Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 1

ƠN THI CAO HỌC
MƠN TỐN KINH TẾ
(GV: Trần Ngọc Hội - 2009)

PHẦN II: XÁC SUẤT

A- CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN

§1. ƠN VỀ TỔ HỢP
1.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm khơng có thứ tự
gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.
Ví du: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:
{x,y}; {x,z}; {y,z}.
1.2. Cơng thức tính tổ hợp: Gọi
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có
cơng thức:
()
!
!!
=
−
k
n
n

. Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản
phẩm loại A.

Lời giải
Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước:
Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ N
A
sản phẩm loại A. Số cách chọn là
A
k
N
C .
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 2
Bước 2: Chọn n − k sản phẩm loại B từ N − N
A
sản phẩm loại B. Số cách chọn là
−
−
A
nk
NN
C .

Theo ngun lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm
loại A là:
.
−


4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể khơng xảy ra khi thực
hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A
1
, A
2
, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu
nhiên.

Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên.

Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A
j
(j = 1,2,…,6)
là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A ∪ B) là biến cố
định bởi:

A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.
⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Minh họa:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 3


2
+ A
4
+ A
6

6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:

AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời
xảy ra trong cùng một phép thử.
Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:

A
1
A
2
…A
n
xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A
1

j
(j =
1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó:
A = A
1
+ A
3
+ A
5
.
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A
1
, A
3
, A
5
.

8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A và B khơng bao
giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.
Minh họa: Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất hiện mặt có số khơng q 2.

Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì khơng (AC = A
2


10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi thực
hiện phép thử.
Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp A
j
(j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng.

2.2. Định nghĩa xác suất.
Giả sử khi tiến hành một phép thử , có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng
có thể xảy ra, trong đó có m
A
biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số
n
m
A
được
gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).
Như vậy, S
P(A) =
ố biến cố sơ cấp thuận lợi cho A
Tổng số biến cố sơ cấp co ùthe å xảy ra2.3. Cơng thức tính xác suất lựa chọn.
Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dó có N
A
sản phẩm loại A, còn lại

: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố xung khắc từng đơi, ta có:

P(A
1
+ A
2
+ …+ A
n
) = P(A
1
) + P(A
2
) +…+ P(A
n
)

2) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có

P(A) 1 P(A)=−
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 6


j
AP
4
15
4
510
)(
−
=
Từ đó ta tính được:
.
1365
210
)(;
1365
600
)(
1365
450
)(;
1365
100
)(;
1365
5
)(
43
210
==
===

biến cố đối lập
B
là biến cố khơng có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên
B
= A
4
. Suy ra xác suất của B là

8462,0
1365
210
1)(1)(1)(
4
=−=−=−= APBPBP
.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 7
Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Tốn, 70 sinh
viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai mơn Tốn và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên
một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai
mơn Tốn hoặc Anh văn.

Lời giải
Gọi
- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi moan Tốn.
- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi mơn Anh văn.

- P(A/D) = 2/3
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biế
n cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó

P(A/B) < P(A);
P(A/C) = P(A);
P(A/D) > P(A).

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng
nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thơng thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất để
biến cố A xảy ra là 0,5 khơng phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy
ra. Ta nói biến cố A độc lậ
p với biến cố C theo định nghĩa sau:

2) Tính độc lập. Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B
khơng ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B.
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 8
4.2. Cơng thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có P(AB) = P(A) P(B)

Mở rộng
: Với A
1
, A


Mở rộng
: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố bất kỳ, ta có:

P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
/A
1
)… P(A
n
/A
1
A
2
…A
n−1

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 9
.
105
45
)(
;
105
50
)(
;
105
10
)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1
5
1
10

105
28
)(
;
105
56
)(
;
105
21
)(
2
15
0
7
2
8
2
2
15
1
7
1
8
1
2
15
2
7
0

1
B
1
+ A
2
B
0
.

Do tính xung khắc từng đơi, cơng thức cộng xác suất cho ta:

P(A) = P(A
0
B
2
) + P(A
1
B
1
) + P(A
2
B
0
).

