Phòng giáo dục và đào tạo thuận thành
Trờng THcs nghĩa đạo
************************
Sáng kiến kinh nghiệm:
Phơng pháp giảI
các bài toán cơ bản liên quan đến
đồ thị hàm số
Giáo viên: Nguyễn Hồng Bốn
Nghĩa Đạo, tháng 3 năm 2009
1
A Phần mở đầu
I Lý do chọn đề tài
Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số là một phần kiến thức tơng
đối nhiều và rất cơ bản trong bộ môn toán ở lớp 9 cũng nh ở chơng trình toán
THPT.
Trong thực tế nếu giáo viên không nghiên cứu kỹ và hớng dẫn học sinh
thì các em sẽ gặp nhiều khó khăn ngay từ khâu nhận dạng bài toán và phơng
pháp giải cho từng loại bài.
Đặc điểm của môn Đại số nói chung là có sự liên quan mật thiết, lôgic
giữa các chơng, bài đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức, kĩ năng cơ bản
từ đó học sinh biết nhận dạng và giải đợc nhanh hơn.
Đối với bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số đây là một chuyên
đề mà SGK cha đề cập hết các dạng toán nên các em học sinh lớp 9 còn lúng
túng.
Để giúp các em có một phơng pháp học và ôn tập tốt trong các kì thi đạt
kết quả cao vợt qua các trở ngại, khó khăn trên. Bản thân tôi đã tiến hành phân
loại các đơn vị kiến thức, các dạng bài tập theo từng chủ đề mà các em thờng
gặp. Tìm hiểu, nghiên cứu các cách giải ngắn gọn tơng ứng cho từng loại bài.
Với những yêu cầu và mong muốn trên tôi đã chọn đề tài: Phơng pháp giải các
bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số.
II - Đối t ợng nghiên cứu

Điều kiện để phơng trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất, vô số
nghiệm, vô nghiệm.
Cách giải hệ phơng trình bậc nhất, bậc 2 hai ẩn số.
Các điều kiện về nghiệm của phơng trình bậc 2, hệ 2 phơng trình bậc
nhất hai ẩn số.
Cách giải bất phơng trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn số
Cách vẽ đồ thị
Vị trí tơng đối giữa:1 điểm với 1 đờng thẳng;
1 điểm với một Parabol;
2 đờng thẳng với nhau, 1 đờng thẳng với 1 Parabol;
và quan hệ của 3 đờng.
Các điều kiện tơng ứng cho mỗi trờng hợp trên. Đặc biệt là việc hớng
dẫn cho học sinh nhận đợc các dạng bài toán và viết đợc các điều kiện tơng
ứng. Học sinh biết lập luận chặt chẽ, trình bày lời giải khoa học.
3
II Các dạng bài toán cơ bản và ph ơng pháp giải:

Dạng 1: Điểm thuộc đ ờng - đ ờng đi qua một điể m
* Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2, 2) và đờng thẳng
(d
1
) có PT y = - 2(x + 1)
a) Giải thích vì sao A nằm trên (d
1
)
b) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị ( P ) đi qua A
Bài giải
a) f (x

* Nội dung: Cho (P) và (d) theo thứ tự là đồ thị của hàm số y = f( x) và
y = g(x)
Hỏi (P) và (d) sẽ xảy ra vị trí nh thế nào đối với nhau trên cùng mặt
phẳng toạ độ .
* Phơng pháp giải : Toạ độ điểm chung của (P) và (d) nếu có là
nghiệm của hệ phơng trình sau:
y = f(x)
(A)
y = g(x)
Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
f(x) g(x) = 0 (1)
- Nếu phơng trình (1) vô nghiệm thì hệ phơng trình (A) vô nghiệm
(P)và (d) không có điểm chung Hai đồ thị không giao nhau .
4
- Nếu phơng trình (1) có nghiệm kép hệ PT(A) có nghiệm kép
(P) và (d) tiếp xúc với nhau, đờng thẳng trở thành tiếp tuyến của đờng cong.
Điểm chung là tiếp điểm của đờng thẳng và đờng cong.
Nếu PT(1) có hai nghiệm phân biệt PT(A) có hai nghiệm phân biệt
(P) và(d) có hai điểm chung phân biệt.
Ví dụ 2: Trong cùng một mặt phẳng toạ độ, cho Parabol (p) y = x
2
và đ-
ờng thẳng (d) có PT: y = 2x + m
Tìm m để a) (P) và(d) không có điểm chung
b ) (P) tiếp xúc với (d)
c ) (P) Cắt (d) tại hai điểm phân biệt .
Bài giải:
a) ( P) và (d) không có điểm chung khi và chỉ khi hệ PT
y = f(x)
(*) vô nghiệm

