LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG - DẺO - TỪ BIẾN
Câu 1: Trạng thái ứng suất tại một điểm? Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.
Trả lời
I. Trạng thái ứng suất tại một điểm.
+ Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các thành phần ứng suất tác dụng lên tất cả các mặt vô cùng bé đi qua điểm đó.
+ Trạng thái ứng suất tại một điểm được xác định khi biết được ứng suất trên 3 mặt vuông góc với nhau, chúng bao gồm:
- 3 thành phần ứng suất pháp:
x y z
σ ,σ ,σ
. Qui ước
σ 0>
khi có chiều cùng chiều với lực kéo.
- 6 thành phần ứng suất tiếp:
xy yx yz zy xz zx
τ , τ , τ , τ ,τ ,τ
. Qui ước
τ 0>
khi pháp tuyến của mặt mà nó tác dụng theo phương trục tọa độ thì chiều ứng suất tiếp theo
chiều dương của trục tọa độ tương ứng.
+ Theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng ngược chiều:
xy yx yz zy xz zx
τ τ , τ τ , τ τ= = =
.
+ Vậy ta còn 6 thành phần ứng suất độc lập và nó là hàm của tọa độ điểm cần tính ứng suất:
x x y y z z
σ σ ( , , ),σ σ ( , , ),σ σ ( , , )x y z x y z x y z= = =
xy xy yz yz zx zx
τ τ ( , , ), τ τ ( , , ), τ τ ( , , )x y z x y z x y z= = =
+ Trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ được xác định bằng một ten xơ bậc 2 đối xứng.( Ten xo bậc 2 là một đại lượng toán học xác định trong hệ tọa độ
1 2 3
Ox x x

−
−
−
Với :
x y z
0
σ σ σ
σ
3
+ +
=

Ứng suất pháp trung bình.
+ Người ta chứng minh rằng:
- Ten xo cầu
σo
T
có tác dụng gây ra biến dạng thể tích.
- Ten xơ độ lệch:
σ
D
có tác dụng gây ra biến đổi hình dáng
II. Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm.
1. Phương trình vi phân cân bằng:
2
ij
i
i
2
j

yx y yz
23
21 22 2
2
2 2
1 2 3
σ
σ
σ σ u v
X = Y=
x x x t x ty z
τ τ
ρ ρ
∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + ⇔ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
2
zy
31 32 33 3
zx z
3
2 2
1 2 3
σ σ σ u
σ w
X = Z=
x x x t x ty z

n1 11 1 12 2 13 3 nx x xz
σ =σ n σ n σ n σ =σ l m n
xy
τ τ
+ + ⇔ + +
n2 21 1 22 2 23 3 ny yx y yz
σ =σ n σ n σ n σ = l σ m n
τ τ
+ + ⇔ + +
n3 31 1 32 2 33 3 nz zx zy z
σ =σ n σ n σ n σ = l m σ n
τ τ
+ + ⇔ + +
4. Ứng suất toàn phần :
+ Để tìm ƯS tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến n với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của
phần tử tứ diện lấy tại điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có các ƯS
τσ
,
(như
H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ƯS toàn phần
nn
σ
r
, các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là
nx ny nz
σ σ σ
.
+ Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt
*
z

   
 
   
   
 
   
 
   
 
Giá trị của ƯS toàn phần Pn được tính theo công thức sau :
2 2 2
nn nx ny nz
σ σ σ σ= + +
5. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ :
+ Ứng suất toàn phần
n
σ
có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất tiếp.
a) Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần
n
σ
trên pháp tuyến
ν
, được ký hiệu
σ
ν
.
nn nx 1 ny 2 nz 3
σ =σ e σ e +σ e+
ν nn nx 1 ny 2 nz 3 nx ny nz

6. Mặt chính - Ứng suất chính - Phương chính
a) Khái niệm:
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.
* Ứng suất chính là ứng suất trên mặt chính . Ký hiệu
1 2 3
σ , σ , σ
.
b) Ứng suất chính:
+ Phương trình đặc trưng:
x xy xz
ij ij yx y yz
zx zy z
σ σ τ τ
σ -δ σ 0 τ σ σ τ 0
τ τ σ σ
 