Từ đây, do tính độc lập, cơng thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:

02 11 20
P(A) P(A )P(B ) P(A )P(B ) P(A )P(B )
10 28 50 56 45 21

1
A = A
1
B
1

Vì hai biến cố A
1
và B
1
độc

lập nên theo Cơng thức nhân thứ nhất ta có:

.2540,0
105
56
.
105
50
)()()()(
11111
==== BPAPBAPAAP
Do đó xác suất cần tìm là:

0,6957.
0,3651
0,2540
P(A)
A)P(A

1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đơi và nhất thiết phải có một và chỉ
một biến cố A
j
nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.

Nhận xét. Với A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi ta có
P(A
1
) + P(A
2
) + … + P(A
n
) = 1.

Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng;
hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau:
- A
i
(i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I.

, A
1
B
0
, A
1
B
1
, A
1
B
2
, A
2
B
0
, A
2
B
1
, A
2
B
2
.
- A
0
B
0
, A

2
.

5.2. Cơng thức xác suất đầy đủ
Cho A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi. Khi đó, với
A là một biến cố bất kỳ, ta có:

n
jj
j1
P(A) P(A )P(A/A )
=
=
∑

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 11
5.3. Cơng thức Bayes
Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n:

kk kk

Khi đó A
0
, A
1
, A
2
là hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi và ta có:

.
105
45
)(
;
105
50
)(
;
105
10
)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1

0
) + P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
).

Ta có:
136
72
)/(
2
17
1
9
1
8
0
==
C
CC
AAP
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 12

Suy ra xác suất của biến cố A là

5231,0
.
136
70
.
105
45
136
72
.
105
50
136
72
.
105
10
)/()()/()()/()()(
221100
=
++=
+
+
=
AAPAPAAPAPAAPAPAP

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. Khi đó biến cố
A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A

C
−
=6.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có:
1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A khơng xảy ra lần nào là q
n
.
2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A ln ln xảy ra là p
n
.

Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho máy sản
xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt.
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 13

Lời giải

Gọi A
k

+ A
5
). Ta có:

.68256,0
)6.0()4,0()6,0(3456,0
)()()()(
54
4
5
543543
=
++=
++=++
C
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 14

ta lập bảng:

X x
1
X
2
……………………… x
n

P p
1
p
2
…………………………. p
ntrong đó
- p
k
= P(X = x
k
) ≥ 0 với k = 1, 2, …, n.
-
n
k
k1
p1
=
=

)1(
;
15
2
)0(
2
10
0
4
2
6
2
2
10
1
4
1
6
1
2
10
2
4
0
6
0
====
====
====
C

b
a
dxxf .1)(
-
∫
=≤≤
β
α
βα
.)()( dxxfXP
§2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
2.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x
0
của
X được xác định như sau:
- Nếu X rời rạc thì x
0
là giá trị mà xác suất P(X = x
0
) lớn nhất trong số
các xác suất P(X = x).
- Nếu X liên tục thì x
0
là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy
nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.

Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có
X 0 1 2

M(X) x p
=
=
∑

nghĩa là M(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+…+ x
n
p
n
.

- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì

b
a
M(X) xf(x)dx.=
∫Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:

X 0 1 2

σ
.
Vậy
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 17
(X) D(X)σ=
.
2) Cơng thức tính phương sai:
Từ định nghĩa của phương sai ta có cơng thức khác để tính phương sai
như sau:
D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2

trong đó M(X
2
), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X
2
và X.
Như vậy,
- Nếu X rời rạc có luật phân phối

X x
1
X
2

D(X) x f(x)dx ( xf(x)dx)=−
∫∫Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2 . Suy ra phương sai của X là:

D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2
= 0
2
.2/15 + 1
2
.8/15 + 2
2
.1/3 − (1,2)
2
= 32/75
≈ 0,4267.
Độ lệch chuẩn của X là:
.6532,04267,0)()( ≈== XDX
σ3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:

hiện lên chữ SD.
2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear)
AC = . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn
∇
hoặc
Δ
thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa.
3) Nhập số liệu: Nhập (khi bấm
SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;)
b/c +
b/c +
b/c +
0 SHIFT , 2 a 1 5 M
1 SHIFT , 8 a 1 5 M
2 SHIFT , 1 a 3 M

4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn
∇
để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số
liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm
=
thì số liệu
mới sẽ thay cho số liệu cũ.
Ví dụ. Nhập sai
b/c +
0 SHIFT , 2 a 2 5 M . Khi kiểm tra ta thấy trên
màn hình hiện ra:
- x
1
= 0 (đúng).


19
5) Đọc kết quả:

Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú
Kỳ vọng M(X)
SHIFT 2 1 =
X1.2= M(X)
X
=
Độ lệch chuẩn (X)σ
SHIFT 2 2 =
n
x 0, 6532.σ=
n
(X) x
σ
=σ
• Phương sai D(X) = [σ(X)]
2
= (0,6532)
2
= 0,4267

b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES

1) Khai báo cột tần số: Bấm
SHIFT SETUP 4 1∇
(Bấm
∇ bằng cách bấm nút tròn xuống)

x 0, 6532σ=
n
(X) x
σ
=σ
• Phương sai D(X) = [σ(X)]
2
= (0,6532)
2
= 0,4267
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 20§3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
3.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội, kí
hiệu X ∼ H(N, N
A
, n), trong đó N, N
A
, n là các số ngun dương , 0 < n, N
A
< N, nếu
X rời rạc nhận các giá trị k ngun từ max{0; n + N
A
− N} đến min{n; N
A
} theo Cơng

−
==−
−
ới

Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi.
Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ
vọng, phương sai của X.

Lời giải

Ta thấy X có phân phối siêu bội
X ∼ H(N, N
A
, n) với N = 12; N
A
= 8, n = 4.
Do đó X nhận các giá trị k ngun từ max {0; 4 + 8 − 12} = 0 đến min{4; 8} = 4 với
các xác suất định bởi:
C
CC
kk
kXP
4
12
4
48
)(
−
==

trị ngun 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Cơng thức Bernoulli:

k
knk
n
P(X k) p q
C
−
==Trường hợp n = 1, ta còn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p).
4.2. Các đặc số của phân phối nhị thức
Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số ngun thỏa

np – q knp – q 1≤≤ +

b) Kỳ vọng:
M(X) np=

c) Phương sai:
D(X) npq=

Ví dụ. Một lơ hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%.
Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản
phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.
Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu?
Lời giải


np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 22
⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6
⇔ k = 3.
Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3.

4.3. Định lý. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N,
N
A
, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu
nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y ∼ B(n,p) với
A
N
p
N
=
, nghĩa là

k
knk
n
P(X k) pq
C
−
==
(k = 0, 1, …)


ak
ea
P(X k)
k!
−
==

5.2. Các đặc số của phân phối Poisson
Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Kỳ vọng:
M(X) a=

b) Phương sai
D(X) a=5.3. Tính chất. Giả sử X
1
, X
2
độc lập, có phân phối Poisson X
1
∼ P(a
1
),
X
2
∼ P(a
2
). Khi đó X


Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có 1
ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có khơng q 2 ống sợi bị đứt.

Lời giải

Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân
phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,002
khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson:

X
∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = 2.

Xác suất để có khơng q 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là:
20 21 22
P (0 X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2)
e2 e2 e2
0, 6767.
0! 1! 2!
−−−
≤≤==+=+=
≈++ ≈§6. PHÂN PHỐI CHUẨN
6.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, kí
hiệu X ∼ N(μ, σ
2
), trong đó μ, σ là các hằng số và σ > 0, nếu X liên tục và có hàm mật
độ xác định trên R định bởi:
6.3. Hàm Gauss. Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X
có phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1):
2
x
2
1
f(x) e
2
−
=
π

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 24
Hàm Gauss là hàm số chẵn (nghĩa là f(−x) = f(x)), liên tục trên R.
Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trị f(x) trên đoạn
[0;3,99]. Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ:
∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.
Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có
f(1,14) ≈ 0,2083;
f(− 2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396.
f(− 6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

6.4. Hàm Laplace. Hàm laplace ϕ(x) là hàm số xác định trên R định bởi:
2
x

ba
P(a X b) ( ) ( )
−μ −μ
≤≤=ϕ −ϕ
σσ
(1)
trong đó ϕ(x) là hàm Laplace.

