CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm).
Câu Nội dung kiến thức Điểm
I
 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
 Các bào toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm
số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp tuyến; tiệm cận (đứng và
ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất
cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đương
thẳng)
3.0
II
 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
 Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
 Bài toán tổng hợp.
3.0
III
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón
tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón
tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
1.0
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm).
Thí sinh học chỉ được chọn một trong hai phần sau: (phần 1 hoặc phần 2)
1). Theo chương trình chuản:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
VI.a
Phương pháp tọa độ trong không gian:
+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ
+ Mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

++
=
2
và các
yếu tố liên quan.
 Sự tiếp xúc của hai đường cong.
2.0
1
 Hệ phương trình mũ và lôgarit.
 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối
nón tròn xoay.
Hết
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT:
Cung/góc
GTLG
( )
0
0
0
( )
0
6
30
π
( )
0
4
45
π

180
π
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−

1−
3−
P
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức cộng:
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −o
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +o
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +o
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −o
tan tan
tan( ) ,( , ; )
1 tan tan 2
a b
a b a b k k
a b
π
π
+
+ = ≠ + ∈
−
o ¢
tan tan
tan( ) ,( , ; )
1 tan tan 2
a b
a b a b k k
a b
π
π
−

tan
1 tan
a
a
a
=
−
o
2
1 cos 2
sin
2
a
a
−
=o
4. Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − + +o
[ ]
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − − +o
[ ]
1
sin cos sin( ) sin( )

a b
+ −
− = −o
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =o
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =o
sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
+
+ =o
sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
−

π α π
= +

= = ⇔ ∈

= − +

o ¢
sin 2
sin ,( )
sin 2
x acr a k
x a k
x acr a k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

o ¢
cos cos 2 ,( )x a x k k
α α π
= = ⇔ = ± + ∈o ¢
cos cos 2 ,( )x a x acr a k k
π
= ⇔ = ± + ∈o ¢
Phương trình

x b x c x x
a b a b a b
c
x
a b
α
+ = ⇔ + =
+ + +
⇔ + =
+
; Trong đó:
2 2
2 2
os
sin =
a
c
a b
b
a b
α
α

=

+





( )
2
sin cos 1 sin 2x x x± = ±o
3 3
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
x x x x x
 
+ = + −
 ÷
 
o
3 3
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
x x x x x
 
− = − +
 ÷
 
o
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x+ = −o
4 4 2 2
sin cos sin cosx x x x− = −o

( )
'
sin cosx x=o
( )
'
cos sinx x= −o
( )
'
2
1
tan
os
x
c x
=o
( )
'
1
.( )'.u u u
α α
α
−
=o
'
2
1 'u
u u
 
= −
 ÷

1
cot
sin
x
x
= −o
( )
'
2
'
cot
sin
u
u
u
= −o
( )
'
x x
e e=o
( )
'
.ln
x x
a a a=o
( )
'
1
ln x
x

'
log
.ln
a
u
u
u a
=o
( )
'
' 'u v u v± = ±o
( )
'
. '. '.u v u v v u= +o
( )
'
. . 'k v k u=o
'
2
'. '.u u v v u
v v
−
 
=
 ÷
 
o
( )
2
a

x x
y y
→−∞ →+∞
.
+ Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số.
+ Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy)
2. Các dạng đồ thị:
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4
Có điểm cực đại và cực tiểu Có điểm cực đại và cực tiểu
0a
>
0a
<
0a
>
0a
<

y
x y
x

y
x
O

y

O
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số:
3 2
3 4y x x= + −
.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= + = +
.
* Cho
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x
x y
= ⇒ = −

= ⇔ + = ⇔

= − ⇒ =

* Giới hạn:
lim ; lim
x x

0 4
ct
x y= ⇒ = −
.
*Đồ thị:
+ Đồ thị nhận điểm
( 1; 2)I − −
làm tâm đối
xứng.
+ Cho
1 0x y= ⇒ =
.
+ Cho
3 4x y= − ⇒ = −
.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số:
4 2
2 3y x x= − −
.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = −
.
* Cho

– 4 – 4
* Nhận xét:
+ Hàm số đồng biến trên
( 1;0)−
và
(1; )+∞
,
nghịch biến trên
( ; 1)−∞ −
và
(0;1)
.
+ Hàm số đạt cực đại tại:
0 3
cd
x y= ⇒ = −
.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại:
1 4
ct
x y= ± ⇒ = −
.
*Đồ thị:
+ Cho
2 5x y= − ⇒ =
.
+ Cho
2 5x y= ⇒ =
.


