ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
Trần Thị Như Hoa
ỨNG DỤNG TỐI ƯU HÓA T OÁN HỌC
GIẢI BÀI TOÁN MARKOWITZ
TỐI ƯU HÓA DANH MỤC ĐẦU TƯ CHỨNG KHOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán - Tin ứng dụng
Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển
Hà Nội - 2010
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn H ữu Điển người đã tận tình hướng dẫn để em
có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đ ại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá tr ình học tập
và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Trần Thị Như Hoa
Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.Bài toán quy hoạch tuyến tính gốc và đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2. Bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.3. Tìm nghiệm cơ sở của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Phụ lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
Lời mở đầu
Ngày nay, tối ưu hóa đã trở thành một lĩnh vực rất phát triển, góp phần quan
trọng trong việc ứng dụng khoa học công nghệ vào cuộc sống và sản xuất. Quy
hoạch toàn phương (QHTP) là một lĩnh vực của tối ưu hóa đã được phát triển
từ đầu của thế kỷ 20, đến nay toàn bộ lý thuyết toán học cho lĩnh vự c này có
thể nói là đã rất hoàn thiện. Chúng ta có hai lý do chính để yêu thích QHTP.
Đầu tiên là về mặt thực tiễn, một mô hình rất quan trọng trong vấn đề tối ưu
hóa đầu tư tài chính yêu cầu giải bài toán quy hoạch toàn phương. Lý do thứ
hai cho sự yêu thích của chúng ta đó là dạng bài toán và cách giải QHTP là
cầu nối tới một lĩnh vực mang tính rộng lớn hơn rất nhiều đó là quy hoạch lồi.
Chúng ta sẽ đi vào vấn đề ứng dụng thực tiễn của QHTP, một vấn đề mà rất
nhiều người quan tâm, không chỉ các nhà toán học mà các nhà kinh tế cũng
đang nghiên cứu tỉ mỉ mô hình này.
Khóa luận tậ p trung làm rõ một số vấn đề sau: Trình bày bài toán quy hoạch
toàn phương tổng quát, các phương pháp chủ yếu để giải bài toán. Sau đó đi
vào bài toán Markowitz: tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khoán. Bài toán
Markowitz được trình bày dưới 2 dạng, dạng gốc và dạng tổng quát. Và cuối
cùng là các ví dụ cũng như kết quả tính toán bằng số để minh họa cho bài toán.
Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương và 1 phụ lục:
• Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về bài toán quy hoạch tuyến
tính gốc và đối ngẫu, thuật toán đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến
tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan đến khóa luận.
• Chương 2 của khóa luận đi vào tr ình bày tổng quan về bài toán quy hoạch
toàn phương, một số phương pháp chủ yếu để giải bài toán như phương

thỏa mãn: D :=











∑
n
j=1
a
ij
x
j
= b
i
, i = 1, ,m
1
,
∑
n
j=1
a
ij
x

j
gọi là thành phần của véc tơ hệ số hàm mục
tiêu (hàm giá), a
ij
gọi là hệ số ràng buộc, b
i
gọi là hệ số vế phải, l
j
< u
j
lần lượt gọi là các cận dưới và cận trên (giới hạn dưới và trên) của biến x
j
(i = 1, ,m, j = 1, , n) .
Để nghiên cứu tính chất và cá c phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến
tính (1.1) người ta thường chuyển bài toán này về một trong hai dạng chính tắc
và chuẩn tắc. Trong khóa luận này chỉ để cập đến bài toán quy hoạch tuyến
tính dạng chính tắc như sau:
min f(x) = c
T
x
thỏa mãn: D
p
=

