SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ 3


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
Phân loại một số bài tập ứng dụng tích phân
chương III – Giải tích lớp 12 nâng cao
Người thực hiện: Ngô Tiến Hoàng
Đơn vị : Trường THPT Cẩm Thuỷ 3
Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn
Tổ chuyên môn: Toán - Tin
Thanh Hoá, ngày 10 tháng 5 năm 2011.

Phần mở đầu
I. Lý do chon đề tài
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Cấu trúc của đề tài
Phần nội dung
I. Tính diện tích hình phẳng
II. Tính thể tích vật thể tròn xoay
Phần kết luận
I. Một số kết quả và hạn chế của đề tài
II. Một số ý kiến đề xuất
III. Triển vọng của đề tài
2

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.

Nhóm phương pháp lý thuyết bao gồm việc thu thập các tài liệu, sách
báo, giáo trình … có liên quan đến nội dung của đề tài. Trên cơ sở đó phân
tích, tổng hợp, khái quát hoá thành nội dung cần thiết cho đề tài.
Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, tôi đẫ thu thập tài liệu
từ nhiều nguồn khác nhau:
+ Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao - Bộ giáo dục và đào tạo
+ Phương pháp giải toán Tích phân nhóm tác giả: Trần Đức Huyên,
Trần Chí Trung.
+ Phương pháp giải toán Tích phân tác giả: Lê Hồng Đức.
+ Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích Tổ hợp tác giả:
Nguyễn Cam.
+ Phương pháp mới giải đề tuyển sinh môn Toán tác giả: Trần Phương
…
2. Nhóm phương pháp thực tiễn.
Việc tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể là một nội dung đã
được học ở lớp học dưới và rất thực tế, nhưng để học tốt nó vốn không đơn
giản đối với các học sinh tư duy về hình học yếu. Vì vậy cần thiết phải áp
dụng vào trong việc giảng dạy thực tế để đánh giá ưu điểm, nhược điểm của
đề tài từ đó rút ra kết luận và đề xuất các ý kiến nâng cao hiệu quả giáo dục.
V. Cấu trúc của đề tài.
Phần mở đầu
I. Lý do chon đề tài
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Cấu trúc của đề tài
Phần nội dung
I. Tính diện tích hình phẳng.
II. Tính thể tích vật thể
Phần kết luận

==
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
)
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn
[ ]
b ; a
để suy ra dấu
của f (x)
trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hoành thì
[ ]
b ; a x , 0)( ∈∀≤xf
Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì
[ ]
b ; a x , 0)( ∈∀≥xf
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, …, x
k
thuộc
(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x
1
) , (x
1

4y x= −
,
đường thẳng x=3, trục tung và trục hoành.
Giải: Đặt
2
( ) 4f x x= −
. Ta thấy
( ) 0f x ≤
trên
[ ]
0;2
và
( ) 0f x ≥
trên
[ ]
2;3
. Theo
công thức (1), diện tích S của hình đang xét là:
5

3
2
0
2 3
2 2
0 2
2 3
2 2
0 2
4

[ ] [ ]
4;20;2 ∪−
Khi đó diện tích S của hình đang xét là:
4 2 0 2 4
3 3 3 3 3
3 3 2 0 2
4 (4 ) ( 4 ) (4 ) ( 4 )
201
( )
4
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
dvdt
−
− − −
= − = − + − + − + −
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:
Vẽ đồ thị hàm số:
2
4y x= −
.
Dựa vào đồ thị ta có:
2 0 2 4
3 3 3 3
3 2 0 2
(4 ) ( 4 ) (4 ) ( 4 )
201
( )
4

y
x
f
x
( )
= x
⋅
ln
x
( )
GiaoDiem
3
O
1
A
e
Hình 16
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S cần tìm là
∫∫
==
ee
xdxxdxxxS
11
lnln
Đặt




2
1
.
2
1
ln
2
ln
222
1
2
1
22
1
+
=−=−=−==
∫∫∫
e
e
xe
xdx
e
x
x
xd
x
x
e
x
x
Trong công thức trên:
Trường hợp hình 1. ta có công thức khai triển của S:
( ) ( ) ( ( ) ( ))
b b
a a
S f x g x dx f x g x dx= − = −
∫ ∫
nếu
[ ]
( ) ( ), ;f x g x x a b≥ ∀ ∈
Trường hợp hình 2. ta có công thức khai triển của S:
( ) ( ) ( ( ) ( ))
b b
a a
S f x g x dx g x f x dx= − = −
∫ ∫
nếu
[ ]
( ) ( ), ;f x g x x a b≤ ∀ ∈
Trường hợp hình 3. ta có công thức khai triển của S:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
b c b
a a c
c b
a c
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx

2
2 2 2, 2x x x x x+ = + = =
.
Khi ú ta cú :
Vớ d 2: Tớnh
din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii:
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
ù
ù

2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx= - - - + - -
ũ ũ
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + - - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
73
S
3
=
(vdt).
Vớ d 3 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
3
y x , y 4x= =

ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
= - + - =
-
.
Vy din tớch cn tỡm
S 8=
(vdt).
9
7 34
( )
3 3
3 2 3
2 2 2
4 ( 4) ( 4) 9
1 1 2
dvdtS x dx x dx x dx == = + = +
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm số:
2
4 3 , 3y x x y x= − + = +
Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:

Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình:
2
4 3 3 0, 5x x x x x− + = + ⇔ = =
Khi đó :
3 5

Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương trình:
2 2
4 2 2
4
4 2
x x
x− = ⇔ = ±
Khi đó, diện tích cần tính:
102 2 2 2
2 2 2 2
( 4 ) 2 ( 4 )
4 4
4 2 4 2
0
2 2
2 2 2 2
1
2 2
2 16
2 2
0 0
4
2 (dvdt)
3
x x x x
S dx dx
x dx x dx

0 0
(1 ) (1 ) (
x x
S e x e x dx x e e dx= + − + = −
∫ ∫
Khi 0<x<1 thì ta có
0,( ) 0
x
x e e> − >
nên:
1 1 1
0 0 0
( ) 1
2
x x
e
S x e e dx e xdx xe dx= − = − = −
∫ ∫ ∫
Vậy diện tích cần tìm: S =
1
2
e
−
(đvdt)
II. Thể tích vật thể tròn xoay:
Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a < b) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay .
Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :
[ ]

∫ ∫
(đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu do hình tròn
2 2 2
(C) : x y R+ =
quay quanh
Ox.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là
2 2
x R x R= = ±Û
.
Phương trình
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x+ = = -Û
Theo công thức tính thể tích, ta có
( ) ( )
R R
2 2 2 2
R 0
R
V R x dx 2 x dx
-
= - = -p p
ò ò
R
3 3
2
0
x 4 R

2 2
1
ln
e
V x xdx
π
=
∫

Đặt
2
2
3
2ln
ln
1
3
xdx
du
u x
x
dv x dx
v x

=


=
 
⇒

27
V e
π
= −
(đvtt)
Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới
hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
xy ln=
, y = 0 , x = 1 , x = e.
Giải: Theo công thức tính thể tích, ta có:
dxxdxxV
ee
∫∫
==
1
2
1
2
ln)(ln
ππ
(đvtt)
12

Đặt





=

2
e
11
2
ln21lnln
1
.x2lnx -
1
lnvdu
1
ln

Ie 2
−=
∫
=
e
xdxI
1
ln
Đặt





=
=
⇒


==
1
2
1
2
ln)(ln
ππ
= π(e – 2) (đvtt)
Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường cong
y f(x), y g(x)= =
khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức
sau:
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x)= =
,
x a=
và
x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b )
é ù
ë û
= < "³³ Î

quay quanh trục Ox là
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= -p
ò
.
Ví dụ 1: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường

x 0
x 0
x 1
x x
³
=
ì
é
ï
ï
ê
Û
í
ê
=ï
=
ï
ë
î
.
( )
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx= - = -p p
ò ò
( )
1
5 2
0

II. Ý kiến đề xuất của đề tài.
Đề nghị Tổ bộ môn trong các buổi sinh hoạt tổ chuyên môn thảo luận
góp ý, xây dựng để đề tài có thể triển khai thực hiện tới tất cả các thành viên
của tổ.
III. Triển vọng của đề tài.
Do thời gian hạn chế nên đề tài mới chỉ dừng lại ở phạm vi phân loại
một số bài tập nhỏ, Trong thời gian tới nếu được sự giúp đỡ góp ý của đồng
nghiệp thì đề tài sẽ phát triển theo hướng sau:
+ Mở rộng phạm vi áp dụng bằng nhiều phương pháp giải khác nhau, việc áp
dụng tích phân ở những bài toán phức tạp hơn.
Tài liệu Tham khảo
• Nguyễn Cam, Phương pháp giải toán Tích Phân và Giải tích Tổ hợp,
Nhà xuất bản Trẻ, 2008.
• Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán Tích phân, Nhà xuất bản Đại học
quốc gia Hà Nội, 2005.
15

• Trần Đức Huyên, Phương pháp giải toán Tích phân, Nhà xuất bản Giáo
dục, 2008.
• Trần Phương, Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh môn Toán, Nhà
xuất bản giáo dục, 1995.
• Doãn Minh Cương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học, Nhà xuất
bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2004.
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Phần mở đầu
16
1
1
1