Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
BÀI I :
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG
CỦA CON LẮC TRỌNG LỰC
A. NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ HỌC
1. Dao động tử điều hoà :
o
Một chất điểm M, khối lượng m, chịu tác dụng của một lực bảo toàn
f
r
và buộc
phải di chuyển trên một trục
( , )
x
O e
r
. Nếu M chuyển động xung quanh vị trí cân bằng
bền
⇒
Phương trình chuyển động của M có dạng :
2
0
0x x
ω
+ =
&&
với :
0
k
m
ω

0
0
2
T
π
ω
=
.
o
Cơ năng của một dao động tử điều hoà là không đổi và tỷ lệ với bình phương của
biên độ dao động
m
x
:
2
M K
1
E =E +E
2
P m
kx=
.
2. Dao động điều hoà tắt dần bởi lực ma sát nhớt :
2.1. Dao động điều hoà tắt dần :
o
Một chất điểm chịu tác dụng của một lực ma sát nhớt tỷ lệ với vận tốc và buộc phải
di chuyển dọc theo trục
( , )
x
O e

2
h
m
α
=
o
Ba chế độ chuyển động của dao động tử :
+ Chế độ không tuần hoàn
0
α ω
>
: Ma sát lớn.
Với điều kiện ban đầu : x(0) = x
0
; v(0) = v
0

⇒
Phương trình chuyển động :
0 0
0
(v + x )
( ) [x ch t+ sh t]
t
x t e
α
α
ω ω
ω
−

x t e x t
α
α
ω ω
ω
−
 
= +
 
 
Hệ dao động tắt dần.
Chu kỳ dao động :
0
2
0
2
1
T
T
π
ω
α
ω
= =
 
−
 ÷
 
với :
0

o
Phương trình vi phân bậc 2 của dao động :
Các lực tác dụng lên con lắc (chất điểm M) bao gồm :
- Trọng lực :
P mg=
r
r
- Sức căng dây :
T
r
Hợp lực tác dụng :
F P T= +
r r r
Theo định luật Newton II ta có :
F ma=
r
r
⇔
mg T ma+ =
ur ur r
Chiếu lên phương tiếp tuyến Mx tại M với quỹ đạo chuyển động, ta có :
sinmg ma
θ
− =
⇒
sinmg ml ml
θ ω θ
− = =
&
( l là chiều dài của con lắc)

&&
(1)
Đây là một phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất, hệ số hằng, mô tả chuyển động của
con lắc. Nghiệm của phương trình này là :
0 0
cos( )t
θ θ ω ϕ
= +
(
0
θ
là góc lệch cực đại của dây treo so với vị trí cân bằng)
Dao động tự do nhỏ của con lắc là dao động điều hoà, chu kỳ dao động:
2
0
θ
θ
0
M
M
P mg=
r
r
T
r
F
r
O
x
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC

O x
k
θ θ θ θ θ
+ +
= − + + + − +
+
Khai triển hữu hạn đến bậc 3, ta có :
3
sin
6
θ
θ θ
≈ −
Từ đó, phương trình chuyển động viết thành :
3
2
0
0
6
θ
θ ω θ
 
+ − =
 ÷
 
&&
(2)
Nếu coi số hạng
3
2

3
3
3
2 3
0
0 0
( )
. cos( ) cos(3 3 )
6 6
t
t t
ωθ
ω θ ω ϕ ε ω ϕ
= + + +
[ ]
3 3
3 3 3
0 0
0 0
. cos ( ) . cos3( ) 3cos( )
6 24
t t t
ω ω
θ ω ϕ θ ω ϕ ω ϕ
≈ + = + + +
Thay vào phương trình (2) suy được:
2
2 2 2
0
0 0 0 0

 
− − + − =

 ÷

 

Hay :
2
2 2
0
0
2
0
1
8
192
θ
ω ω
θ
ε

 
= −

 ÷

 



