TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC


()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcủongqui
PRbabc
QRc
ỡ
ạạ
ù
ù
ộ
ầ=
ị
ớ
ờ
ầ=
ở
ù
ầ=
ù
ợ
PP

ã

()()
(),()
()
PQd

P
PP

2. ng thng v mt phng song song
a) nh ngha: d // (P)

d
ầ
(P) =
ặ

b) Tớnh cht

ã

(),'()
()
'
dPdP
dP
dd
ỡ
ậè
ị
ớ
ợ
P
P

ã

3. Hai mt phng song song
a) nh ngha: (P) // (Q)

(P)
ầ
(Q) =
ặ

b) Tớnh cht

ã

(),
()()
(),()
Pab
abMPQ
aQbQ
ỡ
ẫ
ù
ầ=ị
ớ
ù
ợ
P
PP

ã


ợ
P
P

4. Chng minh quan h song song
a) Chng minh hai ng thng song song
Cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau:

ã
Chng minh 2 ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh
song song trong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lớ Talột o, )

ã
Chng minh 2 ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba.

ã
p dng cỏc nh lớ v giao tuyn song song.
b) Chng minh ng thng song song vi mt phng
chng minh
()
dP
P
, ta chng minh d khụng nm trong (P) v song song vi mt
ng thng d
Â
no ú nm trong (P).
c) Chng minh hai mt phng song song
Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct nhau ln lt song song vi hai
ng thng trong mt phng kia.


l VTCP ca b. Khi ú
.0
abuv
^=
rr
.

ã

bc
ab
ac
ỡ
ÔÔ
ị^
ớ
^
ợ

2. ng thng v mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: d
^
(P)

d
^
a,
"
a
è

ab
aPbP(),()
ỡ
ạ
ị
ớ
^^
ợ
P

ã
PQ
aQ
aP
()()
()
()
ỡ
ị^
ớ
^
ợ
P
ã
PQ
PQ
PaQa
()()
())
(),()

ớ
^^
ợ
P

ã Mt phng trung trc ca mt on thng l mt phng vuụng gúc vi on thng ti
trung im ca nú.
Mt phng trung trc ca on thng l tp hp cỏc im cỏch u hai u mỳt ca
on thng ú.
ã nh lớ ba ng vuụng gúc
Cho
(),()
aPbP
^è, a l hỡnh chiu ca a trờn (P). Khi ú b ^ a b ^ aÂ
3. Hai mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: (P)
^
(Q)


ã
(
)
0
90
PQ(),()=
b) Tớnh cht
ã iu kin hai mt phng vuụng gúc vi nhau:
()
()()

aAaQ
ỡ
^
ù
ẻịè
ớ
ù
'^
ợ

ã
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR
ỡ
ầ=
ù
^ị^
ớ
ù
^
ợ

4. Chng minh quan h vuụng gúc
a) Chng minh hai ng thng vuụng gúc
chng minh
da

·
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

·
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

·
Chứng minh d // a và a
^
(P).

·
Chứng minh d
Ì
(Q) với (Q)
^
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

·
Chứng minh d = (Q)
Ç
(R) với (Q)
^
(P) và (R)
^

abab
=
Chú ý: 0
0
£
¶
(
)
ab
,
£ 90
0

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· Nếu d ^ (P) thì
·
(
)
,()
dP
= 90
0
.
· Nếu
()
dP
^ thì
·
(
)

aP
PQab
bQ
ì
^
Þ=
í
^
î

· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Î c, dựng
(),
(),
aPac
bQbc
ì
Ì^
í
Ì^
î
Þ
·
(
)
¶
(
)
(),(),
PQab
=

Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

·
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

·
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 4

1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
·
222
ABACBC
+=
·
22
ABBCBHACBCCH
.,.
== ·
222
111
AHABAC

sin
sin
sin
===
· Công thức độ dài trung tuyến:

222222222
222
242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=-=-=-

2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
·
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
=== · CabBcaAbcS sin
2


