Chuyên đề 1
Chuyên đề 1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG
ĐẠO HÀM
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013

TÔ VĨNH HOÀI
THPT Thủ Khoa Nghĩa
1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
Lí thuyết:
• P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x
0
; y
0
) : y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)
• ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau
( ) ( )
( ) ( )



=
′
=
′

(giao của (C ) và trục hoành là cho
0
0y
=
)
Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
(C ) : y = f(x) = x
3
– 3x + 2 tại:
a; Điểm M có hoành độ x
M
= 0 b; Giao điểm của ( C ) với trục hoành
Giải :a; x
M
= 0
⇒
y
M
= 2
( )
2;0M
⇒
y’ = f’(x) = 3x
2
– 3
⇒
f’(0) = – 3
Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 )
⇔
y = – 3x + 2

( )
00
xfyD
=⇒∈

trang 1
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013
Phương trình tiếp tuyến y – y
0
= k( x – x
0
)
Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )
⇔
( ) ( )
( ) ( )



+=
=
′
2
1
bkxxf
kxf
có nghiệm . Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
• (d
1

′
⇔
xxxf
• x
0
= 1
⇒
y
0
= 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x
• x
0
= – 1
⇒
y
0
= 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4
2; Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 .
Gọi (d
1
) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )
( )
( )





+−=+−
−=−

Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(
1 1
;x y
)
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.Tính y
0
= f(x
0)
và f’(x
0
) theo x
0
. Phương trình tiếp tuyến
của (C) tại M là : y – y
0
= f’(x
0
)( x – x
0
) (1)
Vì tiếp tuyến đi qua A(
1 1
;x y
) nên y
1

11
yxxkxf
kxf
có nghiệm
Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)
Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x
3
– 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi
qua A(2 ; –4 )
Cách 1 : Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm . Ta có y
0
= x
0
3
– 3x
0
+2 và
f’(x
0
) = 3x
0
2
– 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
y – (x
0
3

=∨=⇔=−⇔ xxxx
• x
0
= 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
• x
0
= 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k
Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 . (d) là tiếp tuyến của (C)
( )
( ) ( )





−−=+−
=−
⇔
24223
133
3
2
xkxx
kx
có nghiệm
Từ (1) và (2) ta có x
3
– 3x + 2 = (3x
2

+ 1 và (D) : y = g(x) = x
2
+ m
Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau
GIẢI : (C) và (D) tiếp xúc với nhau
( )





+=+−
=−
⇔



=
=
⇔
21
)1(224
)()(
)(')('
224
3
mxxx
xxx
xgxf
xgxf

của (C) đi qua M
3) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C)
3 2
1
3
= −y x x
đi qua A(3; 0)
4) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C)
2 1
1
+
=
+
x
y
x
đi qua A(-1; 3)
5) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
4 2
: 2 1C y x x
= − +
tại điểm cực đại của
( )
C
6) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
1
:
2

C y
x
+
=
−
biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
5
−
9). Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
5 4
2
x x
y
x
− +
=
−
biết các tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng y = 3x + 2006
10). Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
+
tại điểm thuộc đồ thị có hoành

+
Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của (C)
tại điểm
( )
2; 5M
−
.
14) Cho hàm số
1x
x
y
−
=
(C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của
(C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
trang 4
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013
15) Cho hàm số
1x2
1x
y
+
+−
=
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi
qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.
16) Cho hàm số y = –2x
3
+ 6x
2

2
:
1
x
C y
x
=
+
. Tìm các điểm M trên (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 trục Ox; Oy
tại 2 điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
20) Cho
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
+ −
=
−
. Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại các điểm đó với đồ thị (C)
vuông góc với đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C)
21) Cho
( )
2
:

2
2 1
2
x
y x
= − −
, biết tiếp tuyến đi qua
( )
0; 2A

25) Cho
( )
3
: = − + +
m
C y x mx m
. Tìm m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục Ox
26) Cho (C) :
4 2
6y x x
= − − +
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x

= f(x
0
) .
• Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng để thử lại :
1;
( )
( )
0
0
0
0
′

=


′′
≠


f x
f x

⇒
Hs đạt cực trị tại x
0

2;
( )
( )



