Học viện kỹ thuật quân sự
Bộ môn cơ học vật rắn khoa cơ khí
Đỗ Anh Cờng (
Chủ biên
)
Vũ Quốc Trụ Lê Nho Thiết
Tạ Hữu Vinh Lê Hải Châu Bài tập
Cơ học lý thuyết
Tập 1
Tĩnh học và động học

Đối tợng sử dụng : Đại học và Cao đẳng
Hà Nội - 2005

3
Mục lục
Lời nói đầu
5
Chơng 1 : Bài toán phẳng 7
1.1- Cơ sở lý thuyết 7
1.2- Hớng dẫn áp dụng 14
1.3- Bài giải mẫu 16

6.4- Bài tập 137
Chơng 7 : Hợp chuyển động của điểm
143
7.1- Cơ sở lý thuyết 143
7.2- Phơng pháp giải 144
7.3- Bài giải mẫu 146
7.4- Bài tập 160
Chơng 8 : Chuyển động song phẳng của vật rắn
173
8.1- Cơ sở lý thuyết 173
8.2- Phơng pháp giải 178
8.3- Bài giải mẫu 181
8.4- Bài tập 195
Chơng 9 : Chuyển động của vật rắn quanh một điểm cố định
208
9.1- Cơ sở lý thuyết 108
9.2- Phơng pháp giải 212
9.3- Bài giải mẫu 213
9.4- Bài tập 219
Chơng 10 : Hợp chuyển động của vật rắn
224
10.1- Cơ sở lý thuyết 224
10.2- Phơng pháp giải 227
10.3- Bài giải mẫu 228
10.4- Bài tập 235
Tài liệu tham khảo
241

đợc tốt hơn. Các nhận xét, góp ý xin gửi về : Bộ môn Cơ học vật rắn, Khoa Cơ
khí, Học viện KTQS. Các tác giả

7
Chơng 1. Bài toán phẳng
1.1. Cơ sở lý thuyết
1.1.1. Thu gọn hệ lực phẳng:
Hệ lực phẳng khi thu gọn về một tâm (
O
), nhận đợc một véc tơ chính
R'
r

và một mô men chính
O
M
r
, véc tơ mô men chính luôn vuông góc với mặt phẳng
tác dụng của lực, xảy ra các trờng hợp sau:

O
R' 0;M 0=
rr
, Hệ lực tơng đơng với một lực
k
k
RF=

O
một đoạn
O
M
d
R'
=
r
r
.
Chú ý: Véc tơ chính là một bất biến, nó có giá trị và phơng chiều không thay đổi
và không phụ thuộc vào tâm thu gọn.
1.1.2. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng:
Từ các kết quả thu gọn hệ lực nêu trên, ta có định lí về điều kiện cân bằng
của hệ lực phẳng nh sau:
Định lí
(về điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng): Điều kiện cần và đủ để hệ
lực phẳng cân bằng là vectơ chính và mômen chính của hệ lực đối với điểm O nào
đó triệt tiêu.

()
nn
kOOk
k1 k1
R' F 0; M m F 0
==
== = =

rr r
. (1.1)

(1.3)
Điều kiện: Đờng nối
AB
không vuông góc với

.
Dạng 3
:
() () ()
nnn
Ak Bk Ck
k1 k1 k1
m F 0; m F 0; m F 0;
===
===

rrr
(1.4)
Điều kiện: Các điểm
A, B, C
không thẳng hàng.
Trờng hợp các hệ lực đặc biệt:
- Hệ đồng quy:
có hai phơng trình cân bằng:

nn
kx ky
k1 k1
F0;F0;
==

=
=

rr
(1.7)
Điều kiện: Đờng nối
AB
không song song với trục
y

Chú ý: Đối với hệ vật, có hai loại điều kiện cân bằng:
Điều kiện cân bằng của từng vật tách riêng.
Điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn (xem toàn hệ nh một vật rắn duy
nhất) hay còn gọi là điều kiện cân bằng của các ngoại lực (vì khi hoá rắn, hệ
các nội lực xem nh cân bằng).
Những điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn là hệ quả của các điều kiện
cân bằng của từng vật. Chúng ta cũng có thể xét riêng một phần hệ, hoá rắn và lập
các điều kiện cân bằng tơng ứng.