· DABC đều, cạnh a:
2
3
4
a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
´
cao =
·
ABADsinBAD e) Hình thoi:
·
1
2
SABADsinBADACBD

==
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1

1
3
ủaựy
VSh
.
=
vi S
ỏy
l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi chúp
3. Th tớch ca khi lng tr:

ủaựy
VSh
.
=
vi S
ỏy
l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi lng tr
4. Mt s phng phỏp tớnh th tớch khi a din
a) Tớnh th tớch bng cụng thc

ã
Tớnh cỏc yu t cn thit: di cnh, din tớch ỏy, chiu cao,

ã
S dng cụng thc tớnh th tớch.
b) Tớnh th tớch bng cỏch chia nh
Ta chia khi a din thnh nhiu khi a din nh m cú th d dng tớnh c th
tớch ca chỳng. Sau ú, cng cỏc kt qu ta c th tớch ca khi a din cn tớnh.
c) Tớnh th tớch bng cỏch b sung

2
a
tan
a

ị
Va
3
1
tan
6
=a

Baứi 2. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, cnh bờn
SA = a
5
. Mt mt phng (P) i qua AB v vuụng gúc vi mp(SCD) ln lt ct SC v
SD ti CÂ v DÂ. Tớnh th tớch ca khi a din ADDÂ.BCCÂ.
HD: Ghộp thờm khi S.ABC'D' vo khi ADD'.BCC' thỡ c khi SABCD

ị

a
V
3
53
6
=
Baứi 3. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú SA = x, BC = y, cỏc cnh cũn li u bng 1.
Tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v y.


ị

Vabcbcacab
222222222
2
()()()
12
=+-+-+-
Baứi 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^
(ABC).Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB v SC. Tớnh th
tớch khi chúp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SASMSNSA
VSASBSC
SB

ổử
===
ỗữ
ỗữ
ốứ

im M, N v gi BM = x, DN = y. Tớnh th tớch t din ACMN theo a, x, y.
Baứi 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB =a, AD = a
2
, SA
^ (ABCD). Gi M,N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC.
a) Chng minh mp(SAC) ^ BM.
b) Tớnh th tớch ca khi t din ANIB.
Baứi 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC).
Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB, SC. Tớnh th tớch khi
chúp A.BCNM.
Trn S Tựng Khi a din
Trang 7

Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD, cú cnh ỏy bng a v
ã
ASB
a
=

tam giỏc cõn nh A, trung tuyn AD = a. Cnh bờn SB to vi ỏy gúc a v to vi
mp(SAD) gúc b.
a) Xỏc nh cỏc gúc a, b.
b) Chng minh: SB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
.
c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp.
HD: a)
ã
ã
SBABSD;
ab
==

c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin

744
2
aaaxx
ax
-+
+

Baứi 4. Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta
ly im S vi SA = 2a. Gi BÂ, DÂ l hỡnh chiu ca A lờn SB v SD. Mt phng (ABÂDÂ)
ct SC ti CÂ. Tớnh th tớch khi chúp SABÂCÂDÂ.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
ÂÂ
=

ị
V
SAB
Â
C
Â
D
Â

=

=
2
3
a .
Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh đáy
bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và
hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a

Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là
a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2

e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x
c) V =
1
6
ayxa
()
+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
ab

= . Từ trung điểm E của DC dựng
EK ^ SC (K Î SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK).
Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết
rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông
góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD
^
SB và AE
^
SC. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác định góc a.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
33
8
a sin
sin
a
a
.
HD: a)
·

CAC
¢
= a, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
222
2
ab
basinsin
aa
-
c)
a
= arctan
2
2

Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2

-
; S
xq
= 3a
2
2
3
3
tan
a
-
.
Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 10

a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ
nhật.
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 60
0
.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S
tp
=
2
7321

2
(1 + sin
a
+
2
1 sin
a
+ )
Baøi 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho
·
BAA
¢
= 45
0
.
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
HD: a) V =
2
2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).

