Trang 1
MỤC LỤC
MỤC LỤC____________________________________________________________________1
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace: _____________________________________2
A. HÀM GỐC:__________________________________________________________________ 2
B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace ______________________________________________________ 2
C. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace: __________________________________ 3
Ví dụ: _________________________________________________________________________________3
D. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace NGƯỢC: _____________________________________________ 4
Định nghĩa:_____________________________________________________________________________4
II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG:______________5
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:_____________________________________________________ 5
B. CÁC VÍ DỤ: _________________________________________________________________ 6
Ví dụ 1: ________________________________________________________________________________6
Ví dụ 2: ________________________________________________________________________________7
Ví dụ 3: ________________________________________________________________________________8
III. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI LÀ HÀM BẬC
THANG: _____________________________________________________________________9
1) Định nghĩa: __________________________________________________________________ 9
2) Biến đổi Laplace: ____________________________________________________________ 10
Ví dụ: ________________________________________________________________________________ 11
3) Biến đổi Laplace ngược: ______________________________________________________ 12
Ví dụ 1: _______________________________________________________________________________12
Ví dụ 2: _______________________________________________________________________________14
IV. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG ______15
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: ____________________________________________________ 15
B. CÁC VÍ DỤ: ________________________________________________________________ 15
Ví dụ 1: _______________________________________________________________________________15
Ví dụ 2: _______________________________________________________________________________16
Ví dụ 3: _______________________________________________________________________________17
V. KẾT LUẬN: _______________________________________________________________20

0
được gọi là mũ
tăng của hàm )(tf
3) )(tf =0 khi t<0
B. PHÉP BIẾN ĐỔI Laplace
CpdttfepF
pt




;)()(
0
F(p) là ảnh Laplace của biến )(tf
Kí hiệu: L[ )(tf ] = F(p)
)(tf = F(p); F(p) = )(tf
1
/>Trang 3
C. MỘT SỐTÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Laplace:
1) Cho 2 Laplace )(tf , g(t); )(tf = F(p); g(t) = G(p)
)(tf +g(t) = F(p) + G(p)
2) )(tf , k là hằng số
k. )(tf = k.F(p)
3) Đạo hàm gốc:
)0( )0(')0()()(
)0(')0()()(''
)()0()0(),0()()('
)()(
)1(21)(
2













)0(')0()(
)0(')0()()(''
2
fpfpFp
ffppFptf




Tương tựcho )(
)(
tf
n
4) Tịnh tiến ảnh


 
tconsaapFtfeL

0








Trang 4
b)
papa
e
dtedteee
tpa
tpaatptat





 




1
)(
0
0

Cho ảnh )(pF tìm gốc )(tf


)()(
1
tfpFL 

BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI Laplace THÔNG DỤNG
)(tf )( pF
1
0,
1
p
p
t
0,
1
2
p
p
n
t
np
p
n
n
,0,
!
1


ap
ap


,
1
at
e

ap
ap


,
1
at
te
ap
ap


,
)(
1
2
Trang 5
at
te

ap

!
1



là sốtựnhiên
at
cos
0,
22


p
ap
p
atsin
0,
22


p
ap
a
at
t
cos
0,
)(
222
22

ap
bap
ap



,
)(
22
atcosh
ap
ap
p


,
22
atsinh
ap
ap
a


,
22
II. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG:
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Cho Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng:
)()()(' )()(
01


nnnn
ffppFptfL
3) Sau quá trình biến đổi đại số ta được:
Y(p) = L(y(t))
4) Làm phép biến đổi ngược Laplace L
-1
, tìm y(t).
B. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Tìm nghiệm phương trình vi phân
1)0(',1)0(
2'3''
3



yy
eyyy
t
Giải
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace:
 
)3)(2)(1(
1
1
1
)(
3
1

ppYpp
p
pYppYppYp
p
pYyppYypypYp
Dùng phương pháp đại sốphân tích:
)3)(2)(1(
)236()345()(
)3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(
)3()2()1()3)(2)(1(
1
2













ppp
CBApCBApCBA
ppp
ppCppBppA


pppppp
3
1
2
1
2
1
1
1
2
3
)(






ppp
pY
Sửdụng biến đổi ngược Laplace
Vậy nghiệm phương trình là:
ttt
eeety
32
2
1
2
3

p
ypYpyypyppYp






Dùng phương pháp đại số phân tích vếphải
)1)(1(
)()()(
)1)(1(
)1()()1()1)(1(
11))(1(
1
2
23
2
22
23