Vậy với m > - 1 thì (P) và(d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Ví dụ 3: Cho đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) lần lợt có phơng trình
(d
1
): y = ax +
2
b
(d
2
): y = bx +
3
a
a) Xác định a và b để đờng thẳng(d
1
)và (d
2
) cùng đi qua điểm A(1; 2)
5
b) Với a, b vừa tìm đợc ở câu a, gọi giao điểm của (d
1
) và (d
2
) cùng đi qua
điểm A (1; 2) với trục tung lần lợt là B,C hãy tìm toạ độ của B và C.
c) Hãy xác định a và b để đờng thẳng (d
1

5
6
b =
5
8
Vậy với : a =
5
6
thì ( d
1
) và (d
2
) cùng đi qua A (1; 2)
b =
5
8
b) Để giải câu b ta cần phải hiểu một điểm nằm trên trục tung thì hoành độ
của điểm đó bằng 0.
Việc xác định tung độ của các điểm đó tức là việc xác định tung độ gốc
của các đờng thẳng trên.
Với a =
5
6
và b =
5
8
thì:
(d
1
) y =

Vậy toạ độ điểm C ( 0;
5
2
)
c) Câu này cách giải giống câu a, nhng điểm (0; 5) nằm trên trục tung vì (d
1
)
và (d
2
) cắt nhau tại điểm (0; 5) nên x = 0, y = 5 là nghiệm của HPT:
6
y = ax +
2
b
y = bx +
3
a
Thay x = 0, y = 5 vào hệ trên ta đợc hệ HPT:
5 = a . 0 +
2
b
a = 15

5 = b. 0 +
3
a
b = 10
Vậy với a = 15; b = 10 thì ( d
1
) và (d

+ Xác định b: Vì đờng thẳng (d) đi qua A ( x
A
, y
A
)
ta thấy a = k, x = x
A
, y = y
A

vào phơng trình tổng quát của d ta đợc ph-
ơng trình của (d) cần tìm là:
y = kx

+ y
A
- kx
A
* Bài toán 2: Lập PT đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A( x
A
, y
A
); B(x
B
,y
B
)
Lời giải
Phơng trình tổng quát của (d) là y = ax + b
Vì (d) đi qua A và B nên ta có hệ PT

Ta có phơng trình ax +b = 0 có vô số nghiệm khi a = 0, b = 0
* Bài toán: Chứng minh rằng với mọi m thì đờng thẳng sau đây luôn đi
qua một điểm cố định và tìm toạ độ điểm đó.
y = mx + m - q ( m, q là tham số R)
Cách giải
Gọi A( x
0
, y
0
)là một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ mà đờng
thẳng y = mx + m q luôn đi qua với mọi m
Vì A là điểm thuộc đờng thẳng, nên toạ độ A nghiệm đúng phơng trình
đờng thẳng. Thay vào đó ta có:
y
0
= mx
0
+ m - q luôn đúng m
m (x
0
+ 1) - (y
0
+ q) đúng m
x
0
+ 1= 0 x
0
= 0

y

0
= - 1

y
0
+ 2 = 0 y
0

= - 2
Vậy điểm A( - 1; - 2) là điểm cố định mà đờng thẳng trên luôn đi qua
Am
* Ví dụ 5: Trên mặt phẳng toạ độ xOy ta xét Parabol( P) và đờng
thẳng(d) lần lợt có PT:
(P) : y = 2x
2
(d) : y = ax + 2 a
Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì Parabol( P) và đờng thẳng (d)
có một điểm chung cố định.
Tìm toạ độ điểm chung đó:
( Trích đề thi vào THPT năm học 1999 - 2000)
Đây là bài toán đi tìm điểm cố định mà đờng thẳng luôn luôn đi qua
a rồi chứng tỏ điểm đó thuộc đờng cong (P).
Bài giải
Gọi điểm cố định mà đờng thẳng (d)luôn đi qua là M( x
0
, y
0
)với mọi a
Thay vào PT của (d) ta có:
y

