PHẦN THỨ NHẤT
BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
BÀI 1 :Hai lò xo: lò xo một dài thêm 2 cm khi treo vật m
1
= 2kg, lò xo 2 dài thêm 3 cm
khi treo vật m
2
= 1,5kg. Tìm tỷ số k
1
/k
2
.
Bài giải:

Khi gắn vật lò xo dài thêm đoạn ∆l. Ở vị trí cân bằng

mglKPF
0
=∆⇔=
→→
Với lò xo 1: k
1
∆l
1
= m
1
g (1)
Với lò xo 1: k
2
∆l
2

tơ. Tính lực kéo của xe tải trong thời gian trên.
Bài giải:

Chọn hướng và chiều như hình vẽ
Ta có gia tốc của xe là:
)s/m(1,0
100
010
t
VV
a
2
0
=
−
=
−
=
Theo định luật II Newtơn :

→→→
=+ amfF
ms
F − f
ms
= ma
F = f
ms
+ ma
= 0,01P + ma

2
∆1
nên (K
1
+ K
2
) ∆l = P
)m(04,0
250
10.1
KK
P
l
21
==
+
=∆⇒

Vậy chiều dài của lò xo là:
L = l
0
+ ∆l = 20 + 4 = 24 (cm)
BAØI 4 :Tìm độ cứng của lò xo ghép theo cách sau:
Bài giải:

Hướng và chiều như hình vẽ:
Khi kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x thì :
Độ dãn lò xo 1 là x, độ nén lò xo 2 là x
Tác dụng vào vật gồm 2 lực đàn hồi
→

A
= 2kg, m
B
= 1kg, ta
tác dụng vào vật A một lực F = 9N theo phương song song với mặt bàn. Hệ số ma sát
giữa hai vật với mặt bàn là m = 0,2. Lấy g = 10m/s
2
. Hãy tính gia tốc chuyển động.
Bài giải:

Đối với vật A ta có:

→→→→→→
=++++
11ms1111
amFTFNP
Chiếu xuống Ox ta có: F − T
1
− F
1ms
= m
1
a
1
Chiếu xuống Oy ta được: −m
1
g + N
1
= 0
Với F

2
Chiếu xuống Oy ta được: −m
2
g + N
2
= 0
Với F
2ms

= k N
2

= k m
2
g
⇒
T
2
− k m
2
g = m
2
a
2
(2)
⇒
Vì T
1

= T

10).12(2,09
mm
g).mm(F
a =
+
+−
=
+
+µ−
=⇒
BAØI 6 :Hai vật cùng khối lượng m = 1kg được nối với nhau bằng sợi dây không dẫn và
khối lượng không đáng kể. Một trong 2 vật chịu tác động của lực kéo
→
F
hợp với phương
ngang góc a = 30
0
. Hai vật có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang góc a = 30
0
Hệ số ma sát giữa vật và bàn là 0,268. Biết rằng dây chỉ chịu được lực căng lớn nhất là
10 N. Tính lực kéo lớn nhất để dây không đứt. Lấy
3
= 1,732.
Bài giải:
- 3 -
Vật 1 có :
→→→→→→
=++++
11ms1111
amFTFNP

k(mg − Fsin 30
0
) = m
1
a
1
(1)
Vật 2:
→→→→→→
=++++
22ms2222
amFTFNP
Chiếu xuống Ox ta có: T − F
2ms

= m
2
a
2
Chiếu xuống Oy : −P
2
+ N
2
= 0
Mà F
2ms

= k N
2
= km

Từ (3) và (4)
·m
00
t
2
)30sin30(cosT
T ≤
µ+
=⇒
20
2
1
268,0
2
3
10.2
30sin30cos
T2
F
00
·m
=
+
=
µ+
≤
Vậy F
max
= 20 N
BÀI 7: Hai vật A và B có khối lượng lần lượt là m

g − T = m
A
.a
Đối với vật B: −m
B
g + T = m
B
.a
* (m
A
− m
B
).g = (m
A
+ m
B
).a
2
B
A
BA
s/m210.
400600
400600
g.
mm
mm
a* =
+
−

maFTT
maTmg

Vì
- 5 -
aaaa
'TTT
TTT
321
43
21
===
==
==





=−
=−−
=−
⇒
maFT
maFTT
maTmg
ms
'
ms
'

Bài giải:

Các lực tác dụng vào vật:
1) Trọng lực
→
P
2) Lực ma sát
→
ms
F
3) Phản lực
→
N
của mặt phẳng nghiêng
4) Hợp lực
→→→→→
=++= amFNPF
ms
Chiếu lên trục Oy: − Pcoxα + N = 0
⇒ N = mg coxα (1)
Chiếu lên trục Ox : Psinα − F
ms
= max
⇒ mgsinα − µN = max

(2)
từ (1) và (2) ⇒ mgsinα − µ mg coxα = max
⇒ ax = g(sinα − µ coxα)
= 10(1/2 − 0,3464.
3

α−α
=⇒
ktg1
)ktg(mg
sinkcos
)kcox(sinmg
F
BAØI 11 :Xem hệ cơ liên kết như hình vẽ
m
1
= 3kg; m
2
= 1kg; hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ = 0,1 ; α = 300; g =
10 m/s
2
Tính sức căng của dây?

Bài giải:
- 7 -

Giả thiết m
1
trượt xuống mặt phẳng nghiêng và m
2
đi lên, lúc đó hệ lực có chiều như hình
vẽ. Vật chuyển động nhanh dần đều nên với chiều dương đã chọn, nếu ta tính được a > 0
thì chiều chuyển động đã giả thiết là đúng.
Đối với vật 1:
→→→→→
=+++

2
)a
)s/m(6,0
4
10.1
2
3
3.1,0
2
1
.10.3
mm
gmcosmsingm
a
2
21
211
≈
−−
=
+
−αµ−α
=⇒
Vì a > 0, vậy chiều chuyển động đã chọn là đúng
* T = m
2
(g + a) = 1(10 + 0,6) = 10,6 N
BAØI 12 :Sườn đồi có thể coi là mặt phẳng nghiêng, góc nghiêng a = 30
0
so với trục Ox


)1(x
V
g
2
1
y
2
2
0
=
Ta có:



α==
α==
sindOKy
cosdOHx
A
A

Vì A nằm trên quỹ đạo của vật nặng nên x
A

và y
A
nghiệm đúng (1). Do đó:

2

khoảng 42 m. Tìm vận tốc của hòn đá khi ném ?
Bài giải: Chọn gốc O tại mặt đất. Trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng hướng lên
(qua điểm ném). Gốc thòi gian lúc ném hòn đá.
Các phương trình của hòn đá
x = V
0

cos45
0
t (1)
y = H + V
0
sin 45
0
t − 1/2 gt
2
(2)
V
x
= V
0
cos45
0
(3)
V
y
= V
0
sin45
0

g
.x
V
0
45cosV
x
g
2
1
x45tgH
00
0
022
0
2
0
=
+
=
+
=⇒
=−+⇒
BAØI 14 :Một máy bay đang bay ngang với vận tốc V
1
ở độ cao h so với mặt đất muốn thả
bom trúng một đoàn xe tăng đang chuyển động với vận tốc V
2
trong cùng 2 mặt phẳng
thẳng đứng với máy bay. Hỏi còn cách xe tăng bao xa thì cắt bom (đó là khoảng cách từ
đường thẳng đứng qua máy bay đến xe tăng) khi máy bay và xe tăng chuyển động cùng

g
h2
Vx
1B
=
Lúc t = 0 còn xe ở A
g
h2
Vt V AB
22
==⇒
* Khoảng cách khi cắt bom là :
)=−=−=
2
V(V
g
h2
)VV(ABHBHA
121
BAØI 15 :Từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng β so với phương ngang, người
ta ném một vật với vận tốc ban đầu V
0
hợp với phương ngang góc α . Tìm khoảng cách l
dọc theo mặt phẳng nghiêng từ điểm ném tới điểm rơi.

- 10 -

Bài giải;
Các phương thình toạ độ của vật:
)2(

22
0
2
α
−α+=

Ta có toạ độ của điểm M:




β−=
β=
sinlHy
coslx
M
M
Thế x
M
, y
M
vào (3) ta được:
α
β
−βα+=β−
22
0
22
cosV2
cosgl


= 100m người ta đặt 1 súng cối nằm ngang và muốn bắn sao
cho quả đạn rơi về phía bên kia của toà nhà và gần bức tường AB nhất. Biết toà nhà cao h
= 20 m và tường AB cách đường thẳng đứng qua chỗ bắn là l = 100m. Lấy g = 10m/s
2
.
Tìm khoảng cách từ chỗ viên đạn chạm đất đến chân tường AB.
- 11 -

Bài giải:

Chọn gốc toạ độ là chỗ đặt súng, t = 0 là lúc bắn.
Phương trình quỹ đạo
2
2
0
x
V
g
2
1
y =
Để đạn chạm đất gần chân tường nhất thì quỹ đạo của đạn đi sát đỉnh A của tường nên