2/1)2/1(
)1(
2/11
)(
22
2











pp
p
pp
p
p
pp
pY
Trang 8
Sửdụng biến đổi ngược Laplace
Vậy nghiệm của phương trình là: ttety
t
sin
2




p
p
pY
ppYp
pYppYp
pYyypypyppYp
Dùng phương pháp đại sốphân tích vếphải.
)1)(1)(1(
)()()()(
)1)(1)(1(
)1)(()1)(1()1)(1(
1
11
)1)(1)(1(1
2
23
2
222
22
2
4
2






1
,
4
1
 DCBA
1
2/1
1
4/1
1
4/1
)(
2






ppp
pY
Sửdụng biến đổi ngược Laplace:
Vậy nghiệm phương trình là: teety
tt
sin
2
1
4
1
4



ct
ct
ctHtH
c
1
0
)()(
Nếu c>0 (c<0) thì đồthịcủa H
c
sẽđược tịnh tiến qua phải (qua trái) 1 đơn vịc, so với đồ
thịcủa H.
c) Hàm khoảng H
ab
với a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside
)()()()()( btHatHtHtHtH
baab

Thật vậy:
1) t<a thì H
a
(t) và H
b
(t) bằng 0 0)(  tH
ab
2) bta


thì H

bta
at
btHatHtHtHtH
baab
0
1
0
)()()()()(
Trang 10
Ví dụ: Mô tảhàm:






t
tt
tf
12
102
)(
sửdụng hàm bậc thang Heaviside.
Giải
Từ )(tf là hàm khảvi từng khúc trên khoảng 10


t và 1

t , chúng ta sửdụng hàm

cp
ptpt
cc
p
e
dtedtetHpHL
0
)()(
Chứng minh:
 
 
p
e
ee
pp
e
dtedtetHpHL
cp
pcpb
b
b
c
pt
b
c
ptpt
cc




=H
a
-H
b
. Nên:
     
p
ee
pHLpHLpHL
bpap
baab


 )()()(
Biến đổi Laplace cho hàm tịnh tiến:


)()()()( pFepctfctHL
cp

Chứng minh:
 










và

ddt

. Ta được:
Trang 11






0
)(
)()(


defdtectf
cp
c
pt
 
)(
)(
)()()()(
0
0
)(
pFe



te
t
t
tf
t
6
645
403
)(
7
Giải
Ta có:
   
)6(.)6(5)4(8)(3
)6()6(5)4(8)(3
)6()6()4(5)4()(3
)()(5)(3)(
)6(
7
7
6
7
4604






ppp
b)









20
21sin
10
)(
t
tt
t
tf

Trang 12
Giải
Ta có:
 
)2()2(sin)1()1(sin
)2(sin)1(sin
)2()1(sin
)(.0)(sin)(.0)(
2121






p
ee
p
e
p
e
pfL
pppp
3) Biến đổi Laplace ngược:
Cho hàm )(tf là hàm liên tục từng đoạn và


)()( pfLpF  thì:


)()()()(
1
ctfctHtpFeL
cp


Các ví dụ: ỨNG DỤNG Laplace GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ PHẢI
LÀ HÀM BẬC THANG
Ví dụ 1:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân:
5)0(











p
pe
pfL
tHtttHtHtHtf
p





Trang 13
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc và biến đổi Laplace ta được:
)1)(1(
3
)1(
5
)(
1
35)()1(
1


Mà
p
ppp
p
e
pp
CApCBpBA
e
pp
pCBppA
e
p
CBp
e
p
A
pp
pe












































1
1
1
1
1
2
3
)1(
5
1
)2/3(
1
)2/3(
1
2/3
)1(
5
)(
1
)2/1(
1
)2/1(
1
2/1
)1)(1(
22
22
222
Dùng biến đổi Laplace ngược ta được:











tttee
te
ty
tt
t
cossin
2
3
5
05
)(
)(
Trang 14
Ví dụ 2:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân:
1)0(',0)0(
)(''




pfL
tHtttH
tHtHtHttHttHtf
p







Sử dụng tính chất đạo hàm gốc và điều kiện đầu, biến đổi Laplace bên vế trái là:
 