′′
>


f x
f x

⇒
Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

Nếu f”(x
0
) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’
Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
+ mx – 3. Tìm m để hàm số :
a; Đạt cực trị tại x = 1
b; Đạt cực đại tại x = 0
GIẢI : Tập xác định D =
¡

Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x
2
– 4x + m
a; Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi f’(1) = 0

4
3

∞+
trang 6
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013
y’ + 0 – 0 +
y CĐ CT
Vậy khi m = 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0
Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số có cực trị
Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x
0
(hoặc
y
′
không tồn tại tại
0
x D
∈
) và y’
đổi dấu khi x đi qua x
0
.Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua
các nghiệm đó thì hàm số có bấy nhiêu cực trị
Ví dụ Cho hàm số y =
1
1
2
+

có 2 nghiệm phân biệt
3021
−>⇔>++=∆
′
⇔
mm
2; Khi m > -3 hàm số có 2 giá trị cực trị y
1
= 2x
1
– 1 ; y
2
= 2x
2
– 1 .
y
1
; y
2
cùng dấu
⇔
y
1
.y
2
> 0
( )( ) ( )
012.401212
212121
>++−⇔>−−⇔

đường đi qua các điểm cực trị là y = B(x)
I/- Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
Tọa độ điểm cực trị là nghiệm của hệ phương trình
1 2
.
2
3 9 3 3 9
3 3 9
0

   
′
= + + − + −

 
 ÷  ÷
⇔ = − + −
   

 ÷
 

′
=

b b bc

Tọa độ điểm cực trị là nghiệm của hệ phương trình
trang 7
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013
( ) ( )
( )
2
2
2
2 0
0

+ +

+ +
=
=


+
⇔
+
 
 
′
+ + − + + =
=


a x bx c
a x bx c

d
ax bx c ax b
dx e d
Nên
2 +
=
ax b
y
d
là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
BÀI TẬP
1) Tìm m để hàm số
( )
3 2 2
– 3 – 1 2y x mx m x
= + +
đạt cực đại tại điểm x = 2
2) Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x
3
– 2x
2
+ mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
3) Tìm m để hàm số
( )
2
3 2 1 2
2
x m x m
y
x

= − − + −
. Tìm m để
( )
m
C
có 2 giá trị cực trị cùng dấu.
7) Cho
( ) ( )
3 2
2 1 2 2y x m x m x
= − − + − +
. Tìm m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực trị có hoành độ dương.
8) Cho
( ) ( ) ( )
3 2
: 1 2 2 2C y x m x m x m
= + − + − + +
.Tìm m để (C) có 2 điểm cực đại và cực tiểu
cách đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
9) Cho hàm số
m
y x m (Cm)
x 2
= + +
−
. Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho
đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O.
10) Cho
( )

=
+
. Tìm m sao cho (C) có 2 điểm cực đại, cực tiểu tạo
với gốc tọa độ O thành một tam giác vuông tại O.
14) Cho
( )
2
1
:
x mx
C y
x m
+ +
=
+
. Tìm m sao cho hsố đạt cực đại tại x = 2
15) Cho
( )
( )
3 2 2 2
: 3 3 1 3 1C y x x m x m
= − + + − − −
.Tìm m để (C) có 2 điểm cực đại và cực tiểu
cách đều gốc tọa độ O.
trang 8
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013
16) Cho
( )
( )
3 2 2

0
), f(x
1
),……

;
ax
a b
m y
 
 
là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.

;
in
a b
m y
 
 
là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số
( ) ( )
2
ln 1 2= − −f x x x
trên đoạn
[ ]
2;0
−
GIẢI : Ta có
( )

2
x
x

 
= ∉ −
 

⇔

 
= − ∈ −
 


Ta có
( ) ( )
1 1
2 4 ln5 ; ln 2 ; 0 0
2 4
 
− = − − = − =
 ÷
 
f f f
Vậy :
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )

trên đoạn
0;
2
π
 
 
 

3) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số
3
4
2sin sin
3
y x x
= −

HD: đặt
( )
sin 1;1t x t
 
= ∈ −
 
4) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số
( )
3 2
8 16 9
= − + −
f x x x x
trên đoạn
[ ]

3 2
2 6 1
= − +
f x x x
trên đoạn
[ ]
1;1
−
trang 10
HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013
trang 11