cos x.
48 http://mathqb.eazy.vn
Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác
§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước
7.35. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trước
a) sin 2x = 0 trên [0; 2π].
b)
√
3 tan x − 3 = 0 trên (0; 3π).

2

− 3 cos

x −
7π
2

= 1 + 2 sin x.
7.38. Tìm nghiệm thuộc

0;
3π
2

của phương trình 3 sin 2x − 4sin
3
2x + 2
√
3cos
2
3x = 2 +
√
3.
7.39. Tìm nghiệm thuộc

0;
3π
2


2
x + cot
2
x =
sin
3
x + 1
sin
2
x
.
http://mathqb.eazy.vn 49