−
=
+
.
* Giới hạn; các đường tiệm cận:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số:
1
1
x
y
x
+
=
−
.
Giải
* Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
.
6
lim ?; lim ?
d d
x x
c c
y y
+ −
→− →−
= = ⇒

+∞

a
c
y
a
c

−∞
+TH:
' 0y <
x
−∞

/d c
−

+∞
y’ – –

a
c

+∞

y
−∞

a
c

1 1
lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
+ −
→ →
+ +
= +∞ = −∞
− −
o

⇒
Tiệm cận đứng:
1x =
+
1
lim 1
1
x
x
x
→±∞
+
= ⇒
−
o
Tiệm cận ngang:
1y =

BÀI TẬP
Bài tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3 1y x x= + −
5.
3 2
2 3y x x= −
9.
3 2
3 1y x x= − + −
2.
3 2
3 1y x x= − +
6.
3 2
6 9y x x x= − +
10.
3
3 2y x x= − + −
7
3.
3 2
3y x x= +
7.
3 2
3y x x= − +
11.
3 2
3 2y x x= − − +

4 2
4y x x= − +
3.
4 2
1
2 1
4
y x x= − + +
6.
4 2
2 1y x x= − +
Bài tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
1
2
x
y
x
−
=
+
4.
2 3
1
x
y
x
−
=
+

x
y
x
+
=
−
8.
3 2
1
x
y
x
−
=
+
11.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
3.
2 1
1
x
y
x

13.
1
2
x
y
x
+
=
−

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp Ví dụ
+ Tìm tập xác định.
+ Tính đạo hàm
' '( )y f x=
. Tìm các điểm
i
x
( i = 1,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.
+ Sắp xếp các điểm
i
x
theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên.
+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến
nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng
mà
'( ) 0f x >

−∞
– 1 2
+∞
y’ + 0 – 0 +

+∞
y

−∞

* Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 1)−∞ −
và
(2; )+∞
và nghịch biến trên
( 1;2)−
.
Bài tập: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:
3
3 1y x x= − +
(TN THPT 2007 – lần 2).
BÀI TOÁN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định .
1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc 2:
2
( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠
có
2
4b ac∆ = −

x

2
x

+∞

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
2. Định giá trị của m:
Đối với hàm bậc 3
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
Đối với hàm nhất biến:
;
ax b d
y x
cx d c
+
 
= ≠ −
 ÷
+
 
+ Tập xác định:
D = ¡
.
+ Đạo hàm:
2
' 3 2y ax bx c= + +
+TXĐ:

⇔

∆ ≤

+ y nghịch biến trên D
' 0 ,
0
0
y x D
a
⇔ ≤ ∀ ∈
<

⇔

∆ ≤

+ y đồng biến trên
từng khoảng D
' 0 ,
. . 0
y x D
a d b c
⇔ ≥ ∀ ∈
⇔ − ≥
+ y nghịch biến trên
từng khoảng D
' 0 ,
. . 0
y x D

a
a
m
m m

= − >
>


⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
∆ ≤


− − ≤

Ví dụ: Định m để hàm số:
(2 1) 3m x
y
x m
− +
=
+
.
đồng biến trên tập xác định.
Giải
* Tập xác định:
{ }
\D m= −¡
.

1. Cho hàm số:
3 2
( 2) ( 1) 2 (1)y x m x m x= + + − − −
. Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác
định của nó.
2. Cho hàm số:
3 2
2 3 2 1 (1)y x x mx= + − +
. Định m để hàm số (1) đ.biến trên tập xác định của nó.
3. Cho hàm số:
2 3 2
1
( 1) ( 1) 2 1 (1)
3
y m x m x x= − + − − +
. Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập
xác định của nó.
BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] .
Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên đoạn
[ ]
;a b
Phương pháp Ví dụ
* Tính đạo hàm
'.y
* Giải pt:
' 0y =
, tìm các nghiệm
1 2

x L
=

= ⇔ − = ⇔

=

* Ta có:
( 1) 4; (0) 2; (1) 0y y y− = = =
* Vậy:
[ ]
1;1
max 4y
−
=
đạt được tại
1x = −

[ ]
1;1
min 0y
−
=
đạt được tại
1x =
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
3 1y x x= − +
trên đoạn

trên đoạn
[ ]
2;0−
(TN THPT 2009)
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
(3 )
x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
3;3−
7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
1;0−
8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
3 ln xy x x= + −
trên đoạn
[ ]
1;2
(TN THPT 2013)
9. Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của hàm số
2
( )
1
x m m
f x

1. + Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= − = −

+ Cho
0 ( )
' 0 3 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x N
=

= ⇔ − = ⇔

=

+ Ta có:
(0) 1; (2) 3y y= = −
Vậy:
[ ]
0;2
max 2y =
đạt được tại
0x =

[ ]
0;2
min 3y = −
đạt được tại

2
' 6 12 6 ( 2)y x x x x= − = −

+ Cho
0 ( )
' 0 6 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x L
=

= ⇔ − = ⇔

=

+ Ta có:
( 1) 7; (0) 1; (1) 3y y y− = − = = −
Vậy:
[ ]
1;1
max 1y
−
=
đạt được tại
0x =

[ ]
1;1
min 7y

[ ]
0;2
17
max
3
y
−
=
đạt được tại
1x =
10

[ ]
0;2
min 1y =
đạt được tại
0x =

[ ]
0;2
min 7y = −
đạt được tại
0x =

BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số
( )y f x=
có đồ thị (C) tại điểm
0 0 0
( ; ) ( )M x y C∈

( ; )M x y⇒
* Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Ta có:
0 0
0x y= ⇒
+ Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. Ta có:
0 0
0y x= ⇒
2). Có hệ số góc k cho trước:
* Phương pháp: Giải pt:
'( )f x k=
tìm nghiệm
0
x
… từ đó rút ra
0
y
.
3). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d):
y ax b= +
.
* Phương pháp: Vì tiếp tuyến // d
k a⇒ =
, từ pt:
'( )f x a=
ta tìm
0
x
, rồi thay
0
x

Ví dụ 1:Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C).
1. Tại điểm có hoành độ bằng –1. 2. Tại điểm có tung độ bằng 2.
3. Tại giao điẻm của đồ thị với trục hoành. 4. Tại giao điẻm của đồ thị với trục tung.
Giải
Ta có:
'
2 2
1 1.2 1.( 1) 3
'
2 ( 2) ( 2)
x
y
x x x
− − −
 
= = =
 ÷
+ + +
 
1. Theo y/cầu b.toán, ta có:
0 0

−
= ⇔ = ⇒ = −
+
. Hệ số góc:
2
3 1
'( 5)
3
( 5 2)
k y
= − = =
− +

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1
2 ( 5)
3
y x− = +
hay
11
3 3
x
y = +
.
11
3. Theo y/cầu bài toán, ta có:
0
0 0
0
1

0 1 1
0
0 2 2
x y
−
= ⇒ = = −
+
. Hệ số góc:
2
3 3
'(0)
(0 2) 4
k y= = =
+

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1 3
( 0)
2 4
y x+ = −
hay
3 1
4 2
y x= −
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
1
x
y

0
2
0 0
2
0
0
0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1
2
( 1)
x
k y x x
x
x
=

−
= = − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−

+ Với
0 0
0 0x y= ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
0 2( 0)y x− = − −
hay
2y x= −

y x x
x
x
= −

−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−

+ Với
0 0
1 1x y= − ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
1
1 ( 1)
2
y x− = − +
hay
1
2 2
x
y = − +
+ Với
0 0
3 3x y= ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
1
3 ( 3)

x
k y x x
x
x
= −

−
= = − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−

+ Với
0 0
4
2
3
x y= − ⇒ =
. Suy ra PTTT cần tìm là:
4 2
( 2)
3 9
y x− = − +
hay
2 8
9 9
y x= − +
+ Với
0 0
3 3x y= ⇒ =

1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng –2 .(TN THPT
2008).
4. Cho HS
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5
(TN THPT 2009).
5. Cho HS
4 2
1 3
3
4 2
y x x= − +
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm hoành độ bằng 2.
6. Cho HS
2 3
1

y

x

O
*
cd
ct
m y
m y
>

⇒

<

(1) có 1
nghiệm.
*
cd
ct
m y
m y
=

⇒

=

(1) có 2

3y x x= −
. Dựa vào đồ thị
(C), hãy biện luận theo m số nghiệm của
phương trình:

3
3 1 0x x m− + − =
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số:
4 2
2 1y x x= − −
. Dựa vào đồ thị (C), hãy
biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

4 2
2 1 0x x m− − + =
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:
13

*Ptrình:
3 3

 
thì phương
trình (1) có 2 nghiệm.
+ Nếu
2 1 2 1 3m m− < − < ⇔ − < <
thì
phương trình (1) có 3 nghiệm.