2
A
2
0
A
x

0
C
0C
====
Vậy khoảng cách đó là: BC = x
C

− l = 11,8 (m)
BAØI 17 :Một vật được ném lên từ mặt đất theo phương xiên góc tại điểm cao nhất của
quỹ đạo vật có vận tốc bằng một nửa, vận tốc ban đầu và độ cao h
0
=15m. Lấy g =
10m/s
2
.
Tính ở độ lớn vận tốc
Bài giải:
- 12 -

Chọn: Gốc O là chỗ ném
* Hệ trục toạ độ xOy
* T = 0 là lúc ném
Vận tốc tại 1 điểm
yx
VVV +=
Tại S: V
y
= 0
α==⇒ cosVVV
oxs

=⇒
α
=
BAØI 18 :Em bé ngồi dưới sàn nhà ném 1 viên bi lên bàn cao h = 1m với vận tốc
V
0
=
102
m/s. Để viên bi có thể rơi xuống mặt bàn ở B xa mép bàn A nhất thì vận tốc
o
V
phải nghiêng với phương ngang 1 góc α bằng bao nhiêu?
Lấy g = 10m/s
2
.

Bài giải:

Để viên bi có thể rơi xa mép bàn A nhất thì quỹ đạo của viên bi phải đi sát A.
Gọi
1
V
là vận tốc tại A và hợp với AB góc α
1
mà:
g
2sinV
AB
1
2

2
1
cos
gh2VV
1
2
o
Nên
( )
2
1
102
1x10
2
1
V
gh
2
1
2
1
.
V
gh2V
cos
22
o
o
2
o

=
)2(mg.F
)1(RmwF
ms
2
ms
g
Rw
g.Rw
2
2
≥µ⇒µ≤⇒
Với w = 2π/T = π.rad/s
25,0
10
25,0.
2
=
π
≥µ⇒
- 14 -
Vậy µ
min
= 0,25
BAØI 20 :Một lò xo có độ cứng K, chiều dài tự nhiên l
0
, 1 đầu giữ cố định ở A, đầu kia
gắn vào quả cầu khối lượng m có thể trượt không ma sát trên thanh (∆) nằm ngang.
Thanh (∆) quay đều với vận tốc góc w xung quanh trục (A) thẳng đứng. Tính độ dãn của
lò xo khi l

m05,0
20.01,0200
2,0.20.01,0
l
2
2
=
π−
π
=∆
BAØI 21 :Vòng xiếc là một vành tròn bán kính R = 8m, nằm trong mặt phẳng thẳng đứng.
Một người đi xe đạp trên vòng xiếc này, khối lượng cả xe và người là 80 kg. Lấy g =
9,8m/s
2
tính lực ép của xe lên vòng xiếc tại điểm cao nhất với vận tốc tại điểm này là v =
10 m/s.
Bài giải:
Các lực tác dụng lên xe ở điểm cao nhất là
N;P
Khi chiếu lên trục hướng tâm ta được
N2168,9
8
10
80g
R
v
mN
R
mv
NP


Các lực tác dụng vào vật
P;T
Khi (∆) quay đều thì quả cầu sẽ chuyển động tròn đều trong mặt phẳng nằm ngang, nên
hợp lực tác dụng vào quả cầu sẽ là lực hướng tâm.
TPF +=
với






=
⊥
RmwF
PF
2
g
Rw
mg
F
tgv à
2
== α
R = lsinα
α
α
=
α

o
=
Trong đó M
0
là khối lượng Trái đất và R là bán kính quỹ đạo của mặt trăng.
- 16 -
Vận tốc vũ trụ cấp I của Trái Đất
( ) ( )
( )
km10.38R
14,3.4
9,7x24.3600.27.6400
4
v.TR
R
R
R
Tv
R2
R.
T
2
v;
R
R
v
v
R
GM
v

.
Bài giải:

Ta có dạng:
→
= amP;T
Chiếu lên trục hướng tâm ta được
N75,0
93
2
1
x1005,0
R
v
60cosgmT
R
v
mmaht60cosPT
22
0
2
o
=








; v
0x
, v
0y
; a
x
, a
y
. (ở đây chỉ khảo sát các chuyển động thẳng đều,
biến đổi đều và chuyển động của chất điểm được ném ngang, ném xiên).
+ Viết phương trình chuyển động của chất điểm







