SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012

Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.

Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số
32
1
231
3
yxxx=− + − +
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Gọi
32
() 6 9 3
f
xx x x=− +−, tìm số nghiệm của phương trình:
[] []
32
() 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−=.
Câu II (4,0 điểm)

22
2
(sin cos )d
3sin 4cos
x
xx
I
x
x
π
π
−
+
=
+
∫
.
Câu IV (6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy cho đường tròn
22
(): 9Cx y+=, đường thẳng
:33yxΔ=−+ và điểm (3; 0)A . Gọi
M
là một điểm thay đổi trên ()C và B là
điểm sao cho tứ giác
A
BMO là hình bình hành. Tính diện tích tam giác
A
BM , biết

11
,,1
32
x
yz>>> và
321
2
3221xyz
+
+≥
++
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(3 1)(2 1)( 1)Ax y z
=
−−−.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Số báo danh
… ……
- 1 -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012

∞ và (3; )
+
∞ ; đồng biến trên khoảng: (1; 3) .
+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
1
x
=
;
CT
1
3
y
=
− , đạt cực đại tại
3x
=
; y
CĐ
1= .
+ Giới hạn: lim
x
y
→−∞
=+∞; lim
x
y
→+∞
=
−∞.
1,0 + Nhận xét: Đồ thị (
C) đối xứng qua điểm
1
2;
3
I
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
0,5
2) 1,0 điểm

4,0
điểm
[
]
[
]
32
() 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−= (1)
(1)
[][]
32
1
() 2 () 3 () 1 0

4
x

O
1
3
− - 2 -
Đặt
32
1
() 2 3 1
3
gx x x x=− + − + , ta có: (1) ( ( )) 0gfx
⇔
=
() 0
()
gm
mfx
=
⎧
⇔
⎨
=
⎩

() 0 (2)

33
m
−<− < thì (3) có 3 nghiệm phân biệt.
+ Nếu 1 3m<< hay
1
1
33
m
−<− <−
thì (3) có đúng 1 nghiệm.
+ Nếu 3 4m<< hay
4
1
33
m
−<− <− thì (3) có đúng 1 nghiệm.
Rõ ràng, các nghiệm của (3) trong 3 trường hợp trên là đôi một khác nhau.
Do đó (1) có đúng 5 nghiệm.
0,5
II 1) 2,0 điểm

(1 sin )(1 2 sin ) 2(1 2 sin ) cos 0xx xx+−++ = (1).
(1)
2
22
cos sin (1 2sin ) 2(1 2sin ) cos sin 0
22 2 2
xx x x
xx
⎛⎞ ⎛ ⎞

⇔=−+
.
1,0
● (3)
3cos sin 2sin cos 6sin sin 0
22 2 2
xx x x
xx⇔−+ − =

22
3cos sin 4sin cos 12sin cos 0
22 22 22
xx xx xx
⇔−+ − =
33
3sin 4sin 12cos 9cos 0
22 22
xx xx
⇔− + −=
33
sin 3cos 0
22
xx
⇔+ =

22
33
x
l
α

3
22() (2)2(1)
2( 1) 1 0 (2).
xy xy
xyxy xy xy
yx
−+
⎧
−=+ +−− −
⎪
⎨
−−+=
⎪
⎩

+ Điều kiện:
0, 2 0xy xy+≥ −≥ (*).
+ Khi đó:
2
(1) 2 (2 ) 2 2 ( )
xy xy
x
yxy xyxy
−+
⇔+− −=+++
.
Xét hàm
() 2
t
f

12(2 1)yy+= − (3).
Đặt
3
21yt=−, phương trình (3) trở thành hệ:
3
3
(2 1)
(2 1)
ty
yt
⎧
=
−
⎪
⎨
=
−
⎪
⎩

1,0
- 3 -
Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được:
()
22
do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 ,ty y y t t yt=−+−−+−+>∀
Thế vào hệ:
3
(2 1)yy=−
32

\0,aE d∈ có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập
{
}
\,
E
da
có
2
3
6A =
cách. Dạng này có 2.3.6 36
=
số. Lập được 24 36 60
+
= số.
1,0
● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng 1bcd :
Chọn
d chẵn có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập
{
}
\1,
E
d
có
2
3
6A
=
cách.

=+
++
∫∫

Đặt
x
t=− , ta có:
00
22
2 2 22 22 2 2
00
22
(sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d
3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos
x
xx t tt t tt x xx
x
xttttxx
ππ
ππ
−
+ −+−+−+
=− = =
++++
∫ ∫∫∫
.
1,0
4,0
điểm
Suy ra:

2
0
1sin2
ln
2sin2
x
x
π
⎛+⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
1
ln 3
2
= .
1,0
IV 1) 3,0 điểm

(C) có tâm O(0; 0), bán kính
3R =
.
Nhận xét:
()
A
COAOM∈⇒= ⇒ ABMO là hình thoi ⇒ AM OB
⊥
.
Gọi

22
33
(2) 4
yx
xy
⎧
=−+
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩

()
2
2
33
13 4
xy
yy
⎧
=+−
⎪
⇔
⎨
+
−+=
⎪
⎩
2

16
AMB OAM OAI OKG
SS S S
ΔΔ Δ Δ
== =
9.d(,)
.
82
OK G Ox
=
9.4. 3
16
=
93
4
= .
1,0
2) 3,0 điểm

a) Gọi H là hình chiếu của S trên ( )ABCD ,
suy ra
HAB
∈
(do ( ) ( )SAB ABCD⊥ ).
CB HB
⊥
, suy ra góc giữa hai mặt phẳng
()
SBC và ( )ABCD là


HSAE
⇒=.
1,0
Nhận xét rằng , ,HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra:
2222
1 111
d( ,( ))
H SAE HA HE HS
=++
22 2 2
311 1
24
aa aHS
⇔=++
2SH a
⇔
=
.
Thể tích:
3
(. ) ( )
14
.
33
S ABCD ABCD
a
VSSH
==.
1,0
b) //

Đặt 31 ,21, 1
x
ay bz c−= −= −=; ta có: ,,abc là các số dương và A abc
=
.
Khi đó:
321
2
3221
xyz
++≥
++

321
2
321
abc
⇔++≥
+++
32
321
abc
abc
⎛⎞
⇔
−++≥
⎜⎟
+++
⎝⎠


(1)( 3)
ca
b
ca
≥
+
++
(2) và
12
1
(3)(2)
ab
c
ab
≥
+
+
+
(3).
Nhân vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được:
3
4
A
≤
.
0,5
2,0
điểm
Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi:
1

C
D
E
t
H