*Ptrình:
4 2 4 2
2 1 0 2 1 2 (1)x x m x x m
− − + = ⇔ − − = −

* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ
thị (C) với đường thẳng
2y m= −
. Dựa vào đồ thị
(C), ta có:
+ Nếu
2 2m − < −
thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu
2 2 0m m− = − ⇔ =
thì phương trình (1) có
2 nghiệm.
+ Nếu
2 2 1 0 1m m− < − < − ⇔ < <
thì phương
trình (1) có 4 nghiệm.
+ Nếu

3 3 0 3 2 1 (1)x x m x x m− + + = ⇔ − + − = +
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ
Ví dụ: Cho hàm số:
4 2
1
2
4
y x x= − +
, gọi đồ
thị của hàm số là (C).
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2). Tìm các giá trị của tham số m để phương
trình
4 2
1
2 2 1 0
4
x x m− + − + =
có 4 nghiệm
phân biệt.
Giải
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:

2). Tìm các gí trị của m để ……
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của
14
y = m – 1

Bài 3. Cho hàm số
4 2
2y x x= − +
có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình
4 2
2 2 0x x m− + − =

có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TOÁN 6: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ( Đối với HS bâc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
)
Phương pháp Ví dụ:
* Dấu của y’ là dấu của:
2
3 2 0ax bx c+ + =
.
* Hàm số có cực đại, cực tiểu
' 0y =
có 2 nghiệm
phân biệt:
'
0
0
y
a ≠


∆ >


> +



BÀI TẬP
1). Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) (3 4 1)
3
y x m x m m x m= + − + − + +
. Xác định m để :
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu (Đáp số:
0 1m< <
)
b. Hàm số luôn đồng biến trên
¡
. (Đáp số:
0m ≤
hoặc
1m ≥
)
2). Cho hàm số
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2). Cho hàm số
3 2
3 (2 2) 2y mx x m x= − + − −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.


*Điểm
0
x
là điểm cực tiểu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=

⇔

>

Ví dụ: Định m để hàm số
3 2 2
( 1) (3 4 ) 9
3
m
y x m x m m x m= + − + − + −
nhận điểm
0
1x =
làm điểm cực đại.
Giải
Ta có:
2 2

− − =


⇔ ⇔ ⇒ = −
  
<
− <



<


BÀI TẬP
1). Cho hàm số
3 2
( 3) 5y x m x mx= − + + +
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại
0
2x =
2). Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại
0
1x =
3). Cho hàm số

Giải
+ Tập xác định:
D = ¡
.
+ Đạo hàm :
2
' 3 2 2y x mx= − −
+ Ta có:
2 2
' 3.( 2) 6 0,m m m∆ = − − = + > ∀ ∈¡
. Suy ra, y’ = 0
có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu
với 2 nghiệm
1 2
;x x
) khi x đi qua hai nghiệm đó.
* Vậy, hàm số đã cho luôn có một điểm cực đại và một cực
tiểu với mọi m.
ĐỀ THI TN THPT CÁC NĂM (PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ).
Bài 1: (Đề thi TN THPT 2003)
Cho hàm số
2
54
2
−
−+−
=
x
xx
y

m
) đối xứng nhau qua đường thẳng
xy =
.
Bài 3. (Đề thi TNTHPT 2004)
Cho hàm số
23
3
1
xxy −=
có đồ thị (C).
16
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm
)0;3(A
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng
3,0,0 === xxy
quay quanh trục Ox.
Bài 4: (Đề thi TNTHPT 2005)
Cho hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

3xxy +=
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng
1,2 −=−= xx
.
Bài 8: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007)
Cho hàm số
32
43
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
)7;1(−M
.
Bài 9: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007)
Cho hàm số
12
2
1
−
−+=
x
xy

x
y
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
17
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 13: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) lần 2.
Cho hàm số
23
3
−+−= xxy
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C).
Bài 14: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008).
Cho hàm số
13
23
+−= xxy
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
3=x
.
Bài 15: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008)
Cho hàm số
24
2xxy −=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

+
−
=
x
x
y
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2
Bài 19: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008) lần 2.
Cho hàm số
23
3xxy −=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
03
23
=−− mxx
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 20: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2009)
Cho hàm số
43
23
+−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
4=y
.
Bài 21: (Đề thi TN THPT 2009)
Cho hàm số

