SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Phần I. MỞ ĐẦU
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đề
làm thế nào để đẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt là
đổi mới để nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những phương pháp
được chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó là dạy học theo quan điểm hoạt động.
Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành
trên những tư tưởng chủ đạo sau.
i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần
tương thích với nội dung và mục đích dạy học.
ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.
iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như
phương tiện và kết quả hoạt động.
iv) Phân bậc hoạt động .
Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của
phương pháp dạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong
quá trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ
thông” mà tác giả đã trực tiếp giảng dạy và kiểm nghiệm
Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp
có thể chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là
654321
,,,,, HHHHHH
.
Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác
như sau.
1
H
:Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh đã nhận dạng được phương
trình cần giải thì chuyển qua
2

Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau ,thường
xuất hiện đan kết hoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải
phương trình thành các hoạt động trên giúp giáo viên nắm được cách thức tiến
hành toàn bộ dạy học phương trình .
II.CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1.Về phía học sinh.
Giải phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong
chương trình Đại số và giải tích 11,hơn nữa đây cũng là nội dung “cứng”
trong cấu trúc ra đề thi đại học của Bộ GD và ĐT .Tuy nhiên khi đụng đến
biến đổi lượng giác nói chung và giải phương trình lượng giác nói riêng thì
học sinh còn khá lúng túng,thậm chí một bộ phận lớn học sinh còn cảm giác
“sợ” nội dung này.
Có rất nhiều tài liệu tham khảo về giải phương trình lượng giác ,nhưng
hầu hết đều chú ý đến số lượng các ví dụ nhiều hơn là đi định hướng cho học
sinh có một cái nhìn sâu sắc ,bản chất .
2.Về phía giáo viên.
Việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách chi tiết là khó khăn,bởi
số tiết dành cho nội dung này là hạn chế,so với một lượng kiến thức có thể nói
là rất đồ sộ.Vì vậy việc tìm ra cho mình một phương pháp giảng dạy có tính
hiệu quả cao,trong một thời gian ngắn là một điều rất cần thiết đối với bất kì
giáo viên nào.
Do đó tôi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ này với mong
muốn mang đến cho bạn đọc một cách nhìn mới trên nội dung cũ nhằm góp
phần đưa những tiết học về nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôi
động và hiệu quả hơn.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
2
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Phần II
THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY

trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất về biến đổi tương
đương phương trình.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
3
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Chi tiết và cụ thể hơn chúng ta có thể phân dạng các phương trình
lượng giác thành:
I.Phương trình lượng giác cơ bản .
II.Phương trình lượng giác gần cơ bản.
III.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
IV.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.
V.Các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích .
VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn.
VII.Các phương trình lượng giác không mẫu mực.
Các dạng IV,V ,VI,VII có thể phân dạng một cách chi tiết hơn như sau:
IV1. Phương trình có thể đại số hóa.
a. Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác .
b. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
c. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
V1. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích.
a. Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0.
b. Dạng sử dụng công thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích .
c. Dạng chứa những biểu thức có thừa số chung.
d. Dạng phương trình có những liên quan đặc biệt.
VI1. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.
a. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức .
b. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong dấu căn.
c. Phương trình lượng giác chứa ẩn trong lôgarit.
d. Phương trình lượng giác trên một miền .
VII1. Phương trình lượng giác không mẫu mực.

2
2
1
1
cot,
1
2
tan,
1
1
cos'
1
2
sin
t
t
x
t
t
x
t
t
x
t
t
x
−
+
=
−

1+cosx
cos
2
2
x
,cot
2
2
x
,sin
2
2
x
,tan
2
2
x
…
1-cosx
tan,sin,
2
tan,
2
sin
2222
xx
xx
1+sinx
),
24

2. Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
6
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt
động dạy học giải phương trình lượng giác. Phần lớn các phương trình lượng
giác có dạng thức không chỉ ra ngay con đường đi đến lời giải. Việc nhận ra dạng
phương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho người làm một thuật toán chung, tổng
quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải. Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viên
cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.
Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm
say mê, háo hức của học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển
của giáo viên. Vì vậy mỗi giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không
ngừng nâng cao năng lực tiến hành biến đổi phương trình.
2.1. Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản.
* Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các
phương trình lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn
mạnh các phương trình
sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb.
* Phương trình lượng giác gần cơ bản.
Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên.
Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a.
2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0.
Bằng cách chia hai vế của phương trình cho
22
ba +
và chú ý rằng
1

ba
b
ba
a
+
=
+
=
αα
,với
α
là một góc xác định nào đó.
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
22
)sin(
ba
c
x
+
=+
α
,đây chính là
phương trình cơ bản.
Sử dụng cách giải phương trình này ta có thể áp dụng được cho những
phương trình dạng sau:
2222
),(cos)(sin)(cos)(sin dcbaxgdxgcxfbxfa +=++=+
.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
7

phương trình đối xứng với tanx và cotx.Chú ý rằng
:tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x.
nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx hoặc t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx
ta có các công thức biến đổi:S
2
=
2cottan
222
−=+ txx
.

ttxxS 3cottan
333
3
−=+=
.