9
Nh thế đối với hệ vật, khả năng lập các điều kiện cân bằng là rất rộng rãi,
vấn đề đặt ra là lập điều kiện cân bằng thích hợp để có thể giải quyết bài toán đặt
ra một cách thuận lợi nhất.
Hệ quả:
Hệ ba lực phẳng cân bằng, không song song là hệ đồng quy phẳng;

Hệ
n
lực cân bằng, trong đó có
(n-1)

()
n
OOk
k1
MM mF
=
==

r

k
OO
RF0
Mm0
==
=
=


rr
O
X0
Y0
m0
=
=
=







Ngẫu
()
(
)
12 n
F ,F , ,F M
rr r

()
n
OOk
k1
MM mF
=
==

r

Ok
MM0
=
=

k
M0=



1. Lực hoạt động
:
là lực có quy luật xác định, hoặc tập trung, hoặc phân bố.
Lực phân bố xác định bởi biểu đồ và cờng độ phân bố và thờng đợc thu gọn.
Với hệ lực song song cùng chiều phân bố đều hoặc theo tam giác, kết quả thu gọn
trên hình 1.1(a), (b). Trờng hợp phân bố theo hình thang, có thể quy về phân bố
đều và tam giác. Kết quả thu gọn hệ lực song song cùng chiều phân bố tổng quát
trên chiều dài ta đợc lực thu gọn song song cùng chiều với hệ phân bố, đặt tại
trọng tâm và có cờng độ bằng số đo diện tích S (theo đơn vị thích hợp) của biểu
đồ phân bố. (a) (b)
Hình 1.1
2. Phản lực liên kết
:
Phản lực liên kết từ vật gây liên kết (vật có gạch chéo)
đặt vào vật khảo sát (vẽ trắng) đợc biểu diễn dới dạng lực và ngẫu lực tập
trung.
Khi gặp các liên kết phức tạp, chúng ta phải phân tích cấu tạo của liên kết,
trạng thái chịu lực của vật rắn, điều kiện làm việc của liên kết, các di chuyển bị
liên kết cản trở để quy về các liên kết đơn giản đã giới thiệu ở trên nhờ quy tắc
sau: Tơng ứng một di chuyển ( thẳng, quay) bị cản trở, liên kết tạo đợc một
phản lực (lực, ngẫu lực) ngợc chiều di chuyển.
q
G
Q=ql
Nằm dọc theo thanh (đờng
nối hai đầu thanh), kí hiệu: S
.
Bản lề,
gối cố
định

Phản lực R đặt tại bản lề,
đợc chia thành hai thành
phần X, Y theo hai trục x, y.

Ngàm Phản lực gồm: hai thành
phần lực X, Y và một ngẫu
lực M.

N
2
N
1
T
2
T
1
T


Phản lực gồm 2 thành phần:
dọc trục và vuông góc với
trục (trong mp tác dụng của
hệ lực).

ổ
trụ
dài

Phản lực bao gồm: thành
phần lực vuông góc với trục
và một ngẫu lực nh ngàm
(trong mp tác dụng của hệ
lực).

Gối di
động

Phản lực vuông góc với nền,
có một thành phần X (trong
mp tác dụng của hệ lực).

b. Nội lực và ngoại lực:
Khi xét hệ vật, cần phân biệt ngoại và nội lực. Ngoại lực là những lực từ bên
ngoài tác dụng vào hệ. Nội lực là những lực tác dụng tơng hỗ giữa các vật trong
hệ. Đặc điểm của nội lực là xuất hiện từng đôi, cùng đờng tác dụng, ngợc chiều
và cùng trị số (nhng không cân bằng vì đặt vào hai vật khác nhau). Chú ý rằng
ngoại lực cũng nh nội lực đều có thể là lực hoạt động hoặc lực liên kết.
c. Phơng pháp xác định lực và véc tơ chính:
Xác định lực:

13
Hình chiếu của lực lên các trục (H.1.2) cho bởi
công thức:
xy
FFcos,FFsin= = ,
trong đó:
F
- trị số của lực ;
dấu
+(-)
khi lực thuận (ngợc) với chiều trục.
Xác định véc tơ chính:
Cho hệ lực
k
F(k1,2, ,n)=
r
. Véctơ chính, kí hiệu
R'
r
, là tổng hình học các
vectơ lực:
n
k
k1
R' F
=
=

rr
.