2
3
4
1
23
+−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
06
23
=+− mxx
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 24: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2011)
Cho hàm số
362
3
−−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Bài 25: (Đề thi TN THPT 2011)
Cho hàm số
12
12
−
+
=
x
x
y


Bài 28: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2013)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − + +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Bài 29: (Đề thi TN THPT 2013)
Cho hàm số
3
3 1y x x= − −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9. Hết Chương I
19
Chương II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARITH
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
( 0; , )a m n≠ ∈¢
0 .
* 1( 0) * . * ( ) * ( . ) .
1
* * *
m n m n m n m n m m m
m
m m
n m n
n n m
a a a a a a a a b a b


;
n n
b b−
* Tính chất:
( , 0 ; , )a b m n
+
> ∈¢
.
n n n
a b ab=o

n
n
n
a a
b
b
=o
( )
m
n m
n
a a=o

.
.
n
m n m
a a=o

a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
o

( )
.
a a
β
α α β
=o
4. lôgarith.
a. Định ngĩa: Cho a, b > 0 ,
0a
≠
, ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
b. Công thức: Cho
0; 1, , 0.a a M N> ≠ >

a M=o

1
log log
a
a
b b
α
α
=o
1
log
log
a
b
b
a
=o
c. Công thức đổi cơ số: Cho
, , 0; 1, 1a b c a c> ≠ ≠
. Ta luôn có:
log
log
log
c
a
c
b
b
a

α β
> ⇔ >
o
Nếu
0 1a< <
thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
* Lôgarit thập phân:
10
log log lgx x x
= =
* Lôgarit tự nhiên:
log ln
e
x x
=
5. Giải PT, BPT mũ và Lôgarit.
Phương trình mũ Phương trình lôgarit
a. Phương trình mũ cơ bản:
Dạng:
, ( 0, 1)
x
a b a a= > ≠
+ với b > 0, ta có:
log
x
a

a. Các dạng cơ bản:
0; 1a a> ≠
1a >
0 1a< <
* Phương trình mũ:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =
* Phương trình lôgarit:
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>


= ⇔ >


=

* Bất phương trình mũ:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ >

>

⇔

<


b. Vận dụng:
Dạng toán Ví dụ
Dạng 1: Phương trình mũ bậc 2.
2
. . 0 (1).
x
x
m a n a p+ + =
Phương pháp:
+ Đặt
,( 0).
x
t a t= >
Ta được pt:
2
. . 0mt nt p+ + =
+ Giải pthương trình trên tìm nghiệm t (đk: t
> 0)
+ Giải phương trình:
log
x
a
t a x t= ⇔ =


=

+ Với
3
1 3 1 log 1 0
x
t x= ⇔ = ⇔ = =
+ Với
3
1 1 1
3 log 1
3 3 3
x
t x= ⇔ = ⇔ = = −
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = 0; x = –1.
Dạng 2:
. . 0 : . 0
x
x x
x
n
m a n a p hay m a p
a
−
+ + = + + =
Phương pháp:
Ví dụ: Giải phương trình:
1
6 6 5 0

6 ( 0)
x
t t= >
, ta được phương trình:
2
6 ( )
6
5 0 5 6 0
1 ( )
t nhan
t t t
t loai
t
=

− − = ⇔ − − = ⇔

= −

+ Với
6
6 6 6 log 6 1
x
t x= ⇔ = ⇔ = =
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 1.
Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
(1).,(0 1).
f x g x
a a a≤ < ≠

Giải:
Ta có:
2 2
3 3 2 2
1
2 2 2 3 2
4
x x x x
x x
− − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ −

2
3 2 0 1 2x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:
[ ]
1;2
Dạng 4: Biến đổi đưa phương trình về dạng:

log ( ) log ( )
a a
f x g x=
(lô ga rít hóa
2 vế)
Phương pháp:
+ Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ
lôgarit để biến đổi.
+ Cần chú ý đến điều kiện của các biểu thức
dưới dấu lôgarit.
Ví dụ: Giải phương trình:

3
log 2 3 9.x x⇔ = ⇒ = =
Vậy PT đã cho có nghiệm: x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu
lôgarit
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p+ + =
Phương pháp:
+ ĐK: f(x) > 0.
+ Đặt
log ( )
a
t f x=
, ta được:
2
. . 0mt nt p+ + =
. Giải phương trình tìm t.
+Giải pt:
log ( ) ( )
t
a
f x t f x a= ⇔ =
để tìm x.
+ Kết luận nghiệm của PT.
Vídụ: Giải PT:
2
2 2
4log 3log 10 0x x− − =

a a
f x g x a< < ≠
Phương pháp:
+ ĐK:
( ) 0
( ) 0
f x
g x
>


>

+ Nếu
0 1x< <
,ta có:
( ) ( )f x g x>
(BPT đổi
chiều).
+ Nếu
a 1>
, ta có:
( ) ( )f x g x<
- Đối với BPT:
log ( )
a
f x c<
.
+ Nếu
0 1x< <