Ví dụ. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với trọng lượng trung bình 50kg và phương sai 100kg
2
. Một sản phẩm được xếp vào
loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg. Tính tỉ lệ sản phẩm loại A của loại sản
phẩm trên.

Lời giải

Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra X có phân
phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
) với μ = 50, σ
2
= 100 (σ = 10). Vì một sản phẩm được xếp
vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác
suất P(45 ≤ X ≤ 55).
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 25

σσ
(k = 0,1,2,…)
b)
21
12
kk
P(k X k) ( ) ( )
−μ −μ
≤≤ ≈φ −φ
σσ
( k
1
< k
2
)
trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace.

Ví dụ. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm
10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng chọn cách
kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2
sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện
đó. Kiểm tra 140 kiện trong rất
nhiều kiện. Tính xác suất để có:
a) 93 kiện được nhận.
b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận.

Lời giải

Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm tra kiện
đó. Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu,

q gần 0 cũng khơng q gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau:
X ∼ N(μ, σ
2
)
với μ = np = 140.2/3 = 93,3333,
.5777,53/1.3/2.140 === npq
σ

a) Xác suất để có 93 kiện được nhận là:
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 26
1 93 1 93 93, 33
P(X 93) f( ) f( )
5,5777 5,5777
110,3982
f ( 0,06) f (0, 06) 0,0714.
5,5777 5,5777 5, 5777
−
μ−
== =
σσ
=−= ==

(Tra bảng giá trị hàm Gauss ta được f(0,06) = 0,3982).

b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là:

110 90

N
n
AA
k
−
−
=)(
Điều kiện áp dụng: Có tổng số N phần tử, trong đó có N
A
loại A và N − N
A
loại B.
Dùng tính xác suất để trong n phần tử chọn ra có đúng k phần tử loại A.

2) Cơng thức Bernoulli (đi với phân phối nhị thức)

.)(
knk
k
n
n
qpkP
C
−
=

Điều kiện áp dụng: Có n phép thử độc lập, được lặp đi lặp lại trong những điều kiện
như nhau; ở mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất p khơng đổi và khơng xảy ra
với xác suất q = 1 − p. Dùng tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng
k lần.
27
- Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố độc lập từng đơi, ta có:
P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
)… P(A
n
).
- Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố bất kỳ, ta có:

2
,…, A
n
là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi, ta có:

- Cơng thức xác suất đầy đủ: n
jj
j1
P(A) P(A )P(A/A ).
=
=
∑

- Cơng thức Bayes: Với 1 ≤ k ≤ n,

∑
=
==
n
1j
jj
kkkk
k
))P(A/AP(A
))P(A/AP(A
P(A)
))P(A/AP(A

jj
j1
P(B) P(A )P(B/A ).
=
=
∑

6. Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên.
7. Các đặc số của đại lượng ngẫu nhiên: Mode, Kỳ vọng, Phương sai.
8. Phân phối siêu bội: X ∼ H(N, N
A
, n) với xác suất định bởi:
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 28
C
CC
n
N
kn
NN
k
N
AA
kXP
−
−
== )(
Khi đó:

10. Phân phối Poisson: X ∼ P(a) với xác suất định bởi:
.
!
)(
k
ae
kXP
ka−
==
Khi đó:
- Kỳ vọng: M(X) = a.
- Phương sai: D(X) = a.
11. Phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ
2
)
Khi đó:
a) Các đặc số:
- Mode: Mod(X) = μ.
- Kỳ vọng: M(X) = μ.
- Phương sai: D(X) = σ
2
.