24cottan
2444
4
+−=+= ttxxS
.
e. Qui trình biến đổi phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx như sau:
Bước 1.Làm cho tất cả các số hạng đều cùng bậc bằng cách nhân từng
số hạng với biểu thức
k
xx )cos(sin
22
+
,với k lựa chọn thích hợp.

coscos yxyxyx ++−=
))cos()(cos(
2
1
sinsin yxyxyx ++−=
))sin()(sin(
2
1
cossin yxyxyx ++−=
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
9
Ba hệ thức
cơ bản
Quy gọn góc Cộng cung
Góc nhân đôi
nhân ba
Hạ bậc
Tích thành tổng
Tổng thành tích
Đột biến cơ bản
Hữu tỉ hoá
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Các em có thể nhận xét quy luật viết khai triển ở vế phải (góc trừ trước,
góc cộng sau) rồi luyện đọc thành lời:
Cos nhân cos bằng một phần hai cos trừ cộng cos cộng…
Bằng cách cho cả lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh rất
nhanh chóng thuộc tất cả các công thức nói trên. Sau đây là một số kỹ năng
biến đổi thường dùng:
a. Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = 0 tương đương với
0)sin4sin3(cossin2sin

xxxxxx 3cos2coscos3sin2sinsin ++=++
.
H
2
: Hai vế phương trình là những tổng lượng giác, không có số hạng
đồng dạng để đơn giản, vì vậy ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằm
mục đích làm xuất hiện nhân tử chung để đưa phương trình về dạng tích. Chú
ý đến các góc nửa tổng và nửa hiệu ta thấy nên nhóm sinx+3sinx ở vế trái,
cosx + 3cosx ở vế phải, còn góc nửa tổng sẽ là
x
xx
2
2
3
=
+
.
Vậy ta biến đổi
xxxxxx 2cos)3cos(cos2sin)3sin(sin ++=++

xxxxxx 2coscos2cos22sincos2sin2 +=+<=>
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
10
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
0)2cos2)(sin1cos2(
)1cos2(2cos)1cos2(2sin
2coscos2cos22sincos2sin2
=++<=>
+=+<=>
+=+<=>

=
xxx
xxxx
Cũng có thể biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x và dùng công
thức góc bội ta biến đổi phương trình thành
sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0)
0)2cos2sin4(sin
2
=−+<=> ttt
Ví dụ 5:
04sin2sin
2
3
cos
2
cos
2222
=+++ xx
xx
H
2
: Tất cả các số hạng đều là bậc 2 với cos hoặc sin do đó ta dùng công
thức hạ bậc, phương trình được biến đổi thành:
08cos4cos3coscos
0
2
8cos1
2
4cos1
2

hàm số lượng giác mà không có thừa số chung, khi đó nên tìm cách biến tích
thành tổng để rút gọn các số hạng đồng dạng rồi mới biến tích thành tổng.
Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7x
H
2
: Hai vế là hai tích không có nhân tử chung, nếu biến tích thành tổng
thì phương trình tương đương với
xx
xxxx
9cos11cos
)11cos3(cos
2
1
)9cos3(cos
2
1
=<=>
+=+
c. Sử dụng đồng nhất thức đối xứng
1cossin
22
=+ xx
từ hệ thức cơ bản
này ta rút ra các biến đổi thành tích sau:
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
11
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
)1cos2)(1cos2(sin43
)1sin2)(1sin2(1sin4)sin1(43cos43
)cos1)(cos1(cos1sin

xxx
xxx
Ví dụ 8: Giải phương trình:
xxxxx
2
coscos1cossinsin
++=+
H
2
: Có
)sin1(coscossincos
)sin1)(sin1(sin1cos
22
xxxxx
xxxx
−=−
+−=−=
Phương trình được biến đổi thành:
0))
4
cos(22)(sin1(
0)sincos2)(sin1(
0sin1)sin1(cos)sin1(
2
=−+−⇔
=++−⇔
=−+−+−
π
xx
xxx