Ax = b
x ≥ 0.
(1.2)
Trong đó x = (x
1
, ,x

x
∗
∈ D
p
gọi là nghiệm (hay phương án tối ưu) của bài toán (1.2) nếu f (x
∗
) ≤
f(x) với mọi x ∈ D
p
. Vì D
p
là tập lồi đa diện, nên x ∈ D
p
là đỉnh của D
p
thì x
gọi là phương án cực biên (phương án cơ sở). Nếu x
∗
là điểm cực biên (đỉnh)
của D
p
và tối ưu thì x
∗
gọi là phương án cực biên tối ưu.
Cho một phương án cơ sở (hay một đỉnh) x, ký hiệu J
+
(x) = { j ∈ {1, ,n} :
x
j
> 0} gọi là tập chỉ số c ơ sở của x. Nếu |J

trong đó y và s ≥ 0 là các nhân tử Lagrange. Khi đó bài toán đối ngẫu (dạng
Lagrange) của bài toán gốc (P) sẽ có dạng (sẽ ký hiệu là (D)):
maxg(y, s) = b
T
y
thỏa mãn: D
d
=

A
T
y+s = c
s ≥ 0.
(1.5)
Biến s gọi là biến bù, g gọi là hàm mục tiêu đối ngẫu và D
d
gọi là miền ràng
buộc đối ngẫu. Hiển nhiên D
d
cũng là tập lồi đa diện và bài toán (1.5) cũng là
bài toán QHTT.
Với mọi bộ ba (x,y, s) sao cho x ∈ D
p
và (y,s) ∈ D
d
ta đặt
τ
(x,y,s) = f(x) −g(y,s) = s
T
x, (1.6)

này sẽ được sử dụng để tính toán nhiều trong khóa luận.
Trước hết ta chỉ ra một tính chất quan trọng của bài toán quy hoạch tuyến
tính là nghiệm sẽ nằm ở điểm cực biên.
Bổ đề 1.2.1. Giả sử bài toán QHTT gốc (1.2) có nghiệm tối ư u thì nó sẽ có
nghiệm tối ưu x
∗
nằm ở đỉnh.
Do tính chất đặc biệt của bài toán QHTT nên thuật toán đơn hình đã tận
dụng rất hiệu quả các tính chất này để tạo ra một thuật toán rất hiệu quả. Đặc
biệt là các tính chất:
• Miền ràng buộc của bài toán QHTT là một tập lồi đa diện với số điểm cực
biên là hữu hạn.
• Nếu bài toán QHTT có nghiệm tối ưu thì sẽ có nghiệm tối ưu nằm ở đỉnh.
Ý tưởng của thuật toán
Bước 1: Xuất phát từ một đỉnh x
0
của miền ràng buộc.
Bước 2: Nếu x
0
là nghiệm tối ưu, dừng thuật toán. Nếu không chuyển
sang bước 3.
Bước 3: Từ x
0
tìm cách di chuyển đến đỉnh kề tiếp theo của miền ràng
buộc tốt hơn đỉnh x
0
(theo nghĩa giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn).
Bước 4: Lặp lại Bước 2, 3 với x
0
thay bằng x

).
• Đầu ra: Phương án cơ sở tối ưu x
∗
và giá trị mục tiêu tối ưu f(x
∗
) hoặc
chỉ ra bài toán không c ó nghiệm tối ưu (tức là hàm mục tiêu không bị
chặn dưới).
• Thuật toán:
Bước khởi tạo:
1. Tìm một phương án cơ sở xuất phát x
0
ứng với cơ sở xuất phát
J
0
:= B(x
0
).
2. Tính các hệ số khai triển Z = (z
jk
) và các ước lượng ∆
k
theo các
công thức tương ứng sau







0
Bước 1: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu.
1. Nếu ∆
k
≤ 0 với mọi k /∈ J
0
thì x
0
là phương á n tối ưu. Kết thúc
thuật toán.
2. Nếu ∃∆
k
> 0, chuyển sang bước 2.
Bước 2: Kiểm tra tính bị chặn của hàm mục tiêu.
Với mỗi k /∈ J
0
mà ∆
k
> 0 ta kiểm tra các hệ số khai triển Z
k
= (z
jk
).
1. Nếu có một ∆
k
> 0 mà tất cả các hệ số khai triển z
jk
≤ 0, (∀ j ∈ J
0
)

thức:
x
1
=







0 với k /∈ J
0
,k = s
x
0
r
z
rs
với k = s
x
0
j
−
x
0
r
z
rs
z

rk
z
rs
z
js
nếu j ∈ J
0
, j = r
∆
1
k
= ∆
k
−
z
rk
z
r
s
∆
s
Bước 5: Quay về bước 1 với phương án cơ sở mới x
1
và cơ sở mới
J
1
:= J(x
1
).
Để thuật tiện cho việc "thực hành" thuật toán đơn hình giải bài toán QHTT

