Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT

1. Phương pháp sử dụng dấu hiệu chia hết.
2. Phương pháp sử dụng tính chất chia hết.
3. Phương pháp sử dụng xét tập hợp số dư trong phép chia.
4. Phương pháp sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử.
5. Phương pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng.
6. Phương pháp quy nạp toán học.
7. Phương pháp sử dụng đồng dư thức.
8. Phương pháp sử dụng nguyên lý Đirichle.
9. Phương pháp phản chứng.
5. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b
6. Nếu a  b  (a)  (b)
7. Với  a  a  (1)
8. Nếu a  b và c  b  a  c  b
9. Nếu a  b và cb  a  c  b
10. Nếu a + b  c và a  c  b  c
11. Nếu a  b và n > 0  a
n
 b
n

12. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b
13. Nếu a  b, c  b và m, n bất kỳ am + cn  b
14. Nếu a  b và c  d  ac  bd
15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
3

III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
Gọi N =
011nn
a aaa


1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N  2  a
0
 2  a

1
+a
3
+…)]  11
+ N  101  [(
01
aa
+
45
aa
+…) - (
23
aa
+
67
aa
+…)]101
+ N  7 (hoặc 13)  [(
01
aaa
2
+
67
aaa
8
+…) - [(
34
aaa
5
+

số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
Ký hiệu: a  b (modun)
Vậy: a  b (modun)  a - b  m
b. Các tính chất
1. Với  a  a  a (modun)
2. Nếu a  b (modun)  b  a (modun)
3. Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)
4. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  a+c  b+d (modun)
5. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  ac  bd (modun)
6. Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) và (d, m) =1

d
b
d
a

(modun)
7. Nếu a  b (modun), d > 0 và d  Uc (a, b, m)

d
b
d
a

(modun
d
m
)
Các phương pháp giải toán chia hết



Thì 
(m)
= m(1 -
`1
1
p
)(1 -
2
1
p
) … (1 -
k
p
1
)
2. Định lý Fermat
Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì a
p-1
 1 (modp)
3. Định lý Wilson
Nếu p là số nguyên tố thì
( P - 1)! + 1  0 (modp)


 45 
a56b
 5 và 9
Xét a56b  5  b  {0 ; 5}
Nếu b = 0 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9
 a + 11  9
 a = 7
Nếu b = 5 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9
 a + 16  9
 a = 2

Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
a = 2 và b = 5 ta có số 2560
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng
minh răng số đó chia hết cho 9.
Giải
Gọi số đã cho là a
Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư
 5a - a  9  4a  9 mà (4 ; 9) = 1
 a  9 (Đpcm)
Ví dụ 3: CMR số

1 sè 81
111 111
 81
Giải
Ta thấy: 111111111  9
Có

1 sè 81

Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
6
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho
a. 34x5y  4 và 9
b. 2x78  17
Bài 2: Cho số N =
dcba
CMR
a. N  4  (a + 2b)  4
b. N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẵn
c. N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của
số đó.
Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A =
192021…7980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Bài 6: Chứng tỏ rằng số

1 sè 100
11 11


2 sè 100
22 22
là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ


Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
7
Bài 4: Có 1980 = 2
2
.3
2
.5.11
Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80  4 và 5
 A 4 và 5
Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279
Có 279 + 279 = 558  9  A  9
279 - 279 = 0  11  A  11
Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2.
Có 46 số tự nhiên liên tiếp  có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ  tổng 23
cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết
cho 46.
Bài 6: Có

1 sè 100
11 11


2 sè 100
22 22
=


(Đpcm)

2. Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT

* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp
m + 1; m + 2; … m + n với m  Z, n  N
*

Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2;
… n - 1}
* Nếu tồn tại 1 số dư là 0: giả sử m + i = nq
i
; i = n1,
 m + i  n
* Nếu không tồn tại số dư là 0  không có số nguyên nào trong dãy chia hết
cho n  phải có ít nhất 2 số dư trùng nhau.
Giả sử:





r qjn j m
n j i;1 r nqi i m

 i - j = n(q
i
- q
j

+ n
3
+ (n + 1)
3
= 3n
3
- 3n + 18n + 9n
2
+ 9
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n
2
+ 1) + 18n
Ta thấy (n - 1)n (n + 1)  3 (CM Ví dụ 1)
 3(n - 1)n (n + 1)  9
mà




918
9)1(9
2


n
n

 A  9 (ĐPCM)
Ví dụ 3: CMR: n
4

 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16,24)
Vậy n
4
- 4n
3
- 4n
2
+16n  384 với  n chẵn, n  4 Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
9
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1)  6
b. n
5
- 5n
3
+ 4n  120 Với  n  N
Bài 2: CMR: n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n  24 Với  n  Z
Bài 3: CMR: Với  n lẻ thì
a. n

