TOÁN 12 – BÀI TẬP LÀM THÊM NÂNG CAO
Chủ đề : Hàm số trùng phương và các bài toán liên quan
Bài 1 : Cho hàm số y = -x
4
+ 2x
2
+ 3
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2/ Dựa vào đồ thị ( C ), hãy xác định các giá trị m để phương trình : x
4
- 2x
2
+ m = 0 có bốn nghiệm phân
biệt.
Bài 2 : Cho hàm số y = -
24
2
4
1
xx +
có đồ thị là ( C )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và đường thẳng : y = 4.
Bài 3 : Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
- 1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ -2 ; 0 ]
Bài 4 : Cho hàm số y = -x

+ m + 1 ( m : tham số ) có đồ thị là ( Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1.
2/ Xác định m để ( Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 8 : Cho hàm số y = ( 1 - m ) x
4
- mx
2
+ 2m -1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1.
2/ Xác định các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị.
Bài 9 : Cho hàm số y = mx
4
- ( m
2
- 9 ) x
2
+10 ( m : tham số ) có đồ thị ( Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2/ Gọi M là điểm thuộc ( Cm ) có hoành độ x
0
= 1. Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M song song
với đường thắng y = 18x - 1
Bài 10 : Cho hàm số y =
bax
x
+−
2
4
2
( a, b : tham số )

;1
, y' < 0 nên hàm số nghịch biến.
+ Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ; y
cđ
= y (-1) = 4
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; y
cđ
= y (1) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y
ct
= y (0) = 3
+ Lim y = -
∞
; Lim y = -
∞
x
→
-
∞
x
→
+
∞

+ y" = -12x
2
+ 4
y" = 0
3
1





9
32
;
3
1
+ Bảng biến thiên :
x -
∞
-1 0 1 +
∞

y' + 0 - 0 + 0 -
y 4 3 4
-
∞
-
∞
+ Đồ thị
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Vậy giá trị m phải tìm là : 0 < m < 1
0,5
0,25
0,25
0,25 ( từ đồ thị )
0,25
Bài 2 : ( 3,5đ )
Đáp án Điểm
+ Tập xác định : D = R
+ y' = -x
3
+ 4x
y' = 0



±=
=
⇔
2
0
x
x
+ Trên các khoảng :
( )
2;
−∞−
và (0;2), y' > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng : (-2;0) và (2;+
∞

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
x -
∞
-
3
2

3
2
+
∞
y - 0 + 0 -
ĐT lồi đ.uốn lõm đ.uốn lồi







−
9
20
;
3
2

2
d: y = 4
4
-2
2
2
O
1
-2
2/ Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = 4 là :
-
42
4
1
24
=+
xx
0168
24
=+−⇔
xx
⇔

2
±=
x
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Ta có : S = 2
dxxx
∫

20
1






−+−
xxx
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
=
15
128
( đvdt )
0,25
Bài 3 : ( 3,5đ )
Đáp án Điểm
1/ + Tập xác định : D = R
+ y' = 4x
3
- 4x
y' = 0
⇔


CT
= y
CĐ
= -2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CĐ
= y(0) = -1
+ Lim y = +
∞
; Lim y = +
∞
x
→
-
∞
x
→
+
∞
+ y'' = 12x
2
- 4
y'' = 0
⇔
x =
3
1
±

x -




−
9
14
;
3
1
+ Bảng biến thiên :
x -
∞
-1 0 1 +
∞

y' - 0 + 0 - 0 +
y +
∞
+
∞

-2 -1 -2
+ Đồ thị
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Vậy : Maxy = y(-2) = 7
[-2;0]
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4 : ( 3,5đ )
Đáp án Điểm
1/ + Tập xác định : D = R
+ y' = -4x
3
+ 4x
y' = 0



±=
=
⇔
1
0
x
x
+ Trên các khoảng
( )
1;
−∞−
và (0;1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Trên các khoảng (-1;0) và

3
1
±=⇔ x
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
x -
∞
-
3
1

3
1
+
∞

y'' - 0 + 0 -

ĐT lồi đ.uốn lõm đ.uốn lồi







−

x
y
-
2
2
1
-1
O
1
2/ + Gọi
∆
là đường thẳng đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k nên
∆
: y = kx + 1
∆
tiếp xúc với ( C )
⇔
hệ sau có nghiệm.





=+−
+=+−
kxx
knxx
44
12
3

y' = 0
⇔




±=
=
1
0
x
x
+ Trên các khoảng
( )
1;
−∞−
và (0;1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến
+ Trên các khoảng (-1;0) và
( )
+∞
;1
, y' > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; y
CT
= y(-1) = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y
CT
= y(1) = 0
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CĐ

1
+
∞

y'' + 0 - 0 +

ĐT lõm đ.uốn lồi đ.uốn lõm







−
9
4
;
3
1







9
4
;

0,5
2/ - x
4
+ 2x
2
+ m = 0

⇔
x
4
- 2x
2
+ 1 = m + 1
Số nghiệm của phương trình đã cho bắng số giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = m +
1
Từ đồ thị ta có :
+ m + 1 < 0
⇔
m < - 1 : phương trình vô nghiệm
+ m + 1 = 0
⇔
m = -1 : phương trình có hai nghiệm phân biệt
+ 0 < m + 1 < 1
⇔
-1 < m < 0 : phương trình có bốn nghiệm phân biệt
+ m + 1 = 1
⇔
m = 0 : phương trình có ba nghiệm
+ m + 1 > 1
⇔

và
( )
2;0
; y' < 0 nên hàm số nghịch biến
+ Trên các khoảng
( )
0;2−
và
( )
+∞;2
; y; > 0 nên hàm số đồng biến
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = -
2
, y
CT
= y(-
2
) = -1
Hàm số đạt cực tiểu tại x =
2
, y
CT
= y(
2
) = -1
Hàm số đạt cực đại tại x = 0,y
CĐ
= y(0) = 3
+ y'' = 12x
2

7
;
3
2









9
7
;
3
2

+ Bảng biến thiên :
x -
∞
-
2
0
2
+
∞

y' - 0 + 0 - 0 +

Hệ phương trình sau có nghiệm
( )
( )





=+−
+=+++−
xxmx
xmxmx
4144
121212
3
224

Ta có : x(x
2
- m - 2 ) = 0

⇔




+=
=
2
0

+ y' = -4x
3
- 2x
y' = 0
⇔
x = 0
+ Trên khoảng (-
∞
;0) ; y' > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Trên khoảng (0;+
∞
) ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến.
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y
cđ
= y (0) = 2
+ Lim y = -
∞
; Lim y = -
∞
x
→
-
∞
x
→
+
∞
+ y'' = -12x
2
- 2 < 0 ;

-1
O
1
2

2/ Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và trục hoành là :
-x
4
- mx
2
+ m + 1 = 0
⇔
x
4
+ mx
2
- m - 1 = 0 ( 1 )
Đặt t = x
2

0≥
: t
2
+ mt - m - 1 = 0 ( 2 )
( Cm ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
⇔
Phương trình ( 1 ) có 4 nghiệm phân biệt.
⇔
Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt.
⇔

⇔
12
1
0
2
−<≠−⇔





−<
<
−≠
m
m
m
m
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 8 : ( 3,5đ )
Đáp án Điểm
1/ Khi m = -1
⇒
y = 2x
4
+ x

+ y = 24x
2
+ 2 > 0 ;
Rx
∈∀
⇒
Đồ thị hàm số lõm trong (-
∞
;+
∞
) và không có điểm uốn.
+ Bảng biến thiên :
x -
∞
0 +
∞

y' - 0 +

y +
∞
+
∞

-3
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

x
(1)
+ Hàm số có 3 điểm cực trị
⇔
phương trình : y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và đối dấu khi
x qua các nghiệm đó.
⇔
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
≠
0
⇔

10
10
1
0
1
1
<<⇔



<<
≠
⇔








±=
=
⇔
2
0
x
x
+ Trên các khoảng (-
∞
;-2) và (0;2) ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến.
+ Trên các khoảng (-2;0) và (2;+
∞
) ; y' > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2, y
ct
= y (-2) = -6
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y
ct
= y (2) = -6
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
cđ
= y (0) = 10
+ Lim y = +
∞
; Lim y = +
∞

x

ĐT lõm Đ.uốn lồi Đ.uốn lõm









−
9
10
;
3
2









9
10
;
3
2

4m - 2(m
2
- 9) = 18
⇔
2m
2
- 4m = 0
⇔




=
=
)(2
0
loaim
m
Vậy : m = 0
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 10 : (3,5đ)
Đáp án Điểm
1/ + y' = 2x
3


=
−=
⇔
1
2
3
a
b
2/ Khi a = 1 ; b = -
2
3
2
3
2
2
4
−−=⇒ x
x
y
+ Tập xác định : D = R
+ y' = 2x
3
- 2x
y' = 0



±=
=

x
→
+
∞
+ y" = 6x
2
-2
y" = 0
3
1
±=⇔ x
x -
∞
-
3
1

3
1
+
∞

y'' + 0 - 0 +

ĐT lõm đ.uốn lồi đ.uốn lõm






0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
x -
∞
-1 0 1 +
∞

y' - 0 + 0 - 0 +
y +
∞
+
∞

-2 -
2
3
-2
+ Đồ thị :
x
y
-
6
2
6
2
-2