2
··· z
j
1
3
··· z
j
1
n
J
2
c
j
2
x
j
2
z
j
2
1
z
j
2
2
··· z
j
2
3
··· z

J
m
c
j
m
x
j
m
z
j
m
1
z
j
m
2
··· z
j
m
3
··· z
j
m
n
f(x) ∆
1
∆
2
··· ∆
k

0
)
−1
A
k
, ở đây B
J
0
là ma trận cơ sở (B
J
0
= A
j
| j ∈ J
0
.
Đặc biệt khi ta chọn được một ma trận B
J
0
có dạng ma trận đơn vị thì hệ
số khai triển trên các cột j với j ∈ J
0
sẽ chính là cột véctơ đơn vị z
jk
= e
j
,
còn các hệ số khai triển trên các cột k /∈ J
0
chính là z

nghiệm x
∗
của bài toán gốc (P), ta có xây dựng lại được nghiệm đối ngẫu hay
không?. Phương pháp đơn hình gốc - đối ngẫu sẽ cho phép thu đư ợc bộ ba
nghiệm (x
∗
,y
∗
,s
∗
) cho cặp bài toán gốc, đối ngẫu. Trên thực tế, ta có thể xuất
phát từ nghiệm của bài toán gốc (P) là x
∗
với cơ sở A
J
∗
, ta có thể thu được
nghiệm của bài toán đối ngẫu (D) như sau:
• Giả sử x
∗
là nghiệm của bài toán gốc (P) ứng với cơ sở tối ưu A
J
∗
. Khi đó
ta có:
x
∗
J
∗
= A

y
∗
= (A
−1
J
∗
)
T
c
J
∗
, s
∗
= c− A
T
y
∗
,
trong đó c
J
∗
= (c
j
)
j∈J
∗
.
• Khi đó khoảng trống đối ngẫu sẽ là:
τ
∗

1,m . Nếu trái lại ta nhân hai vế của ràng buộc thứ i với
−1. Ta lập bài toán phụ sau
min f
a
(u) :=
m
∑
j=1
u
n+ j
(1.7)
thoả mãn D
a
:=







∑
n
j=1
a
ij
x
j
+ u
n+i

(u) := e
T
u (1.8)
thoả mãn D
a
:=

Ax+Eu = b
x ≥ 0,u ≥ 0
Khi đó, quan hệ giữa hai bài toán (1.7) và (1.8) được chỉ ra như sau:
• Bài toán (1.8) có một phương án cơ sở xuất phát là (x,u)
T
:= (0,b)
T
.
• Bài toán (1.2) có phương án chấp nhận được khi và chỉ khi bài toán phụ
(1.8) có phương án tối ưu (
x,u)
T
với tất cả các biến giả u
n+i
= 0, (i = 1,m.
Do đó phương pháp đơn hình hai pha được thực hiện như sau:
Pha 1: Lập bài toán phụ cho bài toán (P), giải bài toán phụ bằng phương
pháp đơn hình. Nếu bà i toán phụ vô nghiệm hoặc có nghiệm không là
nghiệm chấp nhận c ủa bài toán (P), dừng thuật toán. Ngược lại, chuyển
sang pha 2.
Pha 2: Sử dụng thuật toán đơn hình giải bài toán (P) với phương án xuất
phát thu được từ pha 1.
12