2
+ 4)n
= n(n
2
- 1) (n
2
- 4)
= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2)  120
Bài 2: n
4
+ 6n
3
+ 6n + 11n
2
= n(n
3
+ 6n
2
+ 6 + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3)  24
Bài 3: a. n
2
+ 4n + 3 = (n + 1) (n + 3)  8
b. n
3
+ 3n
2
- n - 3 = n
2
(n + 3) - (n + 3)

+ 1)
= (n
2
- 1)
2
(n
2
- 1)
2
(n
4
+ 1)
= 16[k(k + 1)
2
(n
2
+ 1)
2
(n
4
+ 1)
Với n = 2k + 1  n
2
+ 1 và n
4
+ 1 là những số chẵn  (n
2
+ 1)
2
 2

2
- 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3
 p  3 ta có: (p - 1) (p + 1)  8
và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k  N)
 (p - 1) (p + 1)  3
Vậy p
2
- 1  24
Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là
n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1)
trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999
có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n
0
, khi đó n
0
có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử
tổng các chữ số của n
0
là s khi đó 27 số n
0
, n
0
+ 9; n
0
+ 19; n
0
+ 29; n
0
+ 39; …;
n

 3
Với r = 2  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A
(n)
 3
 A
(n)
 3 với  n mà (2, 3) = 1
Vậy A
(n)
 6 với  n  N
Ví dụ 2: CMR: Nếu n  3 thì A
(n)
= 3
2n
+ 3
n
+ 1  13 Với  n  N
Giải
Vì n  3  n = 3k + r (k  N); r  {1; 2; 3}
 A
(n)
= 3
2(3k + r)
+ 3
3k+r
+ 1
= 3
2r
(3
6k

n
+ 1 = 3
2
+ 3 +1 = 13  13
 3
2n
+ 3
n
+ 1  13
với r = 2  3
2n
+ 3
n
+ 1 = 3
4
+ 3
2
+ 1 = 91  13
 3
2n
+ 3
n
+ 1
Vậy với n  3 thì A
(n)
= 3
2n
+ 3
n
+ 1  13 Với  n  N

n
- 1 = 2
3k + 2
- 1 = 4(2
3k
- 1) + 3
mà 2
3k
- 1  7  2
n
- 1 chia cho 7 dư 3
Vậy 2
3k
- 1  7  n = 3k (k  N)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: A
n
= n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)  5 Với  n  Z
Bài 2: Cho A = a
1
+ a
2
+ … + a
n

B = a

 5
r = 1, 4  n
2
+ 4  5  A
(n)
 5
r = 2; 3  n
2
+ 1  5  A
(n)
 5
 A
(n)
 5  A
(n)
 30
Bài 2: Xét hiệu B - A = (a
5
1
- a
1
) + … + (a
5
n
- a
n
)
Chỉ chứng minh: a
5
i

+ 1
Làm tương tự VD3
Bài 5: Có 24m
4
+ 1 = n
2
= 25m
4
- (m
4
- 1)
Khi m  5  mn  5
Khi m  5 thì (m, 5) = 1  m
4
- 1  5
(Vì m
5
- m

5

(m
4
- 1)

5

m
4
- 1

n
- (2
6
)
n
= (3
6
- 2
6
)M
= (3
3
+ 2
3
) (3
3
- 2
3
)M
= 35.19M  35 Vậy 3
6n
- 2
6n
 35 Với  n  N
Ví dụ 2: CMR: Với  n là số tự nhiên chăn thì biểu thức
A = 20
n
+ 16
n
- 3

n
- 3
n
= (16 + 3)Q = 19Q  19 (n chẵn)
 A  19 (2)
Từ (1) và (2)  A  232
Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
13
Ví dụ 3: CMR: n
n
- n
2
+ n - 1  (n - 1)
2
Với  n >1

Giải
Với n = 2  n
n
- n
2
+ n - 1 = 1
và (n - 1)
2
= (2 - 1)
2
= 1
 n

+ … + n
2
+1)
= (n - 1) [(n
n-1
- 1) + … +( n
2
- 1) + (n - 1)]
= (n - 1)
2
M  (n - 1)
2