−
 
= ⇔ − =
 
 
−
 
+ Với
ij
δ
là hệ số croneker;
ij
δ

>>
. ƯS chính đều là ứng
suất cực trị.
c) Phương chính:
Tìm phương chính nghĩa là giải hệ:
ij ij j
(σ -σδ )n =0
11 1 12 2 13 3
(σ - )n σ n σ n 0
σ
+ + =
21 1 22 2 23 3
σ n (σ -σ)n σ n 0+ + =
31 1 32 2 33 3
σ n σ n (σ -σ)n 0+ + =
Với
j
n
là cosin chỉ phương của trục chính- các giá trị
j
n
phải thỏa mãn điều kiện trực giao:
2 2 2
1 2 3
n +n +n =1
.Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục
tọa độ, ký hiệu các trục là 1,2,3.Tenxơ ƯS này được viết là :
Các bất biến của trạng thái ƯS chính :
7) ứng suất tiếp lớn nhất:
+ Phương của mặt cắt có UST lớn nhất nghiêng với phương chính một góc 45








( ) ( )
( )
( )
σ
2 2
2
2 2 2
2(D ) ij ij x y y z z x xy yz zx
1 1
Iσ σ σ σ σ σ σ σ 6 τ +τ +τ
2 6
 
= = − + − + − +
 
 
% %
σ
3(D ) ij
Iσ =
%
+ Trạng thái ứng suất thủy tĩnh ( kéo, nén đều theo 3 phương):
i
τ 0=

xz
x xy xz yz
i i i i
τ τ
σ σ
τ
σ ; τ ; τ ; τ
τ τ τ τ
−
= = = =
Các thành phần của ten xơ chỉ phương không có thứ nguyên. Nếu các thành phần này là không đổi khi tăng tải dẫn đến phương chính không đổi thì chất tải được gọi là chất
tải đơn giản.
Câu 2: Trạng thái biến dạng tại một điểm? Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái biến dạng tại một điểm.
Trả lời
I. Trạng thái biến dạng tại một điểm
1. Nhứng khái niệm cơ bản
+ Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thước của vật thể hoặc của các yếu tố hình học trong vật thể.
+ Các thành phần biến dạng và ký hiệu :Để định lượng biến dạng của vật thể, ta xét những thay đổi của các yếu tố hình học như chiều dài, góc, thể tích của vật thể .
* Biến dạng dài tương đối :
+ Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương n. Sau biến dạng MN = ds trở thành M
1
N
1
= ds
1
+ Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu ε
n
, là tỷ số
ds
ds

=
2
Π
- P
1
M
1
N
1
=
βα
+
+ Ý nghĩa: Biến dạng góc là lượng thay đổi của một góc vuông trong mặt phẳng đang xét, có 2 chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc. Biến dạng góc trong các mặt phẳng
xoy, yoz, zox là : γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
.
* Biến dạng thể tích tương đối :
+ Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV
1
.
+ Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu θ, là tỷ số : θ=
dV
dVdV −
1

+ Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của một đơn vị thể tích.

zx zy z
1 1
ε γ γ
2 2
ε ε ε
1 1
T =ε = ε ε ε = γ ε γ
2 2
ε ε ε
1 1
γ γ ε
2 2
+ Tenxơ biến dạng Tε có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là tenxơ lệch biến dạng
ε
D
và Tenxơ cầu biến dạng
ε0
T
x 0 xy xz
0
o 0 yx y 0 yz
0
zx zy z 0
1 1
2 2
0 0
1 1
T =T +D = 0 0 +
2 2
0 0

: Tenxơ cầu BD đặc trưng cho BD thể tích của phần tử
II. Những kết quả chủ yếu của việc nghiên cứu trạng thái biến dạng tại một điểm
1) Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :
Có thể viết dưới dạng toàn phương :
+ Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) :
σ
n
= σ
x
.l
2
+ σ
y
.m
2
+σ
z
.n
2
+ 2(T
xy
.ml + T
yz
.mn + T
xz
.nl) (2.7)
2) Biến dạng chính – phương biến dạng chính:
a) Biến dạng chính: Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy. Ký hiệu
các biến dạng chính là : ε
1

, ε
3,
ứng với mỗi ε
i
sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là
ba cosin chỉ phương của biến dạng chính ε
i
đó.
Và phương trình: l
2
+ m
2
+ n
2
= 1 (3.11)
+ Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính. Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3.
+ Tenxơ và các bất biến biến dạng chính được viết là :
3) Mối liên hệ của các thành phần biến dạng và chuyển vị:
+ Công thức Green:
( )
ij j,i i,j k,i k,j
1
ε = u +u +u +u
2
+ Trong trường hợp biến dạng bé, bỏ qua các đại lượng VCB bậc 2, công thức Green còn lại:
ij
1
ε = +
2
j

∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
4) Phương trình tương thích biến dạng:
Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của BD theo 3 chuyển vị u, v, w.
x xy
u u v
ε = ;γ = +
x y x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
y yz
w
ε = ;γ = +
v v
y z y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
z zx
w w
ε = ;γ = +
u
z x z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
- Các phương trình này cho phép tính được các BD bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w. Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là
những hàm đơn trị và liên tục của các biến số. Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục.
- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các BD, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số. Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để
xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau.
Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục của BD cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant.
Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong các phương trình BD Cauchy - Navier.