Trong đó x
n×1
là biến tối ưu, A
m×n
là ma trận ràng buộc b
m×1
là véctơ của
các ràng buộc vế phải, c
n×1
là véctơ của hàm mục tiêu, Q
n×n
là ma trận trong
hàm mục tiêu. Dễ thấy rằng bài toán quy hoạch toàn phương là lồi khi Q
n×n
là
ma trận vuông xác định dương.
13
2.2.1. Điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (KT)
Điều kiện KT [4] này là điều kiện cần và đủ để bài toán có nghiệm. Các điều
kiện tối ưu này gắn với việc chuyển bài toán QHTP về dạng bài toán không
ràng buộc bằng cách xét hà m Lagrange. Hàm Lagrange[4] gắn với bài toán
(1.1) có dạng như sau:
L(x,u,v,s) = c
T
x+
1
2
x
T
Qx+u

= 0
∂
L
∂
s
= 0 → u
i
s
i
= 0 i = 1 n
u
i
≥ 0 i = 1 n
(2.2)
Điều kiện tối ưu của bài toán QHTP đạt được khi giải quyết hệ phương trình
sau:
(a) Ax−b = 0 (Điều kiện cơ sở)
(b) − Qx+ A
T
v+u = c (Điều kiện đối ngẫu)
(c) u
i
x
i
= 0 i = 1 n (Điều kiện phụ bổ sung)
(d) x
i
≥ 0, u
i
≥ 0 i = 1 n

A 0 0
−Q I A
T
U X 0




d
x
d
u
d
v


= −


Ax
k
− b
−Qx+A
T
v
k
+ u
k
− c
XUe−

:
d
x
= [XQ+U]
−1
(XA
T
d
v
− Xr
d
+ r
c
)
d
u
= X
−1
(r
c
−Ud
x
)
2.3.2. Tính toán chiều dài mỗi bước lặp
Kí hiệu
α
là chiều dài mỗi bước lặp, ta có công thức tính phần tử thứ (k+1)
qua phần tử thứ k như sau:
x
k+1

β
min[1,−
x
i
dx
i
,dx
i
< 0]
α
d
=
β
min[1,−
u
i
du
i
,du
i
< 0]
0 ≤
β
≤ 1,
β
thường lấy bằng 0,999
(2.5)
15
2.3.3. Tiêu chuẩn hội tụ
Với

2
µ
≤
ε
3
Với
µ
k
=
(x
k
)
T
u
n
, n là số biến tối ưu
(2.6)
Với ý tưởng như trên, thuật toán điểm trong[4] được mô tả như sau:
2.3.4. Thuật toán điểm trong.
Bước khởi tạo: Đầu tiên khởi tạo k = 0, giá trị tùy ý (≥ 0) của x,u,v ví
dụ x
k
= u
k
= e = (1 1) và v
k
= 0
Điểm kế tiếp x
k+1
được tính như sau:

||Qx
k
+ c||+ 1
≤
ε
2
µ
≤
ε
3
(2.7)
Bước 2: Tính r
p
, r
d
, r
c
r
p
= −Ax
k
+ b
r
d
= Qx
k
− A
T
v
k

.
16
2.4. Phương pháp gradient
2.4.1. Ý tưởng
Ta biết rằng véc tơ gradient của f tại x
0
có dạng:
∇f(x
0
) = (
δ
f(x
0
)
δ
x
1
,
δ
f(x
0
)
δ
x
2
, ,
δ
f(x
0
)

∗
) hoặc
chỉ ra bài toán không c ó nghiệm tối ưu (tức là hàm mục tiêu không bị
chặn dưới).
• Thuật toán:
Bước 1: Tìm phương án x
0
thuộc miền ràng buộc M, cho k = 0.
Bước 2: Đã có x
k
(k ≥ 0) ta xác định độ dài bước: Việc dịch chuyển từ
t
k
theo hư ớng −∇f(x
k
) tới điểm x
k
+ [−∇f(x
k
)]
λ
kéo theo biến đổi hàm
fmột số gia:
∆f = − f[x
k
− ∇f(x
k
)
λ
] + f(x

