www.vnmath.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)Câu 1 (2 điểm)
1. Cho hàm số
2
1
x
y
x



có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến
của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm
cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.
2.
Tìm m để hàm số
2
99yxmx  có cực đại.

Câu 2
(2 điểm)

xxx x



 


. Từ đó suy ra trong
mọi tam giác nhọn ABC ta có
93
tan tan tan sin sin sin
2
ABCABC.
2.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
44 16yx x x

   .

Câu 4
(3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA =
3a và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy.
1.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại
B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.
2.
M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho

Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
www.VNMATH.com
www.vnmath.com
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
Câu Ý Nội dung Điểm
I 1
CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M
1,00
2
() ; , 1
1
a
MC Ma a
a


 



.
22
33
''()
(1) (1)
yya
xa
0,25
1
5
1;
1
a
AA
a


   



,


2
21;1BBa

   
0,25

115 16
.1.22 216
221 21
IAB
a



22222
00
81( 9) ( 81) 81.9
mx mx
xmxmx




  

(I) 0,25
TH 1.
22
81 9 9 . 9 9 9( )mmmxxxx   
nên
2
2
99
'0,
9
xmx

m
yx x
xx


là điểm cực tiểu 9m loại 0,25 TH 3.
2
2
27
9()
81
mIx
m
   


22
22
22
9
''( ) 0
(9) 9
m
yx x

1006 1006
1005
1
(1 )
2
tt 
(2)
0,25
Xét hàm số


1006 1006
() (1 ) , 0;1ft t t t 
1005 1005
'( ) 1006[ (1 ) ]ft t t;
1
'( ) 0
2
ft t



0,25

1005 1005
0;1
11 1
(0) (1) 1, min ( )
22 2
ff f ft

xx yy
xyxy








1,00
ĐK: 1y  .
22
(1) 1 1xy y x  

2222 22
2112(1)(1)xxyyy x y x   

2 2 22 22 2 2 2 2
(1)(1) 1 1xy y x x y x y y x x y    

0,25
Kết hợp với (2) ta được
22
2
22
10


0,25 Thử lại ta có 0, 1
x
y và
12
,
33
xy
thỏa mãn hệ pt
Vậy hệ có 2 nghiệm như trên

0,25
III 1
Chứng minh
93
tan sin ( 3 ), 0;
22 2
xxx x



 


.
1,00


xxfx


 


cùng
dấu với 1 2cos
x
 . Bảng biến thiên của ( )
f
x
x 0
3


2


'( )
f
x
- 0 +
()
f
x


22 2
fx x x x x



 



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
x



Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên
,, 0;
2
ABC







93
tan sin ( 3 )
22
AAA

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
44 16yx x x

  
1,00

TXĐ:


4;4D  . Đặt 44,0tx xt

  . Bình phương ta
được
2
82( 4)(4 )8txx   
. Dấu bằng có khi x=
4

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có
2
82( 4)(4 )8( 4)(4 )16txxx x       
.D bằng có khi x=0
Do
022 4tt 

Khi đó
2
2
81



khi
x= 4
 0,25

0,25

0,25

0,25

IV 1
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a
1,50
www.VNMATH.com
www.vnmath.com
C'
D'
B'
C
A
B
D


22
.''
2222
.
' ' '. '. 3 3 9

45 20
SABC
S ABC
V SB SC SBSBSCSC SA SA
VSBSCSBSCSBSC
  
(1)
22
.''
2222
.
'' '. '. 339

45 20
SADC
SADC
VSDSCSDSDSCSCSASA
VSDSCSDSCSDSC
   (2)

0,25
0,25
2
Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN
1,50
( Hình vẽ trang cuối)
.
1
3
3
SAMN AMN
VSa . Đặt ,
B
MxDNy

 ;


,0;
x
ya


Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP BM x




,
A
BM ADP AM AP BAM DAP 
22 22 22 2
222()
x
yxyaxaxayayxyaxya    
0,25
www.VNMATH.com
www.vnmath.com
2
aax
y
x
a




Thế vào (*) ta được
2
1
()
2
MAN
aax
Sax
x
a



ffa,
2
(( 2 1) ) ( 2 1)faa




2
0;
max ( )
2
a
a
fx,

2
0;
min ( ) ( 2 1)
a
fx a


Vậy
3
.
3
max
6
SAMN
a


0,25
V
222
222222
111
5( )
333
aab bbc cca
abc
a abc b bca c cab
  

  

1,00
,0
x
y ta có
2
22 2 2
22 2
x
x


0,25
2 2 2 2222222222
5 3 2 (10)( )
220
a b c aaaaabbbcc  

2
()
532
25 25
aaaaabbbcc
abc





0,25

Tương tự, cộng lại ta được
222
222222
111
5( )
333
aab bbc cca

P
www.VNMATH.com