ξ ξo ξ εo ε 0 yx y 0 yz
0
zx zy z 0
1 1
ε -ε γ γ
2 2
ε 0 0
1 1
T =T +D =T +D = 0ε 0 + γ ε -ε γ
2 2
0 0ε
1 1
γ γ ε -ε
2 2
& &
& &
& &
&
& & &
& &
&
& &
& &
Với
x y z
0
ε ε ε
ε =
3
+ +

∂ ∂
∂ ∂∂
= − + + ≠ ≠ =
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
& &
& &
5) Đối với lý thuyết dẻo:
a) Độ lệch biến dạng và các lượng bất biến của độ lệch biến dạng.
b) Cường độ biến dạng trượt:
+ Là một đại lượng không âm, xác định bằng công thức:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2
i x y y z z x xy yz zx i 2(ε)
2 3 8
γ = ε -ε + ε -ε + ε -ε + γ +γ +γ γ = I
3 2 3
⇔
%
+ Với
2(ε)
I
%
- là lượng bất biến bậc 2 của độ lệch biến dạng.

=
c) Cường độ tốc độ biến dạng trượt:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2 2
i x y y z z x xy yz zx
2 3
γ = ε -ε + ε -ε + ε -ε + γ +γ +γ
3 2
& & & & & &
& & & &
d) Ten xơ chỉ phương biến dạng:
xy
x 0 xz
i i i
yx y 0 yz
ε ε
i i i i
zy
z 0
zx
i i i
γ
2(ε -ε )
γ
γ γ γ
γ 2(ε -ε ) γ

Câu 3: Trình bày phương pháp tổng quát giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị.
Trả lời
1. Chọn ẩn số cơ bản:
Ta chọn ẩn số cơ bản là các thành phần chuyển vị u
i
(x,y,z): u(x,y,z); v(x,y,z); w(x,y,z).
2. Thiết lập 3 phương trình độc lập chứa 3 ẩn trên.
+ Từ công thức Cosi
+ Ta thay vào các phưong trình của định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ngược:
+ Thay vào hệ phương trình cân bằng (phương trình NAVIER- CAUCHY):
Với ∇
2
=
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
: Toán tử vi phân Laplace.

z

ε
tìm được vào công thức định luật Hooke viết dưới dạng ngược ta xác định được các thành phần ứng suất
ij
σ
Như vậy ta đã xác định xong trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất.
Câu 4: Trình bày phương pháp tổng quát giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo ứng suất (Trường hợp các lực thể tích là hằng số)
Trả lời
1. Chọn ẩn số: Chọn các ứng suất
x y z xy yz zx
σ ,σ ,σ ,τ ,τ ,τ
làm hàm ẩn chính.
2. Thiết lập 6 phương trình độc lập chứa 6 ẩn trên.
a) Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke
[ ]
x x y z x x 1
1 1
ε = σ - (σ + σ ) ε = (1+ )σ - S )
E E
ν ν ν
 
⇔
 
y y x z y y 1
1 1
ε = σ - (σ +σ ) ε = (1+ )σ - S )
E E
ν ν ν
   
⇔
   

2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng:
2 2
2
2 2
y xy
x
y x x y
ε γ
ε
∂ ∂
∂
+ =
∂ ∂ ∂ ∂
2 2
2
2 2
y yz
z
z y y z
ε γ
ε
∂ ∂
∂
+ =
∂ ∂ ∂ ∂
2
2
2
2 2
xy

 
∂
∂ ∂
+ + − + = +
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2
2 2 2
1 1
2 2 2 2
(1 ) 2(1 )
y yz
z
S S
z y y z y z
σ τ
σ
ν ν ν
 