j
= arctan
2
2

Baøi 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt
bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai
mặt này hợp với nhau một góc a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢). Xác định góc a.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ .
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
D
ABC; vẽ KH
^
BB
¢
.
·
AHK
=
a
.
b) V =
3
3
2

2
2
SS
SS
.
-

Baøi 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.
a) Chứng minh:
·
·
CACvaøACB
ab
¢¢
==
.
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d
3
sina.sinb
cos().cos()
abab
+-

c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi mà
A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
a
– sin

3
4
a
; S
xq
= a
2
15
.
Baøi 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
= 60
0
;
A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a.
a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và góc a. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢.
c) Đặt b =
·
(
)
ABBAABCD
,
¢¢
. Tính a biết a + b =
4
p
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD. Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 12

I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
· Mặt cầu:
{
}
SORMOMR
(;)== · Khối cầu:
{
}
VORMOMR
(;)=£
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính
22
rRd


5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục D của đáy (
D
là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

II. Diện tích – Thể tích
Cầu Trụ Nón
Diện tích
2
4
SR
p
=

2
xq
SRh
p
=
2
tpxqñaùy
SSS
=+

KHỐI TRÒN XOAY
Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 13

VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu

Baøi 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )(ABCSA
^
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R = .
b) Cho SA = BC = a và
2aAB =
. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d. Một góc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S.
Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3,
·
0
0
BAC6
=
.
Baøi 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, )(ABCDSA
^

60
0
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Baøi 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R =
5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính
Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 14

khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
Baøi 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 60
0
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của
ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I.
Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này.
Baøi 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK
lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Baøi 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA =
7
a
và SA ^

Baøi 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai
đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi
(
)
22
4
hahR
><+ .
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Baøi 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình
trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 15

Baøi 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 9. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ; A và B là hai điểm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Baøi 10. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy (O, R) và (O¢, R) sao cho OA và O¢B hợp với nhau một góc bằng x và
và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với nhau một góc bằng y.

(
)
a
là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
2
2
R
.

VẤN ĐỀ 3: Mặt nón – Hình nón – Khối nón

Baøi 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích
khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối
nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
góc
0
60
. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S
và đáy (C).
Baøi 4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30
0
và cạnh IM = a.
Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành.

tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích
của khối nón.
Baøi 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và
mặt đáy là
a
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy
tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và
a
.
Baøi 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và
·
SAB
a
=
(
a
> 45
0
).
Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình
vuông ABCD.
Baøi 12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là
a
.
a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.
b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho
( )
10 <<= kk
SO
SI

Baøi 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
0
60
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Baøi 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là a.
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
b) Tính giá trị của
tan
a
để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Baøi 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Baøi 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đôi một vuông góc với nhau.
Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính
diện tích của mặt cầu đó.
b) Co SA =
3
a

·
0
90
BAC =
b)
·
0
60
BAC =
, b = c c)
·
0
120
BAC =
, b = c.
Baøi 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định
tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY
Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 18

Baøi 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
3

a) Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
b) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu.
c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón.
Baøi 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội
tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng
·
00
2045
ASB
,()
aa
=<< . Tính thể tích khối nón và diện
tích xung quanh của hình nón.
Baøi 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2
a
. Trong hình nón có một
hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục
của hình trụ là một hình vuông.
Baøi 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là
a
.
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt
hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và
a
.
asin
sin
a
a
+
,

SK =
2
1
a
sin
a
+
, V =
3
2
2
241
a sin
(sin)
a
a
+

Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc
·
BAC2
=a
. Trên đường thẳng d qua A

ç÷
ç÷
èø
2
0 < x <
2
và AC = AD = BC = BD = 1.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn
nhất đó.
HD: b) V =
22
212
3
xx
-
; MaxV =
2
93
khi x =
3
3

Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai
điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O
là:
2

hoặc
2
a
a
;
æö
ç÷
èø
.
Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi
ÔN TẬP TỔNG HỢP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Khi trũn xoay Trn S Tựng
Trang 20

a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD.
a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a.
b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD. Tớnh di ng vuụng gúc chung
ú theo a v a.
HD: a) V =
3
6
a
tan
a
, S
tp
=
2



Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB
v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn
cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x.
a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn. Tớnh di IH.
b) Gi J l trung im ca on CE. Tớnh di JM v tỡm giỏ tr nh nht ca JM.
HD: a) IH =
22
2
4
axa
ax
-
+
b) JM =
2
2
5
24
aa
x
ổử
-+
ỗữ
ốứ
MinJM =
5
2
a

b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a
, d =
3
2
a

Baứi 10. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a, AD = 2a, AA = a.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v BC.
b) Gi M l im chia trong on AD theo t s
3
AM
MD
=
. Hóy tớnh khong cỏch t im
M n mt phng (ABC).
c) Tớnh th tớch t din ABDC.
HD: a) d(AD
Â
, B
Â
C) = a b) d(M, (AB
Â
C)) =
2
a

^
và
2
SAa
=
.Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc
·
a
=
ACM
. Hạ
SNCM
^
.
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a
và
a
.
b) Hạ
AHSC
^
,
AKSN
^
. Chứng minh rằng
()
SCAHK
^
và tính độ dài đoạn HK.

HD: a) SG =
1
222
3
++
abc
b) V =
1
9
abc

Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc
·
60
=°
SCB
.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi (
a
) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi (
a
) và hình chóp S.ABCD.
HD: a) d(BC, SD) =
6
3
a
b) S =

yaax
+

d) MaxV =
3
3
8
a
khi x =
2
a

Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A;
·
0
30
ABC =
; SBC là tam
Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 22

giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB.
a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt
phẳng (SAC) và (ABC).
b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.
HD: a)
·
1
3
SABcos

và góc
·
0
60
BAD =
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
HD: V =
3
3
16
a

Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho AM =
3
3a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích
khối chóp S.BCNM .
HD: V =
27
310
3
a

Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
·

ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton
tng t nh trong mt phng.
ã Lu ý:
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú:
ABBCAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú:
ABADAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú:
ABADAAAC
''
++=
uuuruuuruuuruuuur

+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
Ta cú:
0
IAIB
+=
uuruur
r
;
2
OAOBOI
+=

;
-
==
-
uuuruuur
uuuruuuruuur

2. S ng phng ca ba vect
ã Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
abc
,,
r
rr
, trong ú
avaứb
r
r
khụng cựng
phng. Khi ú:
abc
,,
r
rr
ng phng $! m, n ẻ R:
cmanb
=+
r
rr


0
uv,
ạ
r
rr
. Khi ú:
uvuvuv
cos(,)
=
rrrrrr

+ Vi
00
uhoaởcv
==
rr
rr
. Qui c:
0
uv
.
=
rr

+
0
uvuv
.
^=
rrrr

rrr
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
222
1
ijk
===
rrr
và
0
ijikkj

===
rrrrrr
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
(
)
uxyzuxiyjzk
;;=Û=++
rrrrr

b) Tính chất: Cho
123123
aaaabbbbkR
(;;),(;;),
==Î
rr

î
rr

·
0000100010001
ijk
(;;),(;;),(;;),(;;)
====
r
r
rr

·
a
r
cùng phương
0
bb
()
¹
r
r
r
Û
akbkR
()
=Î
rr
0
abababab
^Û++=
rr

·
2222
123
aaaa
=++
r
·
222
122
aaaa
=++
r

·
112233
222222
123123
ababab
ab
ab
ab
aaabbb
.
cos(,)
.

Û
z = 0; M
Î
(Oyz)
Û
x = 0; M
Î
(Oxz)
Û
y = 0

·
M
Î
Ox
Û
y = z = 0; M
Î
Oy
Û
x = z = 0; M
Î
Oz
Û
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
AAABBB
AxyzBxyz
(;;),(;;)


æö
+++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

333
ABCABCABC
xxxyyyzzz
G ;;
æö
++++++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN