BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
PHẠM THỊ THU
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Hình học
Sơn La, năm 2010
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
PHẠM THỊ THU
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn: Th.S. Hoàng Ngọc Anh
Sơn La, năm 2010
2
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận này, em đã nhận đựơc sự hướng dẫn,
chỉ bảo tận tình của thầy giáo – Th.s Hoàng Ngọc Anh, sự giúp đỡ, tạo điều
kiện của các thầy cô giáo trong Khoa Toán – Lý – Tin, cũng như sự ủng hộ,
động viên, góp ý của các bạn trong lớp K47 ĐHSP Toán. Đồng thời, việc hoàn
thành khóa luận đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Phòng Đào tạo,
phòng QLKH và QHQT, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc Trường
Đại học Tây Bắc.
Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy,
cô, các bạn sinh viên đã giúp đỡ giúp em hoàn thành khóa luận trong thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn!


- Các phép đồng dạng phẳng, trong đó ta xét một phép đồng dạng đặc biệt
đó là phép vị tự.
- Phép vị tự và phép vị tự quay bao gồm: định nghĩa, các tính chất (có
chứng minh).
- Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải các bài toán hình học
5
phẳng như: các đa giác vị tự với nhau, các đường tròn vị tự với nhau, dựng hình
và các tập hợp điểm, tích các phép vị tự, phép vị tự quay.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
III. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
Có thể dựa vào các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học khác
nhau như hình học xạ ảnh, hình học afin, hình học đồng dạng, hình học Euclid
để tìm ra một số phương pháp và công cụ khác nhau để giải một bài toán trong
hình học phẳng.
IV. ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN
Khoá luận có thể làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành toán, tài liệu
tham khảo cho giáo viên toán và học sinh THPT.
6
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Khái niệm hình
Các môn toán thường được xây dựng trên lý thuyết tập hợp vì vậy hình
cũng được hiểu với nghĩa một tập hợp điểm. Như vậy toàn thể không gian cũng
là một hình và tập hợp gồm một điểm hoặc không có điểm nào ( tập rỗng) cũng
là một hình.
Việc hiểu theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác

f : P P→
từ một tập điểm của mặt phẳng
P
lên chính nó
được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng.
Như vậy cho một phép biến hình
f : P P→
là cho một quy tắc để với bất
kì điểm
M P
∈
ta tìm được điểm
( )
M f M
′
=
hoàn toàn xác định thoả mãn hai
điều kiện sau:
- Nếu
M
,
N
là hai điểm bất kì của
P
thì
( )
f M
,
( )
f N

qua phép biến hình
f
.
Nếu
H
là một hình nào đó
H P
∈
thì ta có thể xác định
( ) ( )
{ }
f H f M / M H= ∈
khi đó
( )
f H
gọi là ảnh của hình
H
qua phép biến
hình
f
và
H
được gọi là tạo ảnh của hình
( )
f H
qua phép biến hình
f
.
Kí hiệu
G

Trong khuôn khổ của khóa luận em chỉ đưa ra một số tính chất sau:
Kí hiệu: “
o
” là tích các phép biến hình, khi đó:
- Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
- Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu gọi
f, g, h
là
các phép biến hình bất kì ta có:
( ) ( )
f g h f g h=o o o o
.
- Có phép biến hình đồng nhất kí hiệu là
e
sao cho với bất cứ phép biến
hình
f
nào của
G
ta cũng có
f e e f f= =o o
. Phép biến hình
e
đó gọi là phép
biến hình đơn vị.
- Với mọi phép biến hình
f
của
G
bao giờ ta cũng có một phép biến hình

= =
ta luôn có
M N MN
′ ′
=
.
Nhận xét:
- Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên người ta
gọi nó là phép biến hình đẳng cự hay gọi vắn tắt là phép đẳng cự.
- Phép đồng nhất
e
là một phép dời hình .
- Đảo ngược của một phép dời hình là một phép dời hình. Nghĩa là
f
là
phép dời hình thì
1
f
−
cũng là phép dời hình .
1.3.2. Tính chất của phép dời hình
Định lí 1.3.2.1. Phép dời hình biến 3 điểm
A
,
B
,
C
thẳng hàng với
B
nằm giữa

,
B
thành
B
′
,
C
thành
C
′
ta có:
AB A B
′ ′
=
,
BC B C
′ ′
=
,
CA C A
′ ′
=
.
Mà
AB BC AC+ =