b) Cơng thức tính xác suất:
).()()(
σ
μ
ϕ
σ
μ
29
b) Trường hợp 2: p khơng q gần 0 cũng như gần 1 (thơng thường 0,1 ≤ p ≤
0,9)
Khi đó có xem X có phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ
2
) với μ = np, npq=
σ

(q = 1 − p), nghĩa là:
-
).(
1
)(
σ
μ
σ
−
≈=
k
fkXP
(k = 0,1,2,…)
-
)()()(
12
21
σ
μ
ϕ

Bài 1. Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên.
Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác
suất để
a) có 1 khẩu bắn trúng.
b) có 2 khẩu bắn trúng.
c) có 3 khẩu bắn trúng.
d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng.
e) khẩu thứ hai bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng.

Bài 2. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I g
ồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng;
hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi.
a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ.
b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng.
c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng.
d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm xác suất để bi trắng có được của
hộp I.

Bài 3. Một lơ hàng chứa 10 sản ph
ẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách
hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì
dừng lại.
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3.
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4.
c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để
ở lần kiểm tra
thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu.

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi.
a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ
và một bi trắng từ hộp II.
b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong ba bi
lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng.

Bài 8. Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi đen;
hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi đen.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộ
p một bi.
1) Tính xác suất để được cả 3 bi trắng.
2) Tính xác suất được 2 bi đen, 1 bi trắng.
3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng.Tính xác suất để bi trắng đó là của
hộp thứ nhất.
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất được
cả 3 bi đen.

Bài 9. Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộ
p chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có
10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ phế
phẩm của các xí nghiệp lần lượt là 2%, 4% và 5%. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn
ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó.
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm.
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đ
úng 2 phế phẩm. Tính xác suất để 2 phế phẩm
đó của xí nghiệp I.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội
ẫu nhiên ra 4 viên phấn. Tìm xác suất để lấy được ít nhất 2 viên tốt.

Bài 15. Có hai kiện hàng I và II. Kiện thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản
phẩm loại A. Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A. Lấy từ
mỗi kiện 2 sản phẩm. Sau đó, trong 4 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có
đúng 1 sản phẩm loại A.

Bài 16. Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất để 1 viên đạn bắn ra
trúng mục tiêu là 0,8 . Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị diệt.
Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80%. Nếu có 1 viên trúng
thì mục tiêu bị diệt với xác suất 20%.
a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt.
b) Giả sử
mục tiêu đã bị diệt. Tính xác suất có 10 viên trúng.

Bài 17. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Một lơ hàng
gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Cho máy sản xuất 2 sản phẩm và từ
lơ hàng lấy ra 3 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm do máy sản xuất bằng số
sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra từ lơ hàng.
b) Giả sử trong 5 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để 2 sản
phẩm loại A đó đều do máy sản xuất.

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 32
Bài 18. Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lơ I chứa 15 sản
phẩm, lơ II chứa rất nhiều sản phẩm. Từ lơ II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lơ I, sau đó từ

(trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để
a) có đúng 70 sản phẩm loại A.
b) có khơng q 60 sản phẩm loại A.
c) có ít nhất 65 sản phẩm loại A.

Bài 22. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 14 sản
phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Khách hàng chọn cách
kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A
nhiều hơn số sản phẩm thuộc loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó.
Kiểm tra 100 kiện (trong rất nhiều kiện). Tính xác suất để
a) có 42 ki
ện được nhận.
b) có từ 40 đến 45 kiện được nhận.
c) có ít nhất 42 kiện được nhận.

Bài 23. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản
phẩm Số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân phối như sau:
X6 8
P 0,9 0,1
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 33
Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu thấy cả 2
sản phẩm đều loại A thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 144
kiện (trong rất nhiều kiện).
a) Tính xác suất để có 53 kiện được nhận.
b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận.
c) Phải kiểm tra ít nhấ

u súng loại II là 50%.
a) Tính xác suất để chiến sĩ A được thưởng.
b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần. Hỏi số lần được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?
c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một
lần được thưởng khơng nhỏ hơn 98%?