= = ≈ +
 ÷
 
−
bởi vì :
1/ 2
2 2
0 0
1 1
8 16
θ θ
−
 
− ≈ +
 ÷
 
3.2. Những dao động tổng quát của con lắc :
Cơ năng của hệ :
M P K
E E E= +
Động năng :
2 2 2
1 1
v
2 2
K
E m ml
θ
= =
&

K
E m m l t
ω θ ω ϕ
= = +
Thế năng :
2
(1 cos ) 2 sin
2
P
E mgh mgl mgl
θ
θ
= = − =
Vì góc
θ
nhỏ
⇒

sin
2 2
θ θ
≈
nên :
2 2 2
0 0
1 1
cos ( )
2 2
P
E mgl mgl t

•
Đối với hệ dao động điều hoà nhỏ (và bỏ qua ma sát) thì cơ năng của hệ trong suốt
quá trình dao động được bảo toàn, trong đó có sự chuyển hoá lẫn nhau giữa thế năng
và động năng.
•
Nếu góc
θ
là bé thì thế năng được tính theo công thức gần đúng:
2
1
( )
2
P
E mgl f
θ θ
= =
•
Đồ thị của hàm
( )f
θ
là đường hyperbole, tạo thành giếng thế năng
•
Hệ vận động trong giếng thế năng chính là dao tử điều hoà.
3.3. Mặt phẳng pha :
3.3.1. Sự mô tả pha :
o
Trạng thái của một hệ có một bậc tự do được biểu diễn ở mọi thời điểm bằng một
đỉểm P(t) có toạ độ (x,v) trong một mặt phẳng gọi là mặt phẳng pha.
o
Điểm P(t) được gọi là điểm pha của hệ ở thời điểm t. Khi thời gian trôi qua, điểm

o
Điểm pha của một chất điểm chịu tác dụng của một trường lực hút hướng về điểm
A’(x
0
,0) ở trong mặt phẳng pha sẽ quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh điểm
A’(x
0
,0) của mặt phẳng pha.
3.3.3. Hình ảnh pha của một dao động tử điều hoà không tắt dần :
o
Với các điểm đặc biệt x = 0, v = 0, phương trình quỹ đạo pha của dao tử điều hoà
không tắt dần :
2
2 2 2
0
1
m m
x v
x x
ω
+ =

⇒
Quỹ đạo pha là các êlíp.
o
Trong mặt phẳng pha
0
v
,x y
ω

Với l là chiều dài con lắc, θ là góc lệch so với vị trí cân bằng, m : khối lượng con lắc
đơn, E
M
là cơ năng toàn phần của con lắc đơn.
5
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
B. THÍ NGHIỆM VỀ DAO ĐỘNG CƠ HỌC CỦA CON LẮC TRỌNG LỰC
1. Mục đích thí nghiệm :
Khảo sát thực nghiệm hoạt động của con lắc vật lý ở chế độ dao động tự do bằng cách
thay đổi các thông số chọn trước. Việc thu thập và xử lý các dữ liệu được thực hiện
thông qua một carte giao diện biến đổi A/D và phần mềm SYNCRONIE.
2. Mô tả thiết bị thí nghiệm :
o
Thiết bị PENDULOR bao gồm một con lắc vật lý gắn với một điện áp kế một vòng
với nguồn nuôi (-5/+5V) được sử dụng để đo góc lệch
( )t
θ
của con lắc. Thiết bị nói
trên cho phép thu nhận bằng máy vi tính các số liệu thí nghiệm thông qua carte tiếp
nhận số liệu FASTLAB và xử lý số liệu thông qua phần mềm SYNCRONIE. Do vậy
trong thí nghiệm này, chúng ta có thể tái hiện góc
( )t
θ
trên máy vi tính, in các số liệu
đó, phân tích phổ và hiển thị các pha dao động.
o
Momen quán tính của con lắc có thể điều chỉnh được nhờ một ống hình trụ di động
dọc theo trục của thanh gắn quả nặng.
o
Có thể tăng lực ma sát nhớt bằng cách gắn vào con lắc một tờ giấy hay một bản

o
Tiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch
( )t
θ
của con lắc so với vị trí cân bằng.
o
Hiển thị đồ thị
( )t
θ
, thực hiện đo chu kỳ dao động và phân tích phổ.
o
Lập trình tính vận tốc góc
d
dt
θ
trong trang tính toán của phần mềm SYNCRONIE,
vẽ đồ thị pha
2.3. Khảo sát chế độ tuyến tính của dao động quay vòng :
o
Cho con lắc quay vòng (không có ma sát : ma sát nhớt (chất lưu) cũng như ma sát
trên cổ trục).
o
Tiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch
( )t
θ
của con lắc so với vị trí cân bằng.
o
Hiển thị đồ thị
( )t
θ

