ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ KHIẾT
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: 27-6-2013
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
2 2
2
1
1 1
x x x x
x
x x x x
− +
+ + +
+ + − +
với x ≠ 0.
2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng (m−1)x + (2m+1)y = 4m + 5 luôn
đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5 điểm)
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới
được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2 2
3 1x xy y x y
+ + = + −
Bài 3: (2,5 điểm)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình
( )
2

2 3
3 6 8 1 3x x
− = − −
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB<AC) nội tiếp(O;R). Tiếp tuyến tại A của(O) cắt đường
thẳng BC tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng BC=2R.sin
·
BAC
2. Điểm N chuyển động trên BC ( N khác B và C). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của N lên
AB, ẠC Xác định vị trí của N để độ dài EF ngắn nhất.
3. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Tính MA theo a, b, c.
4. Các tiếp tuyến tại B và C của(O) cắt đường thẳng MA lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng
HA là tia phân giác của góc
·
PHQ
Bài 5:(1 điểm)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong
193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá
3
.
3
HẾT
Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 1
ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
Bài 1:
1)
( ) ( )
( )
2 2

=>
0
0 0
0 0
0
16
2 4 0
3
5 0 1
3
x
x y
x y
y

=

+ − =


⇒
 
− − =


=


Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định có tọa độ là
16 1

2
=> x
2
- y
2
= 1111 => (x-y)(x+y)=101.11=1111.1
101 56
11 45
x y x
x y y
+ = =
 
⇒
 
− = =
 
(nhận)
1111 556
1 555
x y x
x y y
+ = =
 
⇒
 
− = =
 
(loại)
Vậy số chính phương cần tìm là x
2

1. Tìm các giá trị của m để phương trình
( )
2
2 1 0x m x m
+ + − + =
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn hệ
thức
1 2
1 1 3
10x x
− =
∆ = (m+2)
2
- 4(-m+1) = m
2
+ 8m. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m<-8; m>0 (1)
Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 2
ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2

 
 
+ + −
⇒ = ⇒ + − = ⇒ = =
−
(1),(2)suy ra m = 1/91 hoặc m = 9.
2. Giải hệ phương trình
( )
( )
1 2
1 2
x x y
y y x

+ =


+ =



( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3 0 3 0x x y y y x x x y y x y x y x xy y
⇒ + − + = − ⇒ − + − = ⇒ − + + + =
Vì x≥0;y≥0 nên x = y
Thay vào một trong hai phương trình tìm được hai nghiệm cuay hệ là (0;0),(1;1)
3. Giải phương trình
( )
(

;
'
2
AN
O E =
Gọi I là trung điểm của EF

·
·
·
'
'
2
EO F
EO I BAC
= =
 EF = 2EI = 2.O’E.sin
·
'EO I

Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2 3 4 3 2
4 3 2 3 2 2
2 2 2 2
2 2
9 36 36 64 64 9 64 36 100 0
(9 8 10 ) (72 64 80 ) (90 80 100) 0
9 8 10 8 9 8 10 10 9 8 10 0

H
M
O
A
B
C
N
ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
=
·
2. .sin
2
AN
BAC
= AN sin
·
BAC
Mà BAC không đổi nên EF nhỏ nhất khi AN nhỏ nhất => N trùng H
3)

Tính MA theo a, b, c.
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
1
.

:
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
.
ac ab abc abc
MA
b c b c b c b c

 
= = ⇒ =
÷
 ÷
− − − −
 

4) Kẻ PJ và QK vuông góc với đường thẳng BC.
Ta có
( . ) ,(PA=PB,QA=QC)
PJ//AH//QK

( . . )
PJ PB PA
PBJ QCK g g
QK QC QA
PA JH
QA KH
PJ JH
QK KH
JPH KQH c g c

3
1
K
J
Q
P
H
M
O
A
B
C
ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
Đặt ngẫu nhiên 193 điểm vào 64 tam giác này
(193 :64=3 dư 1)
Theo nguyên lí dirichlet thì sẽ có ít nhất 1 tam giác đều có ít nhất 4 điểm.
Xét tam giác đều này,Gọi G là trọng tâm của tam giác, Từ G vẽ các đoạn thẳng vuông góc đến các
cạnh, tạo thành 3 tứ giác bằng nhau(hình 2)
Đặt ngẫu nhiên 4 điểm vào tam giác này theo nguyên lí dirichlet sẽ có một
tứ giác chứa ít nhất 2 điểm. Mà tứ giác này nội tiếp trong đường tròn đường kính
GA nên khoảng cách của chúng d≤ GA
Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 5
O
G
H
I
K
C
A
B