∂ ∂
 
∂ ∂ ∂
+ + − + = +
 ÷
 ÷
 ÷

x y z y z x
τ τ
σ τ τ σ
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = ⇒ + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
yx yx
0
y yz yz y
Y Y
x y z x z y
τ σ τ τ τ σ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = ⇒ + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
zx zx
0
zy zy
z z
Z Z
x y z x y z
τ τ
τ σ τ σ
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = ⇒ + = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Tiến hành vi phân phương trình thứ nhất theo x, phương trình thứ hai theo y và phương trình thứ ba theo z.
2

∂
∂ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Cộng từng cặp rồi trừ đi phương trình thứ ba, ta có:
2 2
2
yz
2 2
2
xy y
x xz
x y x y z x y
τ σ τ
σ τ
 
∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
∂
= − + − +
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2
2
zx

   
∂ ∂
∂ ∂
= − + − +
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
  
Thay công thức navier-cauchy đã biến đổi vào phương trình trên ta có:
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
2
xy y y
x x
z z
Z
x y x y z z z x y
τ σ σ
σ σ
σ σ
   
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂∂
 
= − + − − − = − −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷

2 2
2 2 2 2 2
2
y y
zx x x
z z
Y
z x z x y y y x z
σ σ
τ σ σ
σ σ
 
∂ ∂
   
∂ ∂ ∂
∂ ∂∂
= − + − − − = − −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
  
 
Thay các biểu thức trên vào phương trình liên tục của biến dạng đã biến đổi ta có:
2 2
2 2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 )

S S
z y y z x y z
σ σ
σ
σ σ
ν ν ν
   
∂ ∂
 
∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + − + = + − −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
2
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 )
y
x x
z z
S S
x z z x y x z
σ

σ
ν ν
 
∂ ∂
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ − + + + + − + =
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2
2
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2
(1 ) 0
y y
x
z z
S S
x z y y z y z
σ σ
σ
σ σ
ν ν
 

∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + + + − + =
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
(1 ) 0
z z z
y
x
z
y
x
z
z x y
S S
x x x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
 
+ + +
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
(1 ) 0
x x x

 
∂
∂ ∂ ∂
 
+ + + + − + =
 ÷
 ÷
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
 
+ + +
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2

− − −
 
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
∂
 
∂
∂ ∂ ∂
 
+ + + + − + =
 ÷
 ÷
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
 
+ + +

 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
2 2 2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 2
(1 ) 0
x
S S S S
y z y z
ν σ ν
   
∂ ∂ ∂ ∂
+ −∇ + + − + =
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
2 2 2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 2
(1 ) 0
y
S S S S
x z z x
ν σ ν
   
∂ ∂ ∂ ∂
+ −∇ + + − + =

S
S
y
ν σ
ν σ
ν σ

∂
+ ∇ −∇ + =

∂

∂

⇔ + ∇ −∇ + =

∂


∂
+ ∇ −∇ + =

∂

Vì
+
2
0
θ
∇ =

S
z
S
x
S
y
ν σ
ν σ
ν σ

∂
+ ∇ + =

∂

∂

⇔ + ∇ + =

∂


∂
+ ∇ + =

∂

(5.5)
+Biến đổi tương tự ta có:
2

∂

⇔ + ∇ + =

∂ ∂


∂
+ ∇ + =

∂ ∂


(5.6)
Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán ĐH theo ƯS, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.5)
và (5.6) có được các ƯS sau đó tìm các BD theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình BD Cauchy.
Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi
3. Trình tự giải bài toán LTĐH theo ứng suất:
 Tích phân 9 phương trình gồm 6 phương trình theo ẩn ứng suất vừa thiết lập và 3 phương trình cân bằng. Có 3 phương trình thừa cần thiết để nhận ràng buộc của
tính liên tục
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2

∂
+ ∇ + =

∂

2
2
1
2
2
1
2
2
1
(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
xy
yz
zx
S
x y
S
y z
S
z x
ν τ
ν τ
ν τ


x y z
Y
x y z
Z
x y z
τ
σ τ
τ σ τ
τ
τ σ
∂

∂ ∂
+ + + =

∂ ∂ ∂


∂ ∂ ∂

+ + + =

∂ ∂ ∂


∂
∂ ∂
+ + + =

∂ ∂ ∂



 Xác định các thành phần
ij
ε
theo công thức của định luật Hooke tổng quát:
xy xy
x x y z
y y x z yz yz
z z y
zx zx
1
1
γ = τ
ε = σ - (σ + σ )
G
E
1 1
ε = σ - (σ +σ ) γ = τ
E G
1
1
ε = σ - (σ + σ )
γ = τ
E
G
x
ν
ν
ν