θ θ ω ϕ
= +
+ Theo lý thuyết, vận tốc góc của con lắc :
0 0 0
( ) ( ) sin( )t t t
ω θ θ ω ω ϕ
= = − +
&
. Fênetre n
0
3
cho thấy vận tốc của con lắc cũng là một hàm điều hoà.
+ Fênetre n
0
4 cho thấy quỹ đạo pha là các hình êlíp và phù hợp với lý thuyết :
2 2
2 2 2
0 0 0
1
θ θ
θ ω θ
+ =
&
+ Tuy nhiên, đồ thị cũng cho thấy một sự suy giảm khá bé của biên độ của θ và quỹ
đạo pha cũng gần đúng là một đường êlíp. Bởi vì điều kiện thí nghiệm không phải
lý tưởng, vẫn còn tồn tại các ma sát dù rất bé : Lực cản nhớt từ môi trường không
khí, ma sát khô trên các cổ trục Chính vì vậy biên độ dao động của con lắc giảm
mặc dù rất chậm.
+ Chúng ta thấy góc lệch giảm chậm hơn vận tốc góc. Điều này cũng phù hợp với lý
thuyết.

=
. Thế mà l < 1m
⇒

0
1
ω
>

⇒

ω θ
∆ = ∆

⇒
Biên
độ vận tốc góc giảm nhanh hơn biên độ của góc lệch.
+ Hàm
( )t
θ
là một hàm tuần hoàn
⇒
có thể phân tích
( )t
θ
thành chuỗi Fourier :
0 0
( ) ( cos sin ) exp( )
n n n
n n

dt
θ
: Hình 2, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 2, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 2, Fenetre d’analyse 1
8
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Giải thích và bình luận :
+ Ma sát chất lưu không phải là ma sát lớn lắm nên dao động tắt dần theo chế độ giả tuần
hoàn. Phương trình dao động :
( ) cos( )
t
t Ce t
α
θ ω ϕ
−
= +
với
0
2 2 2
ω ω α
= −
(α : hệ số tắt dần).
Vì vậy góc lệch giảm dần theo thời gian t.Biên độ giảm dần theo hai đường bao dạng
hàm mũ.
+ Các đồ thị cho thấy biên độ giảm chậm hơn vận tốc góc. Điều này phù hợp với lý
thuyết.
+ Quỹ đạo pha có dạng hình êlíp phù hợp với lý thuyết.
Chu kỳ và tần số dao động :
1.3. Chế độ ma sát cổ trục:

+ Góc lệch và vận tốc giảm nhanh theo thời gian do ma sát là lớn hơn trong trường
hợp ma sát chất lưu.
+ Biên độ giảm chậm hơn vận tốc góc. Điều này phù hợp với lý thuyết.
+ Biểu đồ pha kết thức ở điểm có toạ độ
0; 0
θ θ
= =
&
.
Chu kỳ và tần số dao động :
10
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
2. Chế độ tuyến tính của dao động với biên độ lớn :
2.1. Chế độ không ma sát :
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 4, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 4, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 4, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 4, Fenetre d’analyse 1
Chu kỳ và tần số dao động :
11
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Giải thích và bình luận :

: Hình 5, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 5, Fenetre 4 ; Phổ Fourier : Hình 5, Fenetre d’analyse 1
Chu kỳ và tần số dao động :
12
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Giải thích và bình luận :
+ Ma sát chất lưu là ma sát không lớn lắm nên dao động của hệ là dao động tắt dần theo
chế độ giả tuần hoàn.
+ Phương trình dao động :
( ) cos( )
t
t Ce t
α
θ ω ϕ
−
= +
với
2 2 2
0
ω ω α
= −
(
α
là hệ số tắt dần). Vì
vậy góc lệch giảm dần theo thời gian có hai đường bao có dạng đồ thị hàm mũ.
+Tương tự lý luận phần không có ma sát góc lệch nhỏ, độ giảm của vận tốc nhanh hơn độ
giảm của góc lệch.
+ Biểu đồ pha thu được là những đường cong đúng như lý thuyết.
2.3. Chế độ ma sát trục:
Tạo ma sát trục bằng cách giống như khi khảo sát dao động với biên độ bé.