Vậy (P) và(d) luôn luôn có một điểm chung cố địnhM(1; 2) với mọi a
* Ví dụ 6: Cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) lần lợt có phơng trình:
(d
1
): y = 3x 2 (d
2
): y = x + m
Hãy tìm m để 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm nằm trên
Parabol có PT: y = x
2
.
Bài giải:
Ta có thể giải theo hai cách sau:
Cách1: Xác định toạ độ giao điểm của (d
1
) và (P) toạ độ giao điểm của
(P) và (d
1
) là nghiệm của hệ PT sau:
y = 3x 2
y = x
2

1
) cắt(d
2
) tại điểm A(2, 1) trên đồ thị hàm số y = x
2
Với m = 2 thì ( d
1
) cắt (d
2
) tại B (2; 4 ) trên đồ thị hàm số y = x
2
* Cách 2: Ta có thể tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) theo m rồi
thay toạ độ x, y theo m vào phơng trình (P): y = x
2
để tìm đợc các giá trị của
m.
* Thực chất để tìm m và toạ độ giao điểm của d
1
, d
2
trên P là giải hệ 3PT:
d
1
: y = 3x - 2
d
2

1
x
2
x = 2

y = - x + 1 y = - 1
Vậy toạ độ tiếp điểm là ( 2; 1)
b) Gọi toạ độ điểm cố định A(x
0
, y
0
) mà đờng thẳng (d) luôn đi qua m ta có:
y
0
= mx
0
2m 1 luôn đúng m (x
0
2 ) m (y
0
+ 1) = 0 m
x
0
2 = 0 x = 2

y
0
+ 1 = 0 y = - 1
Ta nhận thấy x
0

)
Vì toạ độ điểm A thoả mãn PT II ( vì 3 đờng thẳng đồng quy)
thay x =-
29
36
; y =
29
6
vào PT II, ta đợc
11
(1 k) (-
29
36
) +
29
6K
= 1 + k
- 36 + 36 k + 6k = 29 + 29k
13k = 65
k = 5
Vậy với k = 5 thì 3 đờng thẳng trên đồng quy tại điểm A(-
29
36
;
29
6
)
* Tơng tự ví dụ 6 ta có thể tìm k và xác định toạ độ điểm đồng quy
bằng cách giải hệ 3 PT
Ví dụ 9: Cho Parabol y = -

khi đó (d
1
) là y = (1 +
3
)x + 2 +
3
a
2
= 1+
3
; b
2
= 2 -
3
ta có PT(d
2
) là y = ( 1 -
3
) x + 2 -
3
III Kết quả thực hiện
Qua các năm nghiên cứu và thực tế dạy học sinh tôi nhận thấy:
Các em đã biết phân loại bài tập và nhận dạng đợc bài tập và có định h-
ớng giải đúng.
Phần lớn học sinh dễ tiếp thu hơn và đã có kỹ năng giải bài tập khá tốt,
tuy nhiên những bài tập ở mức độ cao thì học sinh còn gặp khó khăn .
Các em đã có hứng thú không còn ngần ngại khi giải quyết bài tập loại
này.
IV Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất
12

Tài liệu tham khảo
1 Sách giáo khoa Đại số 9
2 SGV Đại số 9
3 Toán nâng cao và phát triển Đại số 9
4 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9
5 Toán Bồi dỡng học sinh giỏi Đại số 9
6 - Để học tốt Đại số 9
7 Các đề thi tốt nghiệp THCS và tuyển sinh vào THPT và một
số các tài liệu hớng dẫn ôn thi khác.
Mục Lục
Trang
A Phần mở đầu
2
B Phần Nội dung
3
Dạng 1 4
Dạng 2 4
Dạng 3 7
Dạng 4 8
Kết quả thực hiện - Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất 13
C Phần Kết luận
13
Tài liệu tham khảo
14

đề kiểm tra toán 9
phần hàm số và đồ thị
Thời gian làm bài: 90 phút
14
***************************

15