1
log log (3 1) 3 1
2
x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤
.
22
chiều).
+ Nếu
1a >
, ta có:
( ) .
c
f x a<
Kết hợp với ĐK, ta được tập nghiệm là:
1 1
;
3 2
T
 
=


 
b). ĐK:
2 1 0
1
2 0
2
x
x

   
+
 ÷  ÷
   
b).
2 3 5 5
2 .8
−
c).
2
1,5
3
(0,04) .(0,125)
−
−
d).
2 3 3 1 2 3
(4 4 ).2
− −
−
e).
5
4
2
3
5
4
5 0,2
−
−

2 2log 7
10
+
k).
3 81
2log 2 4log 2
9
+
l).
9
log 27
3
m).
2
log 32
4
n).
2
1 log 3
8
−
o).
49
log 15
7
p).
5 20
2 5 1 5
6
4 .9

2 6 7
). 3.9 3 2 0
). 2 9.2 2 0
). 9 36.3 3 0
). 4 10.2 24
). 5 5 250
).2 2 17 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a
b
c
d
e
f
+
+ −
−
− +
+ +
− − =
− + =
− + =
− =
+ =
+ − =

− + =
− + =
+ − =
+ =
+ − =
− − =

( ) ( )
1 3
3 1
1
). 3 5.3 12
1 1
). 128 0
4 8
). 2 3 2 3 14
). 3 3 2 0 ( 2013)
x x
x x
x x
x x
o
q
r
s tn
+ −
−
−
− =
   

2 2
6 1
6
4 4
).log ( 2) log ( 3) log 12
). log ( 2) log ( 3) 1
).log log ( 1) 1
). log ( 4) log ( 1) 1
). log ( 3) log ( 1) 2
f x x
g x x
h x x
i x x
j x x
− + − =
− + − =
+ − =
− − + =
+ − − =
2 3 4
1 4
4
3 3 3
1 4
4
).log (log (log )) 0
). log (3 1) log (2 3 )
).log (9 1) log (2.3 1) log 2
). log ( 5) 2log ( 1) 0
x x

= +
− + =
+ − =
− − =
23
Bài tập 5: Giải các bất phương trình sau:

2
2
2
2
2 1 3 2
2 3 2
3
3
1
1
1 2 5
). 7 ).
7 5 2
1 1
). 2 ). 9
4 3
1
). 5
25
x x x
x x
x x
x x

). 49 6.7 7 0
). 5 5 4
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
f
g
h
i
j
+ − −
− − +
+
− ≤ −
− > −
− + ≥
− − <
> +

Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau:

2 2
2 2
1
2
2
1
2

+ + − ≥

2
1 2
2
1 5 1
5 5
3 5
1
2
2
3 1
2
2 2
4 4
2
3 3
). log ( 6 5) 2log (2 ) 0
). log log ( 2) log 3
). log (2 15) 0
1
). log log 1
16
). log ( 2 ) log ( 4)
). log 2 5log 2 4 0
x
i x x x
j x x
k
l x

x dx C
α
α
α α
α
+
= +
= + ≠ − ∈
+
∫
∫
o
o ¡
1
1 1
( ) . ( )
1
1
1 1
ln
1
os( ) sin( )
1
sin( ) os( )
sin
tan ln os
cos
os
cot ln sin
sin

∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
o
o
o
o
o
o
o
2
1 1 1
2
dx C dx x C
x x
x
= − + = +
∫ ∫
o o
2 2
2
2
2
2
cos sin
sin cos

dx x C
x
e dx e C
a
a dx C
a
= +
= +
= +
∫
∫
∫
o
o
o
3. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn
[ ]
;a b
.
Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) .Kí hiệu:
( )
b
a
f x dx
∫
Công thức:

[ ]
( ) . '( ) ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
β
α
=
∫ ∫
Ví dụ: Tính
2
sin
0
. os
x
I e c xdx
π
=
∫
Giải
Đặt
sin ost x dt c xdx= ⇒ =
Đổi cận:
0 0
1
2
x t
x t
π
= ⇒ =