Phạm Xuân Quang – 10A2 THPT Phạm Văn Đồng
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho
OA OM( , )
α
=
. Giả sử
M x y( ; )
.
( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
α
α
α π
α α π
α
α
α α π
α


kcos( 2 ) cos
α π α
+ =

kcot( ) cot
α π α
+ =
2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cosα
+ – – +
sinα
+ + – –
tanα
+ – + –
cotα
+ – + –
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
6
π
4
π
3
π
2
π

360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1

H
A
M
K
B S
α
T
Phạm Xuân Quang – 10A2 THPT Phạm Văn Đồng
2 2
sin cos 1
α α
+ =
;
tan .cot 1
α α
=
;
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
α α
α α
+ = + =
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cos
α α
− =

− = −
tan cot
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
cot( ) cot
α α
− = −
cot( ) cot
π α α
− = −
cot tan
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
Góc hơn kém
π
Góc hơn kém
2
π
sin( ) sin
π α α

 
cot( ) cot
π α α
+ =
cot tan
2
π
α α
 
+ = −
 ÷
 
II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan

2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =
−

Phạm Xuân Quang – 10A2 THPT Phạm Văn Đồng
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
α

cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
Phạm Xuân Quang – 10A2 THPT Phạm Văn Đồng
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của
góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0 0
sin50 .cos( 300 )−
b) B =
0
21
sin215 .tan
7
π
c) C =
3 2
cot .sin

cos(270 )
α
−
d) D =
0
cos(2 90 )
α
+
Bài 3. Cho
0
2
π
α
< <
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos( )
α π
+
b) B =
tan( )
α π
−
c) C =
2
sin
5
π
α
 

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy
ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
α
, tính cos
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
cos 1 sin
α α
= ± −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2

α
, tính sin
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
sin 1 cos
α α
= ± −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin 1 cos
α α
= −
.
– Nếu

α
, cot
α
•
Tính
1
cot
tan
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +

⇒

2
1
cos
1 tan
α

sin tan .cos
α α α
=
.
4. Cho biết cot
α
, tính sin
α
, cos
α
, tan
α
•
Tính
1
tan
cot
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 cot
sin
α
α

sin
1 cot
α
α
= −
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
•
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
•
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A B A B AB
2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A B
4 4 2 2 2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )+ = + − +
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )− = − + +
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình
•
Đặt
t x t

5
π
α α
= − < <
c)
a a
5
sin ,
13 2
π
π
= < <
d)
0 0
1
sin , 180 270
3
α α
= − < <
e)
a a
3
tan 3,
2
π
π
= < <
f)
tan 2,
2

a a
B khi a a
a a
2
0 0
8tan 3cot 1 1
sin , 90 180
tan cot 3
+ −
= = < <
+
ĐS:
8
3
c)
a a a a
C khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
+ −
= = −
− +
ĐS:
23
47
−

g)
a a
G khi a
a a
cot 3tan 2
cos
2cot tan 3
+
= = −
+
ĐS:
19
13
h)
a a
H khi a
a a
sin cos
tan 5
cos sin
+
= =
−
ĐS:
3
2
−
Bài 3. Cho
a a
5

tan cot= +
b)
B a atan cot= +
c)
C a a
4 4
tan cot= −
ĐS: a) 11 b)
13±
c)
33 13±
Bài 5.
a) Cho
x x
4 4
3
3sin cos
4
+ =
. Tính
A x x
4 4
sin 3cos= +
. ĐS:
7
A
4
=
b) Cho
x x

sin cos
5
+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
b) Cho
x xtan cot 4
+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
ĐS: a)
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
− − −
b)
1 2 3
; ; 2 3; 2 3
2
2 2 3
−
+ −
−
hoặc
2 3 1
2 3; 2 3; ;
2
2 2 3

B x x x x
7 3
2cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
π π
π
   
= − − + − + −
 ÷  ÷
   
c)
C x x x x
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
π π π
π
     
= + + − + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
d)
D x x x x
3 3
cos(5 ) sin tan cot(3 )
2 2
π π
π π
   
= − − + + − + −

ĐS:
C 1= −
d)
D
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 cos 180= + + + +
ĐS:
D 9=
e)
E
0 0 0 0 0
sin20 sin40 sin60 sin340 sin360= + + + + +
ĐS:
E 0=
f)
x x x x
0 0 0 0
2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + − + + −
ĐS:
F x1 cos= +
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu
thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C
π
+ + =
và

g)
x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + +
h)
x x x x x x x x
2 2
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = +
i)
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
+ −
=
− − +
k)
x
x
x
2
2
2
1 sin
1 tan
1 sin
+
= +
−
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
a b

+ +
d)
a a a
a a
a a
a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos
tan 1
+
− = +
−
−
e)
a a
a
a
a
2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin
sin
 
+ −
− =

a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
− −
=
i)
a a
a
a a
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
−
=
−
k)
a a
a a
a a
a a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot
tan cot

c)
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
+
+
d)
x a y a x a y a
2 2
( .sin .cos ) ( .cos .sin )− + +
e)
x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot
−
−
f)
x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
− +

x x x x
2 2
3
cos tan sin ; ;
2 2
π π
 
− − ∈
 ÷
 
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ − +
ĐS: 1
b)
x x x x x
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin− + − +
ĐS: 1
c)
x x x x
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)+ − + +
ĐS: –2
d)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin+ − +

sin cos 1
+ −
+ −
ĐS:
3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
B A Csin sin( )= +
b)
A B Ccos( ) cos+ = −
c)
A B C
sin cos
2 2
+
=
d)
B C A Ccos( ) cos( 2 )− = − +
e)
A B C Ccos( ) cos2+ − = −
f)
A B C
A
3
cos sin2
2
− + +
= −
g)

tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +
   
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
0 0 0
15 ; 75 ; 105
b)
5 7
; ;
12 12 12
π π π

−
c)
a b a b khi a b
1 1
cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
+ − = =
ĐS:
119
144
−
d)
a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )− + +
khi
a b
8 5
sin , tan
17 12
= =
và a, b là các góc nhọn.
ĐS:
21 140 21
; ; .
221 221 220
e)
a b a btan tan , tan , tan+
khi
a b a b0 , ,
2 4
π π

o o o o o o
tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190+ +
ĐS: –3
e) E =
o o o
o o
cot225 cot79 .cot71
cot259 cot 251
−
+
ĐS:
3
f) F =
o o2 2
cos 75 sin 75−
ĐS:
3
2
−
g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
−
+
ĐS:
3
3
h) H =

       
+ + + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
x x x x
3 2
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
π π π π
       
− + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
e)
o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ +
o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =
f)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
−
=

A B A B
A B
0
sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
= + ≠
c)
A B C A B C A B C
0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ≠
d)
A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1+ + =
e)
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
f)
A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
+ + =

Phạm Xuân Quang – 10A2 THPT Phạm Văn Đồng
g)
o
C B
B C A
B A C A

 
+ +
 ÷
 
i) Khai triển
A B C
sin
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
.
Chú ý: Từ
B C A
cos sin
2 2 2
 
+ =
 ÷
 

⇒

B C A B C
cos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
= +
⇒


tan tan tan 3
2 2 2
+ + ≥
HD: a, b, c) Sử dụng
A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + =
và BĐT Cô–si
d) Sử dụng
a b c ab bc ca
2 2 2
+ + ≥ + +

và
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
e) Khai triển
A B C
2
tan tan tan
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
và sử dụng câu c)