λ
2
< 0 thì ta có điểm cực đại
λ
∗
của ∆f.
Do đó:
x
k+1
= x
k
+ [−∇f(x
k
)]
λ
∗
17
Bước 3: Thử xem x
k+1
có thuộc M? Nếu điểm x
k+1
vượt ra khỏi miền
ràng buộc thì ta phải r út ngắn bước
λ
sao cho được một điểm trên biên
theo hướng đã chọn.
Bước 4: Kiểm tra x
k+1
là điểm tối ưu hay không?
1. Nếu ∇f(x

Ax ≤ b (a)
x ≥ 0 (b)
(2.9)
Hàm Lagrange gắn với bài toán:
L(x,
µ
) = cx+
1
2
x
T
Qx+u
T
(−x+s
2
) +
µ
(Ax−b)
18
Trong đó
µ
m×1
là nhân tử Lagrange liên kết với ràng buộc Ax ≤ b.Điều kiện
KKT cho tối ưu cục bộ của bài toán là:
δ
L
δ
x
j
≥ 0, j = 1 n c+x

(Ax−b) = 0 (d)
x
j
≥ 0, j = 1 n x ≥ 0 (e)
µ
j
≥ 0, i = 1 m
µ
≥ 0 (f)
(2.10)
Biến đổi các phương trình ( 2.10 a) - (2.10 e) về dạng bài toán giải dễ dàng
hơn bằng cách thêm biến phụ không âm y ∈ R
n
vào bất đẳng thức (2.10 a) và
v ∈ R
m
vào bất đẳng thức (2.10 b) ta được
c
T
+ Qx+ A
T
µ
T
− y = 0 và Ax− b+ v = 0
Với việc di chuyển các hằng số về bên phải, điều kiện KKT được viết lại như
sau:
Qx+A
T
µ
T

1
+ 4x
2
2
thỏa mãn: x
1
+ x
2
≤ 5, x
1
≤ 3, x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
(2.12)
19
Lời giải: Chuyển bài toán về dạng bài toán QHTP
c
T
=

−8
−16

, Q =

2 0
0 8


ν
2
)
(2.13)
Ràng buộc tuyến tính (2.11 a) và (2.11 b) được chuyển về dạng sau:
2x
1
+
µ
1
+
µ
2
−y
1
= 8 (2.14)
8x
2
+
µ
1
− y
2
= 16
x
1
+ x
2
+
ν

1
= 8
8x
2
+
µ
1
− y
2
+ a
2
= 16
x
1
+ x
2
+
ν
1
+a
3
= 5
x
1
+
ν
2
+ a
4
= 3

4
) (8,16,5,3) 32 x
2
a
2
2 (a
1
,x
2
,a
3
,a
4
) (8,2,3,3) 14 x
1
a
3
3 (a
1
,x
2
,x
3
,a
4
) (2,2,3,0) 2
µ
1
a
4

lĩnh vực kinh tế. Một ứng dụng điển hình đó là bài toán Markowitz. Harrry
Markowitz là nhà toán học và nhà kinh tế học, ông đã nghiên cứu quá trình
đầu tư trong kinh tế và đề xuất lên bài toán Markowitz về tối ưu hóa danh mục
đầu tư. Với công trình này ông đã đạt giải Nobel về kinh tế. Bài toán này được
mô hình hóa dưới dạng quy hoạch toàn phương, thông qua việc giải bài toán
các nhà đầu tư sẽ có thêm phương hướng để lựa chọn danh mục đầu tư của
mình.
Để hiểu được bài toán này, trước hết chúng ta cầ n có một chút kiến thức về
lĩnh vực kinh tế [2]. Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu một vài khái niệm và các
đại lượng ngẫu nhiên có tính quy luật trong kinh tế:
+ Lợi suất đầu tư vào một tài sản
Lợi suất đầu tư trên một tài sản tài chính là thu nhập mà tài sản này mang
lại và sự tăng vốn (tăng giá trị tài sản) c ủa chính tài sản đó. Như vậy lợi suất
tăng vốn bao gồm cả hiệu suất sinh lợi do thu nhập từ tài sản mang lạ i và giá
trị vốn tăng thêm so với giá mua ban đầu của tài sản. Công thức đánh giá lợi
suất của một tài sản là:
R
t
=
D
t
+ P
t
− P
t−1
P
t−1
Trong đó:
• R
t