Bài 28. Một nhà sản xuất cần mua một loại gioăng cao su có độ dày từ
0,118cm đến
0,112cm. Có hai cửa hang cùng bán loại gioăng này với độ dày có phân phối chuẩn với
các đặc số trong bảng sau:

Độ dày trung bình Độ lệch chuẩn Giá bán
Cửa hàng A 0,12 0,001 3USD/hộp/1000 cái
Cửa hàng B 0,12 0,0015 2,6USD/hộp/1000 cái

Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng nào?

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 34
Bài 29. Tuổi thọ của một bóng đèn là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với tuổi thọ trung bình là 1500 giờ, độ lệch chuẩn là 150 giờ.Nếu thời gian sử dụng
khơng q 1251 giờ thì bảo hành miễn phí.
a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành.
b) Phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu để tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành chỉ
còn 1%?

Bài 30. Tuổi thọ của một máy đ
iện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

a) Tính xác suất để được hai bi đỏ và hai bi trắng.
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi đỏ có trong 4 bi được rút ra. Tìm luật phân
phối của X.

Bài 35.
Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10%. Một lơ hàng gồm 10 sản
phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30%. Cho máy sản xuất 3 sản phẩm và từ lơ hàng lấy ra 3 sản
phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 6 sản phẩm này.
a) Tìm luật phân phối của X.
b) Khơng dùng luật phân phối của X, hãy tính M(X), D(X).

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 35
Bài 36. Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 2 bi trắng
và hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau
đó rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi.
a) Tính xác suất để được cả ba bi trắng.
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi trắng có trong ba bi được rút ra từ hộp II.
Tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.

Bài 37. Có ba lơ s
ản phẩm, mỗi lơ có 20 sản phẩm. Lơ thứ i có i + 4 sản phẩm loại A
(i = 1, 2, 3).
a) Chọn ngẫu nhiên một lơ rồi từ lơ đó lấy ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3
sản phẩm được lấy ra có đúng 1 sản phẩm loại A.
b) Từ mỗi lơ lấy ra 1 sản phẩm. Gọi X là tổng số sản phẩm loại A có trong 3 sản
phẩm được lấy ra. Tìm luật phân phối của X và tính Mod(X), M(X), D(X).

5: a) 0,66 b) II, III c1) 0,076 c2) 0,3925
6: a) 0,65 b) II
7: a) 0,2076 b) 0,5030
8: a1) 0,048 a2) 0,464 a3) 0,1034 b) 0,1667
9: a) 0,33954% b) 0,1732
10: 0,3243 11: 0,5080 12: 0,2766
13: (a − 1)/(a + b − 1) 14: 0,9334. 15: 0,5687.
16: a) 0,8215 b) 0,1307
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 36
17: a) 0,3293 b) 0,0508
18: a) 0,5035 b) 0,4235. c) 0,4318
19: a) 0,8647 b) 0,0103 c) 223
20: a) 0,0952 b) 0,0615 c) 0,3297
21: a) 0,0681 b) 0,0721 c) 0,6554
22: a) 0,0779 b) 0,3597 c) 0,3859
23: a) 0,0684 b) 0,2650 c) 7
24: a) 0,000727 b) 0,50413 c) 0,5072
25: a) 0,0454 b) 0,3135
26: a) 0,2603 b) 13
27: a) 0,0776 b) 0 c) 49
28: Cửa hàng A.
29: a) 0,0485 b) 1152 giờ.
30: 3,195 năm.
31: a) 0,2119 b) 84,75 phút
32: a) 0,0446 b) 8,36.
33: a) 0,1932 b) M(X) = 3; D(X) = 0,74.
34: a) 1/3

b) M(X) = 2,464; D(X) = 0,456704.

*

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 37

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com