w
ε = ;γ = +
v v
y z y
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
z zx
w w
ε = ;γ = +
u
z x z
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
D. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami
Michell (5.7) khi giải theo ƯS với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện.
2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ƯS thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.3) tìm các ngoại lực
tương ứng với các chuyển vị hay ƯS cho trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được.
3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều
kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và
sự cồng kềnh của phương pháp ngược.
4. Nguyên lý Saint-Venant :Nhiều bài toán của lý thuyết ĐH khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh,
tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của
vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ƯS phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực.
Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng.
Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái
ƯS, BD của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”.
Ví dụ :
F : Diện tích mặt cắt ngang.
Câu 5: Trình bày phương pháp giải bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi theo ứng suất.

∂ ∂

Và một phương trình liên tục. Phương trình liên tục viết dưới dạng biến đổi:
2
1
0S∇ =
; suy ra cho bài toán phẳng
( )
2
x y
σ +σ 0∇ =
; Phương trình Morie-Levi
+ Bởi vậy , mục đích đầu tiên là phải tích phân 3 phương trình:
( )
xy
x
xy y
2
x y
σ
X 0
σ
(5.18) Y 0
σ +σ 0
x y
x y
τ
τ
∂



= +

+ Việc tích phân sẽ đơn giản hơn nhiều nếu trước hết tìm một hàm
( , )x y
ϕ
- hàm ứng suất Eri. Hàm
( , )x y
ϕ
chọn sao cho phương trình vi phân cân bằng ( hai phương
trình đầu trong hệ (5.18) là đồng nhất thức). Để thỏa mãn điều kiện này, hàm
( , )x y
ϕ
phải thỏa mãn tương quan sau:
2
2
2
2
2
(5.19)
x
y
xy y x
y
x
X Y
x y
ϕ
σ
ϕ

ϕ
 
∂ ∂
∇ + = ⇔ ∇ ∇ =
 ÷
∂ ∂
 
4
0;(5.21)
ϕ
∇ =
+ Viết dưới dạng triển khai ta có:
4 4 4
4 2 2 4
2 0;(5.22)
x x y y
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
+ Hàm
( , )x y
ϕ
- hàm lưỡng điều hòa và từ (5.22) ta tìm được
( , )x y
ϕ
. Hàm
( , )x y
ϕ
phải thỏa mãn điều kiện bề mặt:


∂ ∂ ∂
 

+ Như vậy giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm được
( , )x y
ϕ
thỏa mãn (5.21) và điều kiện bề mặt (5.23). Thay kết quả vào (5.19) ta tìm được các thành phần ứng suất.
3. Tìm hàm ứng suất
( , )x y
ϕ
- hàm Eri:
+ Việc tìm hàm
( , )x y
ϕ
có thể theo nhiều phương pháp: Phương pháp giải tích, phương pháp số. Trong phương pháp giải tích có phương pháp thuận và phương pháp
ngược; với phương pháp ngược có thể giải theo đa thức, giải theo lượng giác.
* . Giải bài toán theo đa thức:
+ Phương pháp ngược: cho trước các nghiệm (5.12) là các đa thức bậc khác nhau. Lần lượt thu được các dạng đa thức:
1) Đa thức bậc 1:
1 1 1
( , ) ;(5.24)x y a x b y
ϕ
= +
+ Hàm (2.24) luôn luôn thỏa mãn (5.21), nhưng theo (5.19) các thành phần ứng suất luôn bằng không khi lực khối khác không. Không thỏa mãn điều kiện bài toán.
2) Đa thức bậc 2:
2 2
2 2
2 2
( , ) ;(5.25)

xy y x y
c
y
a
x
X Y b X Y
x y
ϕ
σ
ϕ
σ
ϕ
τ

∂
= =

∂


∂

= =

∂


∂
= − − − = − − −


4 4 4 4 4
4
( , ) ;(5.27)
4.3 3.2 2.2 2.3 3.4
a b c d e
x y x x y x y xy y
ϕ
= + + + +
+ Tính các đạo hàm:
4 4 4
4 4 2
4 4 4
4 2 2 4
2a ; 2 ; 2c e
x x y y
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂
+ Thay vào phương trình lưỡng điều hòa (5.21) ta có:
4 4 4 4 4 4
2 2 2 0a c e e a c+ + = ⇒ = − −
+ Các hằng số không hoàn toàn độc lập. Thay
4
e
vào công thức (5.27):
4 4 2 2 4
3 3
4 4
4 4 4