2
22
22
1)()1()())0(')0(.)(.(''
p
e
pYppYyyppYpyyL
p


1
1
)1(
22
)(
.22
1)()1(






p
e
p
e
pp
e
ppp
1
1
1
222
1
1
)
1
2222
(
)1(
22
)(
2222
22222




sin)1sin()1(2)1()1(22)(









tHtttt
tttHtHttty
Vậy nghiệm phương trình là:






ttt
ttt
ty
1sin)1sin(22
10sin2
)(
Trang 15
IV. ỨNG DỤNG Laplace GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Cũng nhưphương trình vi phân tuyến tính hệsốhằng, đểgiải hệphương trình vi phân
tuyến tính hệsốhằng ta thay các hàm phải tìm, các đạo hàm của chúng và các hàm ởvế









1)()1()(
1)()()3(
0)()(1)(
0)()(31)(
0)()()0()(
0)()(3)0()(
pYppX
pYpXp
pYpXppY
pYpXppX
pYpXyppY
pYpXxppX
Giải hệphương trình đại số, tìm nghiệm )(),( pYpX














 BA
p
BpA
p
B
p
A
p
p
2D,1
)2(
D)2(
)2()2()2(
4
222












)2(
1
)(
)2(
2
)2(
1
)(
p
p
pY
pp
pX
Sửdụng biến đổi Laplace ngược.
Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân là:









teety
teetx
tt
tt
2)(
2)(




1)()4()(4
1)(4)()10(
0)(4)(4)0(')0()(
0)(4)(10)0(')0()(
2
2
2
2
pYppX
pYpXp
pYpXypypYp
pYpXxpxpXp
Giải hệphương trình theo phương pháp đại sốta được:












)12)(2(
6

6
5
6
,0,
5
1
,0
)12)(2(
212)212()()(
)12)(2(
)2)(()12)((
)12()2()12)(2(
22
23
22
22
2222
2
22
23
22
22
2222
2







p
DpC
p
BpA
pp
p
DCBA
pp
DBCApDBpCAp
pp
pDCppBAp
p
DCp
p
BAp
pp
p














12
(
125
6
)
2
2
(
25
1
12
5/6
2
5/1
)(
2222
2222
pppp
pY
pppp
pX
Sửdụng biến đổi Laplace ngược.
Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân là:








yx
tyxx
xyx
Trang 18
Giải
Sửdụng tính chất đạo hàm gốc ta được:

























p
pYpXxppX
p
pXyppYxppX
Nhân phương trình (2) cho –p, cộng 2 phương trình lại ta được:
)4(
)232(
)1)(4(
)232)(1(
)43(
22
)(
2
2
1
1
)()2()()4(
2
2
2
2
22
23
2
2






)4(
)232(
)4(
3
23
3
22
3
2
2
2
2
2
2


























)4(
868
)(
)4(
)232(
)(
3
23
2
2
pp
ppp
pY
pp
pp
pX
Phân tích:
)4(
4)4()(
)4(
)4()4(

pp
pp
Cân bằng hệ số, ta được:
8
11
,
2
1
,
8
5
 CBA
)4(
4)4()4()(
)4(
)4()4()4(
)4()4(
868
3
23
3
32
323
23















)4(4
1121
4
7
)(
)4(8
11
2
1
8
5
)(
32
2
pppp
pY
ppp
pX
Sử dụng biến đổi Laplace ngược
Vậy nghiệm của hệ phương trình:



-Khối lượng tính toán nói chung ít hơn so với phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.
-Cho ngay nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát. Trong trường hợp muốn
có nghiệm tổng quát chỉ cần đặt y
0
= C
0
, y’
0
= C
1
,…, y
0
(n-1)
= C
n-1
. Với C
k
là những hằng
số tuỳ ý.