Vậy A  (n - 1)
2
(ĐPCM)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. 3
2n +1
+ 2
2n +2
 7
b. mn(m
4
- n
4
)  30

n
= 3(7 + 2)
n
+ 4.2
n

= 7M + 7.2
n
 7
b. mn(m
4
- n
4
) = mn(m
2
- 1)(m
2
+ 1) - mn(n
2
- 1) (n
2
+ 1)  30
Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = 1 và n = 2k (k  N)
có 3
n
+ 63 = 3
2k
+ 63
= (3
2k

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5  a
2
, b
2
và c
2
chia 5 dư 1 hoặc 4 
b
2
+ c
2
chia 5 thì dư 2; 0 hoặc 3.
 a
2
 b
2
+ c
2
. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M  5
Nếu a, b, c là các số lẻ  b
2
và c
2
chia hết cho 4 dư 1.
 b
2
+ c
2
 (mod 4)  a
2










222
2
cacab


2
b
chẵn  b  4  m  4
Vậy M = abc  3.4.5 = 60

5. Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG
TỔNG
Giả sử chứng minh A
(n)
 k ta biến đổi A
(n)
về dạng tổng của nhiều hạng tử và
chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k.
Ví dụ 1: CMR: n
3
+ 11n  6 với  n  z.

Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
15
Từ (1) và (2) 





1116b 17a
1117b 16a



Vậy (16a +17b) (17a +16b)  121
Ví dụ 3: Tìm n  N sao cho P = (n + 5)(n + 6)  6n.
Giải
Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n
2
+ 11n + 30
= 12n + n
2
- n + 30
Vì 12n  6n nên để P  6n  n
2
- n + 30  6n




3
 2
3

Bài 2: CMR: 36n
2
+ 60n + 24  24
Bài 3: CMR: a. 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1
 59
b. 9
2n
+ 14  5
Bài 4: Tìm n  N sao cho n
3
- 8n
2
+ 2n  n
2
+ 1 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: 1
3
+ 3

n
(25 + 26) + 8
2n+1

= 5
n
(59 - 8) + 8.64
n

= 5
n
.59 + 8.59m  59
Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
16
b. 9
2n
+ 14 = 9
2n
- 1 + 15
= (81
n
- 1) + 15
= 80m + 15  5
Bài 4: Có n
3
- 8n
2
+ 2n = (n

2
2
nn
nn
n
n
Víi
Víi
Víi
Víi

 n  {-2; 0; 2} thử lại
Vậy n  {-8; 0; 2}

6. Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC
Giả sử CM A
(n)
 P với n  a (1)
Bước 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A
(n)
 P
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A
(k)
 P với k  a

k+1
- 15(k + 1) - 1
= 16.16
k
- 15k - 16
= (16
k
- 15k - 1) + 15.16
k
- 15
= 16
k
- 15k - 1 + 15.15m
= A
(k)
+ 225
mà A
(k)
 225 (giả thiết quy nạp)
225m 225
Vậy A
(n)
 225
Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
17
Ví dụ 2: CMR: với  n  N
*
và n là số tự nhiên lẻ ta có

k
k
m


Thật vậy
22
21


k
k
m


)(.21
22
zqqm
k
k




1.2
22


qm
k

Vậy
22
21


n
n
m

với  n  1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: 3
3n+3
- 26n - 27  29 với  n  1
Bài 2: CMR: 4
2n+2
- 1  15
Bài 3: CMR số được thành lập bởi 3
n
chữ số giống nhau thì chia hết cho 3
n
với n
là số nguyên dương.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: Tương tự ví dụ 1.
Bài 2: Tương tự ví dụ 1.
Bài 3: Ta cần CM

sèa

 3
k+1
ta có 3
k+1
= 3.3
k
= 3
k
+ 3
k
+3
k

Có

kkk
k
aaaaaaaaa
333
3

1



asè

k
kk
aaaaaaaa

2222
 7
Giải
Có 2222  - 4 (mod 7)  2222
5555
+ 5555
2222
 (- 4)
5555
+ 4
5555
(mod 7)
Lại có: (- 4)
5555
+ 4
2222
= - 4
5555
+ 4
2222

= - 4
2222
(4
3333
- 1) =





32


 nn
với  n  N
Giải
Theo định lý Fermat ta có:
3
10
 1 (mod 11)
2
10
 1 (mod 11)
Ta tìm dư trong phép chia là 2
4n+1
và 3
4n+1
cho 10
Có 2
4n+1
= 2.16
n
 2 (mod 10)
 2
4n+1
= 10q + 2 (q  N)
Có 3
4n+1
= 3.81
n



 nn
với  n  N
Ví dụ 3: CMR:
1172
14
2


n
với n  N
Giải
Ta có: 2
4
 6 (mod)  2
4n+1
 2 (mod 10)
 2
4n+1
= 10q + 2 (q  N)

2102
2
2
14



q


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR
1932
26
2


n
với n  N
Bài 2: CMR với  n  1 ta có
5
2n-1
. 2
2n-1
5
n+1
+ 3
n+1
.2
2n-1
 38
Bài 3: Cho số p > 3, p  (P)
CMR 3
p
- 2
p
- 1  42p
Bài 4: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng
2

2n-1
.10 + 9. 6
n-1
)
Vì 25  6 (mod 19)  5
n-1
 6
n-1
(mod 19)
 25
n-1
.10 + 9. 6
n-1
 6
n-1
.19 (mod 19)  0 (mod 19)
Bài 3: Đặt A = 3
p
- 2
p
- 1 (p lẻ)
Dễ dàng CM A  2 và A  3  A  6
Nếu p = 7  A = 3
7
- 2
7
- 1  49  A  7p
Nếu p  7  (p, 7) = 1
Theo định lý Fermat ta có:
A = (3


Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
20
Bài 4: Nếu P = 2  2
2
- 2 = 2  2
Nếu n > 2 Theo định lý Fermat ta có:
2
p-1
 1 (mod p)
 2
m(p-1)
 1 (mod p) (m  N)
Xét A = 2
m(p-1)
+ m - mp
A  p  m = kq - 1
Như vậy nếu p > 2  p có dạng 2
n
- n trong đó
N = (kp - 1)(p - 1), k  N đều chia hết cho p

8. Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET
Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con
trở lên.
Ví dụ 1: CMR: Trong n + 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n.
Giải
Lấy n + 1 số nguyên đã cho chia cho n thì được n + 1 số dư nhận 1 trong các số


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: Tồn tại n  N sao cho 17
n
- 1  25
Bài 2: CMR: Tồn tại 1 bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1.
Bài 3: CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết
cho 5.
Bài 4: Có hay không 1 số có dạng.
19931993 … 1993000 … 00  1994 Các phương pháp giải toán chia hết

Thandieu2 – Diễn đàn kiến thức Tổng hợp
21
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1: Xét dãy số 17, 17
2
, …, 17
25
(tương tự VD2)




1 sè 1994 j-i

mà (10
j
, 1993) = 1

1 sè 1994
11 111 
 1993 (ĐPCM)
Bài 3: Xét dãy số gồm 17 số nguyên bất kỳ là
a
1
, a
2
, …, a
17

Chia các số cho 5 ta được 17 số dư ắt phải có 5 số dư thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3;
4}
Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số dư thì tổng của
chúng sẽ chia hết cho 5.
Nếu trong 17 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho 5  tồn
tại 5 số có số dư khác nhau  tổng các số dư là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10  10
Vậy tổng của 5 số này chia hết cho 5.
Bài 4: Xét dãy số a
1
= 1993, a
2

1993 sè i-j

9. Phương pháp 9: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

Để CM A
(n)
 p (hoặc A
(n)
 p )
+ Giả sử: A
(n)
 p (hoặc A
(n)
 p )
+ CM trên giả sử là sai
+ Kết luận: A
(n)
 p (hoặc A
(n)
 p )
Ví dụ 1: CMR n
2
+ 3n + 5  121 với  n  N
Giả sử tồn tại n  N sao cho n
2
+ 3n + 5  121
 4n

Gọi d là ước số chung nhỏ nhất khác 1 của n  d  (p) theo định lý Format ta
có
2
d-1
 1 (mod d)  m < d
ta chứng minh m\n
Giả sử n = mq + r (0  r < m)
Theo giả sử n
2
- 1  n  n
mq+r
- 1  n
 2
r
(n
mq
- 1) + (2
r
- 1)  n  2
r
- 1  d vì r < m mà m  N, m nhỏ nhất khác 1 có
tính chất (1)
 r = 0  m\n mà m < d cũng có tính chất (1) nên điều giả sử là sai.
Vậy n
2
- 1  n với  n  N
*

Các phương pháp giải toán chia hết


Bài 2: Giả sử tồn tại n
2
+ n + 1  9 với  n
 (n + 2)(n - 1) + 3  3 (1)
vì 3 là số nguyên tố 





31
32


n
n
 (n + 2)(n - 1)  9 (2)
Từ (1) và (2)  3  9 vô lý
Bài 3: Giả sử  n  N để 4n
2
- 4n + 18  289
 (2n - 1)
2
+ 17  17
2
 (2n - 1)  17

17 là số nguyên tố  (2n - 1)  17  (2n - 1)
2
 289