N
∑
t=1
R
t
+ Lợi suất của một danh mục đầu tư
Công thức trên để đánh giá hiệu quả của một tài sản. Nếu nhà đầu tư không
chỉ đầu tư vào một tài sản mà đầu tư vào nhiều loại tài sản thì phải có những
phương pháp đánh giá hiệu quả đầu tư cho một danh mục tài sản. Một danh
mục đầu tư chứng khoán bao gồm nhiều loại chứng khoán khác nhau. Mỗi
loại chứng khoán lại có lợi suất đầu tư riê ng. Vì thế lợi suất ước tính của một
danh mục đầu tư chứng khoán là bình quân của lợi suất thu được từ mỗi chứng
khoán trong danh mục đầu tư đó. Công thức tính:
E(r
p
) = w
1
E(r
1
) +w
2
E(r
2
) +··· + w
n
E(r
n
) =
n
∑

tư các chứng khoán có tính rủi ro lại là yếu tố quan trọng góp phần giảm thiểu
rủi ro cho toàn danh mục đầu tư. Bởi vì một khi danh mục đầu tư có nhiều loại
chứng khoán khác nhau thì giữa chúng sẽ có tác động tương tác, bù trừ rủi ro
lẫn nhau và tạo ra một kết quả đầu tư chung cho toàn danh mục. Để xác định
hệ số rủi ro giữa hai chứng khoán và giữa chứng khoán với từng danh mục
người ta cần xem xét hệ số covariance (tích sai - đồng phương sai) và hệ số
tương quan (correlation coefficient) của da nh mục đầu tư. Công thức tính hệ
số covariance giữa hai chứng khoán như sau:
Cov(r
a
,r
b
) =
σ
A,B
=
∑
P
i
[r
a
− E(r
a
)][r
b
− E(r
b
)]
Công thức covariance chỉ cho thấy mối tương tác giữa hai chứng khoán
cùng chiều hay ngược chiều mà chưa chỉ ra mức độ biến động của chúng. Để

23
danh mục mà đạt được một mức thu nhập nhất định. Giải bà i toán với các mức
thu nhập mục tiêu nguời ta xác định được một tập hợp các danh mục đầu tư
hiệu quả. Từ đây nhà đầu tư có thêm một phương hướng đầu tư dự a trên quan
điểm của mình về việc đánh đổi thu nhập và rủi ro.
Trong phần này bài toán chỉ tập trung vào mô tả kỹ bà i toán trong sự tác
động của các biến ngẫu nhiên, các tính chất cơ bản nhất.
Phát biểu bài toán:
Min : rủi ro của toàn danh mục đầu tư
Thỏa mãn:
• giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về hay lợi nhuận ước tính của toàn danh mục
đầu tư phải lớn hơn mức tối thiểu (mức mục tiêu đề ra) cho phép.
• các tỷ trọng đầu tư ứng với từng chứng khoán: các tỷ trọng này phải không
âm và có tổng bằng 1.
Các ký hiệu sử dụng:
Chỉ số j : chỉ mục đầu tư thứ j (hay chứng khoán j)
Các tham số:
• R
j
lợi nhuận trả về của chứng khoán j (biến ngẫu nhiên)
• m
j
giá trị lợi nhuậ n kỳ vọng của biến ngẫu nhiên R
j
• M giá trị lợi nhuận tối thiểu (giá trị mục tiêu đề ra) c ủa toàn danh mục
đầu tư trả về.
Biến: x
j
tỷ trọng đầu tư vào chứng khoán j.
Mô hình toán học:

∑
j
R
j
x
j
] =
∑
jk
x
j
Cov[R
j
R
k
]x
k
24