⇒

A B B C A C
′ ′ ′ ′ ′ ′

g
là hai phép dời hình, ta xét tích
g fo
Giả sử:
f (A) A
′
=
,
f (B) B
′
=
,
g(B ) B
′ ′′
=
,
g(A ) A
′ ′′
=
Vì
f
và
g
đều là phép dời hình nên
AB A B
′ ′
=
và
A B A B
′ ′ ′′ ′′

Chứng minh
Giả sử
f
,
g
,
h
đều là phép dời hình. Ta cần chứng minh:
( ) ( )
g h f g h f=o o o o
. Thật vậy:
Giả sử
f
biến
M
thành
M
′
, h biến
M
′
thành
M
′′
, g biến
M
′′
thành
M
′′′

g h f g h f=o o o o

(Vì cả hai đều biến
M
thành
M
′′′
, với
M∀
bất kì trong mặt phẳng).
Định lí 1.3.2.4. Một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động không thẳng hàng
là phép biến hình đồng nhất.
Chứng minh
Giả sử
f : P P→
là một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động không
thẳng hàng
( )
A A f A
′
= =
,
( )
B B f B
′
= =
và
( )
C C f C
′

≠
thì
A, B, C
thuộc đường trung trực của
MM
′
.
Suy ra
A, B, C
thẳng hàng, vô lí.
Vậy
M M
′
≡
.
10
M
M
′
f
M
′′
M
′′′
g
h
Từ đó suy ra, mọi điểm
M
của mặt phẳng
( )

sao cho
OM OM
′
=
và
( )
OM,OM
′
= α
uuuur uuuur
.
Kí hiệu:
O
Q
α
hoặc
( )
Q O;α
, trong đó ta thường chọn
α
sao cho:
−π ≤ α ≤ π
Đặc biệt, phép quay
O
Q
α
với
0α =
là phép đồng nhất, còn nếu
α = π

′
) trùng với
O
,
khi đó
M N MN
′ ′
=
.
Giả sử
M
và
N
đều khác
O
,
khi đó theo định nghĩa ta có:

OM OM , ON ON
′ ′
= =
( ) ( )
OM,OM ON,ON
′ ′
= = α
uuuur uuuur uuur uuuur
.
11
M'
N'

uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
( )
2 2
ON OM 2ON OM cos ON ,OM
′ ′ ′ ′ ′ ′
= + − × ×
uuuur uuuur uuuur uuuur
( )
2 2
ON OM 2ON OM cos ON,OM= + − × ×
uuur uuuur uuur uuuur
( )
2
2
ON OM MN= − =
uuur uuuur uuuur
Vậy
M N MN
′ ′
=
uuuuur uuuur
hay
M N MN
′ ′
=
.
Như thế ta đã chứng minh được phép quay là phép dời hình.
Từ định nghĩa và định lí trên ta suy ra phép quay có các tính chất sau:
- Phép quay là phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình.
- Trong phép quay

O
Q
−α
biến điểm
M
′
thành điểm
M
, nghĩa là nếu
O
f Q
α
=
thì
1
O
f Q
− −α
=
.
- Qua phép quay
O
Q
α
nếu điểm
A
biến thành điểm
A
′
, điểm

gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai
điểm
A, B
bất kì của mặt phẳng thành hai điểm
( )
A f A
′
=
và
( )
B f B
′
=
sao
cho luôn luôn có
A B kAB
′ ′
=
, trong đó
k
là một số thực dương xác định. Số
k
được gọi là tỉ số đồng dạng. Phép đồng dạng tỉ số
k
được kí hiệu:
( )
kΖ
.
Đặc biệt:
- Khi

nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường
tròn, trong đó tâm biến thành tâm còn bán kính có độ dài gấp
k
lần bán kính
đường tròn ban đầu.
13
2.1.3. Phân loại các phép đồng dạng
Phép đồng dạng chia làm hai loại, loại 1 và loại 2 tùy theo nó bảo toàn
hướng hay ngược hướng của hình.
- Phép đồng dạng thuận, hay vắn tắt là phép đồng dạng, là một phép đồng
dạng bảo toàn hướng của hình.
- Phép đồng dạng nghịch, hay còn gọi là phép đồng dạng gương hay phản
đồng dạng, là một phép đồng dạng phẳng đảo ngược hướng của hình.
2.1.4. Khái niệm về hai hình đồng dạng
Định nghĩa: Hai hình
H
và
H
′
gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép
đồng dạng
Ζ
biến hình này thành hình kia, hay
( )
H H
′
Ζ =
.
Nếu phép đồng dạng
Ζ

của mặt phẳng thành điểm
M
′
sao cho
OM kOM
′
=
uuuur uuuur
được gọi là phép vị tự tâm
O
tỉ số
k
.
Kí hiệu:
k
O
V
hay
( )
V O, k
, điểm
O
gọi là tâm vị tự, số
k
gọi là tỉ số vị tự.
Phép vị tự gọi là thuận nếu
k 0>
, nghịch nếu
k 0<
.