rr

2. Phơng pháp hình học
:
Vectơ chính
'
R
r
là vectơ khép kín đa giác lực, đó
là vectơ nối điểm cuối của một đờng gẫy khúc có các cạnh tơng ứng (song
song, cùng chiều, cùng độ dài) với các vectơ lực. Trờng hợp hai điểm đầu và
cuối của đa giác lực trùng nhau, vectơ chính
R' 0
=
r
, chúng ta nói đa giác lực tự
khép kín.
d. Phơng pháp xác định mômen lực và mômen chính:
Mô men lực: Cho lực
F
r
và điểm
O
(H.1.2).
Mômen lực
F
r
đối với
O
là lợng đại số:

và
2y
FF=
rr

song song với hai trục tơng ứng, sau đó ta tính tổng mômen các thành
phần:
(
)
(
)
(
)
OO1O2
mF mF mF=+
rrr

2. Phơng pháp giải tích
:
Gọi
x, y
là toạ độ điểm đặt A của lực,
xy
F,F
là các
hình chiếu của lực lên các trục toạ độ tơng ứng, khi đó mô men lực đối với tâm
O là:
(
)
Oyx

=
=
rr
. Với hệ ngẫu lực, mômen chính
bằng tổng mômen các ngẫu lực.
1.2. Hớng dẫn áp dụng
Để giải bài toán phẳng, ta tiến hành theo các bớc sau:
Bớc 1:
C
họn vật khảo sát:
(vật khảo sát có thể là: một vật; hệ vật; một vật
do nhiều vật ghép lại; một phần tách ra từ một vật - phần không khảo sát đặt
vào phần khảo sát những lực giữ vai trò của phản lực liên kết; một nút, điểm
tập trung các dây, các thanh ).
Đặt lực:
Trớc tiên, biểu diễn tất cả các lực đã
cho, tiếp theo biểu diễn các phản lực liên kết (phản lực liên kết tựa và liên kết
dây có phơng chiều đã xác định; phản lực các liên kết thanh, bản lề, ngàm có
chiều cha biết trớc đợc vẽ theo giả định - đáp số dơng, chiều gỉa định

15
đúng; đáp số âm - chiều ngợc lại). Trong biểu diễn lực, cần chú ý điểm đặt,
phơng chiều, số thành phần và cách phân tích các phản lực. Cần phân biệt
lực hoạt động và lực liên kết, lực tác dụng vào từng vật và vào toàn hệ hoá rắn,
nội lực và ngoại lực.
Bớc 2: Phân tích đặc điểm hệ lực khảo sát:
(đồng quy, song song hay bất
kỳ), từ đó xác định số phơng trình cân bằng độc lập có thể lập đợc (2 hoặc
3) theo các điều kiện trong mục 1.1.2, sau đó tiến hành giải các phơng trình
nhận đợc.

1
, F
2
, , F
n
,
tìm vị trí cân bằng của vật (hệ vật) hoặc
tìm điều kiện ràng buộc giữa các lực đã cho để vật (hệ vật) cân bằng ở một vị trí
nào đó.
Khi giải các bài toán dạng này, ta cần chú ý chọn phơng trình cân bằng
sao cho không chứa phản lực liên kết, lập đợc phơng trình cân bằng cho phép
tìm ngay ra điều kiện cân bằng.
Các bài toán đòn và vật lật là các dạng bài toán đặc biệt của phần này.

Ví dụ 1-1:
Thanh đồng chất AB nặng
P
, dài
2l
đợc
đặt tựa hai đầu A và B vào hai cạnh nhẵn của
một góc vuông OCD. Trên thanh AB tại E
treo một vật nặng trọng lợng
Q
. Cho biết
AE=l/2
, cạnh OC nghiêng với đờng ngang
một góc

, tìm góc nghiêng

)
Ik I I
mF mP mQ 0
=
+=

r
rr
. (a)
Sau khi tính các giá trị mô men và thay vào (a), ta nhận đợc phơng trình:
Hình 1-3
P

Q
E
I
N
N
A

O
A
C
B
D

17

() ()
l

. Tìm góc nghiêng

của
thanh với tờng để thanh nằm ở trạng thái cân bằng?
Bài giải:

Khảo sát sự cân bằng của thanh AB: giải phóng các liên kết, thanh chịu tác
dụng của các lực
P, N, T
. Do bài toán chỉ yêu cầu tìm góc nghiêng


của thanh,
nên ta sẽ xây dựng phơng trình cân bằng không chứa các thành phần phản lực
cha biết. Lấy mô men với giao điểm của các đờng tác dụng của các lực
T
và
N
(điểm E, H. 1-4), ta có phơng trình sau:

()
Ek
mF P.HE0==

r
.
Từ phơng trình trên ta có:
HE = 0
, hay:



3
0
0
C
N

T

B
A

18
Điều kiện cân bằng của đòn: Để đòn cân bằng, các lực chủ động tác dụng
lên đòn phải thoả mãn phơng trình cân bằng các mô men đối với trục quay:
()
Ok
mF 0=

r
.
Ví dụ 1-3:
Đòn OA có thể quay đợc quanh trục nằm ngang đi qua O. Điểm B của
đòn đợc nối với van nồi hơi D, chịu áp suất
p
, đầu A của đòn phải treo vật có
trọng lợng
Q
bằng bao nhiêu để khi áp suất hơi vợt quá một giá trị
p

QpS
a
=
.

Bài toán vật lật:
Vật lật là vật rắn có thể bị mất cân bằng do bị lật quay quanh một đờng
tựa nào đó, gọi trục quay khi vật lật là O, ta thấy có hai nhóm lực tạo nên hai
chiều mô men khác nhau. Gọi tổng mô men thuận chiều quay của vật khi bị lật là
P
1
D
C
Q
P
2

B
A
Hình 1-6
Hình 1-5
p

Q

L
M
k
M
=
, đợc gọi là hệ số ổn định chống lật, khi đó điều kiện để
vật không bị lật là k

1.
Ví dụ 1-4:

Cho cần trục nằm trên đờng ray. Trọng lợng của cần cẩu là
P
1
nằm giữa
khoảng cách hai bánh. Vật cẩu ở vị trí xa nhất là
CD=l
, trọng lợng là
P
2
. Tìm
trọng lợng của đối trọng Q để cần trục không bị lật? Cho khoảng cách từ đối
trọng đến tâm cần trục là
2a
, khoảng cách giữa hai bánh xe là
2b
.
Bài giải:

Khảo sát cần trục ở trạng thái làm việc bình thờng, cần trục chịu các lực


.
Xét khả năng lật quanh B, lập phơng trình mô men đối với điểm B, ta có:
(
)
(
)
Bk 1 2
mF Q2ab PbPl
=
++

.
Để không bị lật ta phải có điều kiện:
()
12
Pb Q 2a b Pl++
hay
21
Pl Pb
Q
2a b


+
.
Nh vậy, đối trọng
Q
phải có giá trị:
21

và
Q
, phản lực liên kết tại O
R
O
. Để xác
định góc lệch giữa dây treo đĩa với phơng thẳng đứng, ta coi cả hệ là một vật rắn
cân bằng dới tác dụng của hệ lực kể trên, điều kiện cân bằng nh sau:
(
)
O
P,Q,R 0

rr
rr
.
Lập phơng trình cân bằng đối với mômen tại O, ta có:
()
(
)
(
)
Ok
mF Plrsin Qr lrsin 0=+ + =


.
Giải phơng trình trên, ta nhận đợc:
Qr
sin

M
60
0
D
C
B
A
O
1
O

21

Ví dụ 1-6:
Cho cơ cấu phẳng chịu tác dụng của mô men
M
và lực đẩy
F
nh hình vẽ.
Bỏ qua khối lợng của các thanh và ma sát, tìm mối liên hệ giữa
M
và
F
để cơ
cấu cân bằng? Cho biết OA
=a
, điểm C nằm giữa thanh O
1
B (Hình 1-8).
Bài giải:

r
. (a)
Tiếp theo, khảo sát sự cân bằng của con chạy D cùng với thanh CD: hoá
rắn hệ đang xét, tại C do thanh chỉ chịu kéo hoặc nén nên chỉ có một thành phần
phản lực S
2
hớng dọc theo thanh, lập phơng trình cân bằng theo phơng ngang,
ta có:

0
2
FScos30 0

=
. (b)
Sau cùng, ta xét phần còn lại của hệ bao gồm thanh O
1
B và thanh AB. Hoá
rắn hệ đang xét, tại C có thành phần phản lực S
2
, tại A có S
1
. Viết phơng trình
cân bằng mô men đối với O
1
, ta nhận đợc:
R
O
S
1