++=
++=
00y
2
y
00x
2
x
ytvta
2
1
y

Trong khi đó, có rất nhiều bài toán tưởng chừng như phức tạp, nhưng nếu vận dụng
một cách khéo léo phương pháp tọa độ thì chúng trở nên đơn giản và rất thú vị.
Xin đưa ra một số ví dụ:
Bài toán 1
Một vật m = 10kg treo vào trần một buồng thang máy có khối lượng M =
200kg. Vật cách sàn 2m. Một lực F kéo buồng thang máy đi lên với gia tốc a =
1m/s
2
. Trong lúc buồng đi lên, dây treo bị đứt, lực kéo F vẫn không đổi. Tính gia
tốc ngay sau đó của buồng và thời gian để vật rơi xuống sàn buồng. Lấy g =
10m/s
2
.
Nhận xét
Đọc xong đề bài, ta thường nhìn nhận hiện tượng xảy ra trong thang máy
(chọn hệ quy chiếu gắn với thang máy), rất khó để mô tả chuyển động của vật sau
- 18 -
khi dây treo bị đứt. Hãy đứng ngoài thang máy để quan sát (chọn hệ quy chiếu gắn
với đất) hai chất điểm vật và sàn thang đang chuyển động trên cùng một đường
thẳng. Dễ dàng vận dụng phương pháp tọa độ để xác định được thời điểm hai chất
điểm gặp nhau, đó là lúc vật rơi chạm sàn thang.
Giải
Chọn trục Oy gắn với đất, thẳng đứng hướng lên, gốc
O tại vị trí sàn lúc dây đứt, gốc thời gian t = 0 lúc dây đứt.
Khi dây treo chưa đứt, lực kéo F và trọng lực P = (M + m)g
gây ra gia tốc a cho hệ M + m, ta có
F - P = (M + m)a
2310Ng)m)(a(MF =++=⇒
+ Gia tốc của buồng khi dây treo đứt
Lực F chỉ tác dụng lên buồng, ta có

1
y ++=

Với a
1
= 1,55m/s
2
, y
02
= 2m, vật chỉ còn chịu tác dụng của trọng lực nên có gia tốc
a
2
= -g
Vậy
tv0,775ty
0
2
1
+=
và
2tv5ty
0
2
2
++=
Vật chạm sàn khi
Vật chạm sàn khi y
1
= y
2


0
v

0
v

y
02
Giải: Chọn trục Ox hướng theo
chuyển động của xe, gắn
với đường ray, gốc O tại vị
trí mép cuối xe khi thả
vali, gốc thời gian lúc thả
vali.
+ Các lực tác dụng lên
Vali: Trọng lực P
1
= m
1
g, phản lực N
1
và lực ma sát với sàn xe F
ms
, ta có
11ms11
amFNP


=++

g, trọng lượng của vali
gmP
1
,
1
=
, phản lực N
2
và lực ma sát
với vali F’
ms
. Ta có
22ms22
'
1
am'FNPP


=+++
Chiếu lên trục Ox ta được
-F’
ms
= m
2
a
2

2
2
1

2
22
2
01
2
11
+−=+=
+=+=
Vali đến được mép sau xe khi x
1
= x
2
, hay 0,5t
2
+ 4 = -0,025t
2
+ 2t
Phương trình này vô nghiệm, chứng tỏ vali nằm yên đối với sàn trước khi đến mép
sau của xe.
Khi vali nằm yên trên sàn, v
1
= v
2
Với v
1
= a
1
t + v
01
= t , v

ms
F
1
P'

2
N
1
P
2
P
ms
F'
x
O
h
l
0
v

α
A B
50m, bắn một quả đạn pháo xiên lên với vận tốc v
0
= 20m/s, theo hướng hợp với
phương nằm ngang góc  = 60
0
. Bỏ qua lực cản của không khí và lấy g = 10m/s
2
.








++−=++−=
−=−=
20t3105thsinαvgt
2
1
y
2510t
2
cosαvx
2
0
2
0
t
l
t
Khử t đi ta được phương trình quỹ đạo (P2):
9)3(20
4
5
x
2
532

x
2000
1
y
2
2
với
20my25m,x ≠−≠
Suy ra tọa độ điểm rơi: x
C
= 15,63m và y
C
= 7,82m
Khoảng cách giữa điểm rơi C và điểm ném A là
- 21 -
h
0
v

α
A B
C
x(m)O
y(m)
42,37m
2
)
B
y
A

giữa lăng trụ và mặt phẳng nghiêng là k.
Thả lăng trụ và nó bắt đầu trượt trên mặt
phẳng nghiêng. Xác định thời gian từ lúc thả lăng trụ đến khi vật nằm ở mép trong
M’ lăng trụ.
ĐS:
ααα
cos)cossin(2 −
=
kg
l
t
Bài 3
Hai xe chuyển động thẳng đều với các vận tốc v
1
, v
2
(v
1
<v
2
). Khi người lái xe (2)
nhìn thấy xe (1) ở phía trước thì hai xe cách nhau đoạn d. Người lái xe (1) hãm
phanh để xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc a. Tìm điều kiện cho a để xe
(2) không đâm vào xe (1).
ĐS:
2d
)v(v
a
2
12