+ Biểu đồ pha thu được phù hợp với lý thuyết, nó kết thúc ở điểm có :
θ
= 0,
θ
&
= 0
+ Với ma sát cổ trục, ta thấy biên độ dao động giảm nhanh hơn trường hợp ma sát
chất lưu.
Chu kỳ và tần số dao động :
3. Chế độ tuyến tính của dao động quay vòng :
3.1. Chế độ không ma sát :
Thực hiện dao động quay bằng cách : Đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng 1 góc
θ π
>
,
con lắc không thể dao động mà quay vòng.
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 7, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 7, Fenetre 3
Biểu đồ pha : Hình 7, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 7, Fenetre d’analyse 1
Chu kỳ và tần số dao động :
Giải thích và bình luận :

lệch lớn. Đồ thị góc lệch giai đoạn đầu ứng với quay vòng, giai đoạn sau ứng với
góc lệch lớn. Với góc lệch lớn nghiệm của phương trình vi phân dao động phức tạp
hơn nhiều.
15
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Quỹ dạo pha trong trường hợp này tuy không rõ rệt lắm, nhưng cũng thể hiện hai
phần: Một phần ứng với dao động quay vòng, một phần ứng với dao động qua lại
quanh vị trí cân bằng (phần đường cong khép kín của quỹ đạo pha).
Chu kỳ và tần số dao động :
3.3. Chế độ ma sát trục:
Tạo ma sát trục bằng cách dùng một hệ thống lò xo buộc tiếp xúc trực tiếp vòng qua
trục quay với độ căng nhất định.
Kết quả thu được như sau :
Đồ thị
( )t
θ
: Hình 9, Fenetre 1
Đồ thị vận tốc góc
d
dt
θ
: Hình 9, Fenetre 3
16
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
Biểu đồ pha : Hình 9, Fenetre 4
Phổ Fourier : Hình 9, Fenetre d’analyse 1
Giải thích và bình luận :
+ Trong phần chuyển động quay vòng, do con lắc bị vướng nên cớ những điểm bị
đứt đoạn, bất thường trên đồ thị.
+ Trong trường hợp chuyển động quay vòng, biểu đồ pha cũng có dạng gần giông

2
lại.
Trong điều kiện này, góc xoắn
θ
của thanh bằng 0.
Xét cân bằng momen lực cho thanh xoắn đối với trục Oz (trục của thanh xoắn), ta có :
M
đĩa treo/Oz
+ M
đối trọng/Oz
= 0
2.3. Sự cân bằng khi có tải trọng – Xác định hệ số xoắn C :
18
10
20
30
0
Ñoái troïng (4)
Đĩa phân độ (1)
Thanh xoắn (2)
Thanh ngang (3)
h
l
O
2
O
1
B
Đĩa treo (5)
m

hay
.
e
gh
m
C
θ
=
(1)
Khi khảo sát độ bền vật liệu, người ta chứng minh được :
4
D
C
l
= Γ
(2)
Với : D là đường kính thanh xoắn, l là khoảng cách O
1
O
2
.
Hệ số xoắn
Γ
là hằng số đặc trưng chỉ phụ thuộc vào tính chất vật liệu.
2.4. Nhiệm vụ cụ thể của bài thí nghiệm :
a) Xác định hệ số C của 3 thanh xoắn cùng vật liệu và có đường kính khác nhau D
1
,
D
2

với phương pháp a) bằng
cách mô phỏng các giá trị (D,C) bằng hàm mũ
4
C KD=
với
/K l= Γ
.
•
Dùng chương trình SYNCRONIE, tính hệ số xoắn
Γ
với phương pháp b) bằng
cách mô phỏng các giá trị (l,C) bằng hàm hyperbole
/C K l
=
với
4
K D= Γ
.
Trình bày sai số các kết quả nêu trên.
Chú ý : Phải siết chặt các nút vặn để tránh thanh xoắn có thể bị trượt trong ổ trục
gây nên sự mất chính xác trong phép đo.
2.6. Số liệu và kết quả thí nghiệm – Bình luận :
19
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
2.6.1. Thí nghiệm với ba thanh xoắn có cùng độ dài l = 60 cm:
a) Thanh xoắn có đường kính D
1
= 2,5mm:
m[g]
θ

= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 2).
c) Thanh xoắn có đường kính D
1
= 3,5mm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 5 0.0872 1.0396 0
100 10 0.1744 1.0396 0
200 20 0.3488 1.0396 0
C
= 1.0396;
C∆
= 0
20
0
10
20
30
40
50
60
0 50 100 150 200 250