=
=

r
. (c)
Kết hợp 3 phơng trình trên với chú ý rằng
'
22
SS
=
, khử các thành phần
phản lực, cuối cùng ta nhận đợc điều kiện:
F.a M 3= .
1.3.2. Bài toán tìm phản lực liên kết
Bài toán đợc đặt ra nh sau: Cho một vật rắn (hay hệ vật rắn phẳng) cân
bằng dới tác dụng của hệ lực đã cho
F
1
, F
2
, , F
n
,
hãy xác định các thành phần
phản lực liên kết.
Khi giải các bài toán dạng này, ta cần chú ý biểu diễn đầy đủ các lực hoạt
động tác dụng lên hệ và các phản lực liên kết, từ đó nhận đợc một hệ lực cân
bằng. tiếp theo, lập phơng trình cân bằng đối với hệ lực trên và giải các phơng
trình đó.


(a)

23Từ (a), ta lập các phơng trình cân
bằng:
A
XXFcos0= =

,
A
YY Fsin 0= =

, (b)
AA
mMMFlsin 0= =

.
Giải hệ phơng trình trên ta nhận đợc:
AAA
X Fcos ; Y Fsin ; M Fsin M= = =
Ví dụ 1-8:
Thanh đồng chất AB trọng lợng P, đầu A gắn bản lề và đợc giữ cân bằng
ở vị trí nằm ngang nhờ dây buộc vật nặng D, dây tạo góc 60
0
với phơng ngang.
Bỏ qua trọng lợng dây, ma sát ở trục bản lề và ròng rọc. Tìm trọng lợng của vật
D và phản lực tại A (Hình 1-10)?
Bài giải:

= =
(b)

0
AY AY
T3
Tsin60 R P 0, R P
2
+= =
(c)
Trọng lợng của vật D cân bằng với sức căng dây
T
, vậy ta có:
P
Q
3
=
. Hình 1-9
l
X
A
Y
A
M
A
B
A

diễn tam giác lực nh hình trên ta sẽ xác định đợc các giá trị cần tìm.
Ví dụ 1-9:

Dầm đồng chất AB có trọng lợng
P
và chiều dài
l
, dầu A ngàm chặt trong
tờng, tạo với tờng một góc

. Trên dầm đặt khối trụ tròn đồng chất, trọng
lợng
Q
. Tìm áp lực của khối trụ lên dầm và tờng, phản lực liên kết tại A? Cho
biết
2
BD l
3
=
(Hình 1 - 11)
.

Bài giải:

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ, hệ khảo sát bao gồm hai vật: dầm AB và khối
trụ, tại A có các phản lực liên kết: X
A
, Y
A
, ngẫu M


25
Tách hai vật và giải phóng các liên kết, ta có: Khối trụ chịu tác dụng của hệ
lực đồng quy
()
12
Q,N ,N
r
rr
; dầm AB chịu tác dụng của hệ lực
(
)
'
1AA A
P,N ,X ,Y ,M
rr r r r
. Phơng trình cân bằng của khối trụ:

12
1
XNcosN0
YNsin Q0
=
+=
==



2
12 A A A
l2Q 3Psin
Q
N;NQctg;XQctg;YPQ;M
sin 6sin
+
====+=

.
Ví dụ 1-10:

Cho kết cấu gồm hai thanh ABC và CD cân bằng dới tác dụng của hệ lực
nh hình vẽ. Cho các giá trị:
F
1
=10kN, F
2
=12kN, M=25kNm, q=2kN/m,

=60
0
.
Các kích thớc trên hình vẽ đo bằng m, bỏ qua trọng lợng hai thanh. Tìm
phản lực liên kết tại A, C, D (Hình 1 - 12)?
Bài giải:

Hình ví dụ 1-9
D
A

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ, hệ khảo sát gồm hai thanh ABC và CD, hoá rắn
hệ ta đợc một vật cân bằng dới tác dụng của hệ lực:

()
12 A A O O
F,F,Q,X ,Y ,X ,Y ,M 0

rr
rr r r r r
(a)
Trong đó:
Q=4q.

Từ (a), ta thiết lập các phơng trình cân bằng cho hệ:

A1 D
A1 2 D
A11 2D
XX Fcos X Q0
YY Fsin F Y 0
m 2Q 4F cos 3F sin M 5F 7Y 0
= ++=
= +=
= + + + =



(b)
3
Hình 1-12
Y
D

X
D
X
C
Y
C
F
2
C
M
D
Q
Y
D
X
D
X
A
Y
A


B
F
2