SƠ
̉
GIA
́
O DU
̣
C VA
̀
ĐA
̀
O TA
̣
O K THI CHN ĐI TUYN HC SINH GII
THNH PH H CH MINH LP 12 THPT NĂM HO
̣
C 2012-2013
MÔN THI: TON
Ngy thi: 18 - 10 - 2012
Đ CHNH THC
Thơ
̀
i gian la
̀
m ba
̀
i: 180 pht.
Bài 1. (4 điểm)

n
u
u
u n N
u








  




Chứng minh dãy số
()
n
u
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. (4 điểm)
Cho
,,x y z
là các số dương


Chứng minh rằng khi
M
di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm
của đoạn
EF
luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Bài 5. (4 điểm)
Tìm tất cả các đa thức
()Px
hệ số thực thỏa mãn :
2
( ). ( 3) ( ), P x P x P x x   
HẾT

www.VNMATH.com

ĐP N Đ VÒNG 1
Bài 1. (4 điểm)
Giải hệ phương trình
3 2 3

y y z z



  



2
2
yz z
y z y z



   



1 17 1 17
44
1 17 1 17
22
zz
yy






Cho dãy số
()
n
u
xác định bởi
1
*
1
1
2
34
,
21
n
n
n
u
u
u n N
u








  


5
'( ) 0, 0
(2 1)
f x x
x

   


Ta có
1
1
1
2
( ), *
nn
u
u f u n N






  


3
()
2

2
nn
nn
xu
yu







Do f(x) nghịch biến trên
(0; )
nên g(x) = f(f(x)) đồng biến trên
(0; )

2 1 2
( ) ( )
n n n n
f x f u u y

  
;
2 2 1 1
( ) ( )
n n n n
f y f u u x

  

1
,
nn
x x n N

  

Suy ra
()
n
x
tăng và bị chặn trên


()
n
x
có giới hạn hữu hạn a .
Do
1 1 1
( ) ( )
n n n n n n
x x f x f x y y
  
    


dãy
()
n

  
   
     
  
  
    
  
  
   

  
  
  

 
5 1 1
(1) ( ) (2 1)(2 1) 5 0
2 2 1 2 1
a b a b a b a b
ba

           




(do
(2 1)(2 1) (3 1)(3 1) 16 5ab      
)
Vậy từ (I) 

u Bài 3. (4 điểm)
Cho
,,x y z
là các số dương

thỏa mãn
1 1 1
1
x y z
  
. Chứng minh:
x yz y zx z xy xyz x y z        
(*)
Giải
(*) 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 (**)
x yz y zx z xy
xy yz zx
        

Ta cần chứng minh:
1 1 1 1
x yz x
yz
  


AM
và
BK
cắt nhau tại
E
; các
đường thẳng
BM
và
AH
cắt nhau tại
F
. Chứng minh
rằng khi
M
di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O)
thì trung điểm của đoạn
EF
luôn nằm trên một đường
thẳng cố định.
Giải

E
F
H
K
O
B
C
A

 Trung điểm của EF nằm trên đường thẳng HK.

Bài 5. (4 điểm)
Tìm tất cả các đa thức
()Px
hệ số thực thỏa mãn :
2
( ). ( 3) ( ), P x P x P x x   

Giải :
Ta tìm các đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x –3)=P(x
2
)

x

R (1)
 Trường hợp P(x)  C ( C là hằng số thực ) :
P(x)  C thỏa (1)  C
2
= C  C = 0  C = 1 P(x)  0 hay P(x)  1
 Trường hợp degP  1
Gọi  là một nghiệm phức tùy ý của P(x) . Từ (1) thay x bằng  ta có P(
2
)=0  x= 
2
cũng
là nghiệm của P(x) . Từ đó có  , 
2
, 

,
(+3)
16
,…là các nghiệm của P(x) . Mà P(x) chỉ có hữu hạn nghiệm

2
2
30
31

  


  


30
31

  

  


(II)
Như vậy , nếu  là nghiệm của P(x) thì ta có  thỏa hệ
(I)
(II)