= 0.4331;
C∆
= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 4).
b) Thanh xoắn có độ dài l
2
= 55cm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 13.5 0.2355 0.3849 0
100 27 0.4710 0.3849 0
200 54 0.9420 0.3849 0
C
= 0.3849;
C∆
= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 5).
21
0
10

0 50 100 150 200 250
Hình 5
Hình 6
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
c) Thanh xoắn có độ dài l
3
= 60cm:
m[g]
θ
e
[độ] θ [rad]
C [Nm/rad]
∆C
50 14 0.2442 0.3712 0
100 28 0.4884 0.3712 0
200 56 0.9768 0.3712 0
C
= 0.3712;
C∆
= 0
Đồ thị quan hệ giữa
e
θ
và m (Hình 6).
2.6.3. Kết quả tính toán :
a) Ba thanh xoắn cùng chiều dài l = 60 cm:
D [mm] C [Nm/Rad]
2
/N m Rad
 

1.76%
ε
=
2.6.4. Kết luận :
a) Trường hợp đường kính D khác nhau :
Khi tăng đường kính D của thanh xoắn thì góc xoắn θ giảm xuống, và hệ số xoắn C tăng,
vì :
e
mgh
C
θ
=
và
4
D
C
l
= Γ
, do đó :
4
mghl
D
θ
=
Γ
Đồ thị
( )m
θ
là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và khi tăng D thì hệ số góc của đường
thẳng này giảm vì

2
= h) được cố định chặt nhờ nút vặn O
2
.
Ký hiệu :
l là khoảng cách O
1
O
2
D là đường kính thanh xoắn
C là hệ số xoắn của thanh xoắn
J
0
là momen quán tính của 1 quả
cân đối với trục
∆
đi qua khối
tâm của nó và song sóng với O
1
z
m là khối lượng của một quả cân
Như vậy, momen quán tính tổng
cọng của thanh ngang có gắn tải
trọng bằng :
2
0
2( )J J J mh
∆
= + +
Phương trình chuyển động của

+ +
= =
Qua biến đổi suy được :
2 2
T Ah B= +
Với :
2
8 m
A
C
π
=
và
2
0
4 ( 2 )J J
B
C
π
∆
+
=
3.2. Nhiệm vụ cụ thể của bài thí nghiệm :
a) Xác định hệ số C của thanh xoắn với đường kính nhỏ nhất ứng với ba độ dài l đã
chọn ở phần 2.4.b). Trên cơ sở đó tính hệ số xoắn
Γ
.
23
G
2

3.3. Phương pháp tiến hành thí nghiệm :
•
Xác định chu kỳ T cho mỗi phép đo như sau : Cho thanh ngang dao động với biên độ
nhỏ, dùng đồng hồ tính thời gian của n dao động (n khoảng 10 – 20 dao động), suy được :
T
i
= t/n, thực hiện ít nhất ba lần và tính giá trị trung bình T.
•
Xác định hệ số C cho mỗi phép đo thực hiện theo trình tự sau :
+ Xác định chu kỳ T cho 3 khoảng cách h khác nhau, suy được 3 cặp giá trị
(h,T).
+ Dùng chương trình SYNCRONIE mô phỏng tuyến tính các giá trị đo được,
tính A và B, từ A suy ra giá trị của C và từ B suy ra giá trị của
0
2J J
∆
+
.
Chú ý : Phải siết chặt các nút vặn để tránh thanh xoắn có thể bị trượt trong ổ trục gây nên
sự mất chính xác trong phép đo.
3.4. Kết quả thí nghiệm :
3.4.1. Thanh xoắn có chiều dài l
1
= 50 cm :
a) Với h
1
= 20cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 26.40 1.320 0.0017

24
Báo cáo thí nghiệm Vật lý I Lê Hoài Nam 04CLC
a) Với h
1
= 20cm:
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 27.34 1.367 0.002
20 27.50 1.375 0.006
20 27.30 1.365 0.004
1.369T =
;
0.004T∆ =
b) Với h
2
= 15cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 23.16 1.138 0.0018
20 23.24 1.162 0.0022
20 23.19 1.1595 0.0003
1.1598T =
;
0.00143T∆ =
c) Với h
3
= 10cm :
n (lần) t[s] T[s]
∆T
20 20.36 1.018 0.003

c) Với h
3
=10cm :
25

Trích đoạn Nghiên cứu lý thuyết : Thí nghiệ m:

---