5 5
4
4
4
5 5
2 2
4
2
5 5
4
6a 2
2 2
6 6
x b y
x
c x d y
x y
e x f y
y
ϕ
ϕ
ϕ
∂
= +
∂
∂
= +
∂ ∂
∂
= +

a b c d
x y x xy x y y x y xy x y y
ϕ
   
= − + − + − + −
 ÷  ÷
   
+ Các hằng số
5 5 5 5
, , ,a b c d
được xác định từ các điều kiện biên.
* Hàm
( , )x y
ϕ
có thể là tổng của nhiều đa thức. Dùng các đa thức đại số có thể giải hàng loạt bài toán uốn dầm.
Câu 1: Hiện tượng từ biến là gì? Đường cong từ biến?Giới hạn từ biến? Giới hạn đồ bền lâu?
Trả lời
a) Hiện tượng từ biến
+ Từ biến là quá trình thay đổi ứng suất và biến dạng theo thời gian phát sinh trong chi tiết dưới tác động của tải trọng ngoài.
+ Quá trình từ biến phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ, tải trọng ngoài…
+ Hiện tượng từ biến được phân làm hai trường hợp:
 Sự thay đổi biến dạng theo thời gian khi ứng suất
ij
σ
là hằng số (=const) gọi là hiện tượng sau tác dụng.
 Sự thay đổi ứng suất theo thời gian khi tổng biến dạng không đổi gọi là hiện tượng rão.
+ Hiện tượng từ biến có thể xảy ra khi trong chi tiết phát sinh biến dạng dẻo và cả khi biến dạng ban đầu là đàn hồi.
b) Đường cong từ biến
+ Để nghiên cứu hiện tượng từ biến người ta tiến hành thí nghiệm kéo một mẫu théo ở nhiệt độ và tải trọng không đổi. Quan sát
biến dạng thay đổi theo thời gian, thiết lập sự phụ thuộc giữa biến dạng tỷ đối

s
p
k h
b
σ
ε
=
&
. Trong đó a, n, k, b là các hằng số phụ thuộc vào nhiệt độ và vật liệu.
0
.
p
y p
y
t
t tg
ε ε ε
ε ε ε
ε ε α

= +

= +


= +

&
 Để mô tả hiện tượng từ biến trong đó kể đến giai đoạn không ổn định thì có hàng loạt phụ thuộc giải tích. Một trong chúng có dạng như sau ( hình 1.3):
1

t
ε ε ε ε
= + ≤
&
. Nếu bỏ qua biến dạng ban đầu
0
ε
thì:
[ ]
k p
t
ε ε ε
= ≤
&
.Nếu dùng quan hệ
n
p
a
ε σ
=
&
thì ta có:
[ ]
[ ]
1
n
n
k
k
t a

&
& &
+ Do đó tính toán theo biến dạng cho phép hoặc tốc độ biến dạng cho phép có thể được thay thế bằng tính toán theo ứng suất cho phép.
d) Giới hạn đồ bền lâu :
+ Khi tính toán chi tiết kết cấu hoặc CTM theo giới hạn từ biến cho phép cần nhớ rằng độ bền của vật liệu làm việc lâu dài dưới tác dụng của tải trọng và nhiệt độ phụ thuộc
nhiều vào khoảng thời gian làm việc- được đánh giá bằng giới hạn độ bền lâu.
+ Giá trị ứng suất lớn nhất mà dưới tác động của nó, ở nhiệt độ cho trước mẫu thí nghiệm không bị phá hoại trong khoảng thời gian cho trước gọi là giới hạn độ bền lâu.
+ Giới hạn độ bền lâu phụ thuộc nhiều vào nhiệt độ và khoảng thời gian làm việc ( Hình 1.5- tr130)
+ Với kim loại thì nhiệt độ càng cao và thời gian làm việc càng lớn thì giá trị giới hạn độ bền lâu càng giảm. Bởi vậy, khi tính toán theo giới hạn từ biến cần phải khẳng định nó
không vượt quá ứng suất cho phép theo giới hạn bền lâu và thấp hơn giá trị giới hạn độ bền lâu.
Câu 2: Thuyết từ biến là gì? Trình bày tóm tắt các thuyết từ biến mà anh chị biết?