làm
trung điểm, lúc đó phép vị tự là phép đối xứng qua tâm
O
và ta có
O
là điểm kép.
2.2.3. Các tính chất
Định lí 2.2.3.1. Nếu phép vị tự
k
O
V
biến hai điểm
A, B
lần lượt thành hai điểm
A , B
′ ′
thì
A B kAB
′ ′
=
uuuur uuur
.
14
Chứng minh
Theo định nghĩa ta có:

OA kOA
′
=
uuuur uuur

A B
′ ′
song song với nhau hoặc trùng nhau và
A B k AB
′ ′
=
.
Hệ quả 2: Phép vị tự biến tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó và
biến một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùng phương.
Định lí 2.2.3.2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh
Giả sử qua phép vị tự tâm
O
tỉ số
k
, ba điểm
A, B, C
thẳng hàng lần lượt
thành ba điểm
A , B , C
′ ′ ′
. Theo định lí 2.2.3.1, ta có:
A B kAB
′ ′
=
uuuur uuur
,
A C kAC
′ ′
=

A
B
B
′
O
M
I
O
I'
M'
Định lí 2.2.3.3. Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn.
Chứng minh
Cho phép vị tự
k
O
V
và đường tròn tâm
I
, bán kính
R
.
Gọi
I
′
là ảnh của
I
qua phép vị tự
k
O
V

′
nằm trên đường tròn
( )
I , R
′ ′
với
R k R
′
=
.
Ngược lại, nếu
M
′
nằm trên đường tròn
( )
I , R
′ ′
và gọi
M
là tạo ảnh của
điểm
M
′
thì
k IM I M k R
′ ′
= =
nên
R IM
=

là tâm của phép vị tự,
k
là tỉ số vị tự. Khi đó :
R k R
′
=
Xét các trường hợp sau :
2.2.4.1. Nếu
I
khác
I
′
và
R R
′
=
thì phép đối
xứng tâm
O
là phép vị
16
O
I
I'
M
M'
tự duy nhất
1
O
V

k
R
′
= ±

( )
i 1, 2=
đều biến đường tròn
( )
I, R
thành đường tròn
( )
I , R
′ ′
.
2.2.4.3. Trong trường hợp tổng quát với
I
khác
I
′
và
R R
′
≠
.
Gọi
O
′
là điểm sao cho
R

được gọi là
phép vị tự thuận vì
R
k 0
R
′
= >
.
Gọi
O
′′
là điểm sao cho
R
O I O I
R
′
′′ ′ ′′
= −
uuuur uuur
ta được phép vị tự
k
O
V
′
′′
biến
đường tròn
( )
I, R
thành đường tròn

17
O''
M
I
I'
O'
M'
M''
M
I
M''
M'
T
O
I
I'
I
T'
I'
* Các trường hợp đặc biệt
Nếu hai đường tròn
( )
I, R
và
( )
I , R
′ ′
tiếp xúc
ngoài tại
T
2.2.5. Tích của hai phép vị tự
Định lí 2.2.5.1. Tích của hai phép vị tự cùng nhận
O
làm tâm và có tỉ số vị tự
lần lượt là
1 2
k , k
là một phép vị tự tâm
O
có tỉ số vị tự
2 1
k k k= ×
.
Chứng minh
Gọi
M
′
là ảnh của điểm
M
qua phép vị tự
1
k
O
V
,
M
′′
là ảnh của điểm

2 1
k k 1× =
thì tích đó là một phép đồng nhất.
Định lí 2.2.5.2. Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng
hàng với hai tâm của phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay đồng
nhất.
Chứng minh
Giả sử phép vị tự
1
f
có tâm
1
O
tỉ số
1
k
, phép vị tự
2
f
có tâm
2
O
tỉ số
2
k
.
Với hai điểm
A,B
bất kì ta có:
( )

Vậy tích
2 1
f fo
là:
- Phép vị tự nếu
2 1
k k 1× ≠
.
- Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu
2 1
k k 1× =
.
Ta cần xác định tâm vị tự
O
của tích
2 1
f fo
.
19
B
′
1
O
2
O
O
A
B
B
′′

f O O
′
=
và
( )
2
f O O
′ ′′
=
, theo định nghĩa ta có:

1 1 1
O O k O O
′
=
uuuur uuuur
(1)

2 2 2
O O k O O
′′ ′
=
uuuuur uuuuur
(2).
Nhưng
2 2 1 1
O O O O O O
′ ′
= +
uuuuur uuuuur uuuur

, với
2 1
1 k k 0− ≠
nên:

2
1 1 2
2 1
1 k
O O O O
1 k k
−
=
−
uuuur uuuuur
(**).
Vì
1 2
O ,O
đã cho nên điểm
O
hoàn toàn được xác định từ hệ thức (**).
Mặt khác, hệ thức (**) cũng chứng tỏ rằng ba điểm
1 2
O , O , O
thẳng hàng
với điều kiện
2 1
1 k k 0− ≠
hay

1
O
và
2
O
phân biệt và

2 1
f fo
là một phép đồng nhất nếu
1
O
và
2
O
trùng nhau.
20
A
A
′
B
′
B
A
′′
B
′′
2
O
O

.
Chứng minh
Xét phép vị tự
k
A
V
tâm
A
tỉ số
k
biến
ABC∆
thành
1 1
AB C∆
mà
1 1 1 1
AB kAB, B C kBC, C A kCA= = =
.

1 1
AB C A B C
′ ′ ′
⇒ ∆ = ∆
.
Gọi
g
là phép dời hình biến
1 1
A, B , C

′ ′ ′
∆
thì phép
1
1 2
−
Ζ Ζo
là một phép đồng dạng tỉ số
1
biến
ABC∆
thành chính nó, tức
là
1
1 2
−
Ζ Ζo
là phép đồng nhất
e
hay
1
1 2
e
−
Ζ Ζ =o
. Vậy
1 2
Ζ = Ζ
.
Hệ quả 1: Một phép đồng dạng phẳng bao giờ cũng có thể phân tích được thành

Nói ngắn gọn, phép vị tự quay là tích của một phép vị tự và một phép
quay với cùng một tâm.
Phép đồng vị tự quay tâm
O
góc
ϕ
và tỉ số
k
được kí hiệu là
( )
O, ,kΖ
ϕ
.
Như vậy:
( )
k k
O O O O
O, ,k Q V V QΖ = × = ×
ϕ ϕ
ϕ
.
Tỉ số của phép vị tự quay có thể coi là một số dương, bởi vì:

180 k k
O O O
Q V V
°
−
× =
.

).
Giải
Giả sử
A , B , C
′ ′ ′
lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB
của
ABC∆
và
M
là trọng tâm của
ABC∆
.
Ta biết trong một
tam giác ba đường trung
tuyến đồng quy tại một
điểm, điểm này cách mỗi
đỉnh của tam giác bằng
2
3
độ dài của đường trung
tuyến xuất phát từ đỉnh đó.
23
C'
M
O
B'
A'
H

M
tỉ số
2−
.
Theo giả thiết,
A B C
′ ′ ′
∆
là ảnh của
ABC∆
trong phép vị tự tâm
M
, tỉ số
1
k
2
= −
. Nghĩa là, ta được :
1
OM MH
2
=
uuuur uuuur
hay
OM : MH 1:2=
.
Vậy ba điểm
M, O, H
thẳng hàng (đặc biệt đường thẳng đi qua 3 điểm
M, O, H

ABC∆
và gọi
O
′
là tâm đường tròn
ngoại tiếp
A B C
′ ′ ′
∆
.
24
C'''
B'''
A'''
O'
O
C''
H
M
B''
A''
C'
B'
A'
A
B
C
Khi đó,
O
′

⇒ = =
và
OH 3OM=
;
3MO OO HO
′ ′ ′
= =
.
Ta được :
O H OO
′ ′
= −
HO MO 1
2
HO MO
′ ′
⇒ = =
hay
1
HO HO
2
′
=
.
Do đó,
H
là tâm vị tự thứ hai biến đường tròn tâm
O
thành đường tròn
tâm

( )
O
′
. Từ đó suy ra
( )
O
′
cũng đi qua chân
A , B , C
′′ ′′ ′′
của các đường cao
AA , BB , CC
′′ ′′ ′′
của
ABC∆
.
Chính vì vậy đường tròn
( )
O
′
được gọi là đường tròn chín điểm hay
đường tròn Ơle của tam giác
ABC
(điều phải chứng minh).
1.2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Đường tròn
S
tiếp xúc với các cạnh bằng nhau
AB
và