2
xcos
2
x+sin
2
x
hoặc cos
4
x-cos2x=cos
4
x-(2cos
2
x-1)=(1-cos
2
x)
2
=sin
4
x
hoặc cos2x = cos
2
x - sin
2
x=cos
2
x - sin
4
x - sin
4
x

x. Nếu
dùng cos2x-sin
2
x thì phương trình được biến đổi thành.
0)]cos(sin2)cos)[(sinsin1(
0]cos2sin2cossin21)[sin1(
0)sin1(sin)1cos2)(sin1(
0)sin1(sin)1cos2(cos
0sinsincoscos2
2
2
2
223
=+++−⇔
=+++−⇔
=−++−⇔
=−++⇔
=+−+
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Nếu dựng công thức cos2x=2cos
2
x -1 thì phương trình được biến đổi thành
0)sin1()1(coscos2
0sin1cos2cos2
2
23

sin1
cos1
sin1
cos1
tan
2
2
2
+
−
−
+
=
−
−
=
phương trình tương
đương với:

0)1)(1
cos
1
(
0
cos
)sin(cos
.
cos
cos1
0)1

: nhóm các số hạng cùng hệ số ta được
3sinx-3tanx = 2-cosx
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
13
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
0)tan32)(cos1(
)cos1((2)1.(costan3
)cos1(2tan3cos.tan3
=−−⇔
−=−⇔
−=−⇔
xx
xxx
xxxx
Ví dụ 12: 2(tanx-sinx)+3(cotx-cosx)+5=0
H
2
: chú ý đến mối liên hệ giữa các hệ số 5=2+3 ta biến đổi vế trái
phương trình thành
2(tanx-sinx+1)+3(cotx-cosx+1)
)
sin
2
cos
2
)(cossincos(sin
xx
xxxx
+−+=
2.5. Các phép toán chia, khai căn, logarit không phải luôn xác định, vì

coscos
)sin(
tantan
log
2121
21
2
>≠>=
−=
>≠>=
>=
±≠≠
+
±
=+
≠
−
±=±
≠
+
=±
baba
bbbb
bbabb
aaa
baba
ba
ba
ba
ba

2
: để khử mẫu số, cần nhân 2 vế phương trình với cosx.sinx; để bảo
đảm không xuất hiện nghiệm ngoại lai khi áp dụng phép biến đổi đó cần có
điều kiện cosxsinx ≠0. Mặt khác việc đặt điều kiện bổ xung này không làm
thu hẹp tập các giá trị cần xem xét của x và tập xác định của phương trình là
tập tất cả các x thoả mãn điều kiện cosx.sinx≠0. Vậy phương trình đó cho
tương đương với hệ:



+=
≠
)1(cossin3cossin8
)(0sin.cos
2
xxxx
axx
Chú ý rằng, nếu x là một nghiệm của (1) và không thoả mãn điều kiện
(a) thì ta có đồng thời 2 đẳng thức.





+=



=
±=

(1)
)cos)(sincossin3(cossin8
222
xxxxxx ++=⇔
0coscossin3cossin7sin3
3223
=−−+⇔ xxxxxx
Rút cos làm thừa số nên cosx =0 là nghiệm phương trình, do đó chia
phương trình cho cos
3
x và đặt t=tanx ta được:
0coscossin3cossin7sin3
3223
=−−+ xxxxx
Kết quả dẫn đến việc giải một phương trình bậc 3 không nhẩm được
nghiệm và rất khó giải.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
15
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Trở lại phương trình (1), ta nhận thấy 2 vế là những hàm lượng giác
của cung x nhưng có bậc khác nhau. Để giảm sự khác biệt về bậc, có thể thực
hiện các phép biến đổi tích thành tổng hoặc hạ bậc, chẳng hạn biến đổi.
xxx
xxxx
cossin33coscos2
cossin3sin2sin4)1(
+=+<=>
+=<=>
Xem phương trình được như phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx ta
viết:

nghiệm và không làm thay đổi tập xác định của phương trình.
- Không cần thiết và không nên giải điều kiện bổ sung vừa đặt ra, đối
với các nghiệm của phương trình thu được cần tìm cách thử trực tiếp hoặc
gián tiếp các điều kiện đó.
Ví dụ 14: 3tan3x + cot2x=2tanx+
x4sin
2
H
2
: Chú ý đến đặc điểm các hệ số có thể biến đổi phương trình thành
tan3x+tan2x+2(tan3x-tanx)=
xx 2cos2sin2
2

xxxx
xxx
xxxx
x
xx
xx
2cos2sin
1
2sin3cos
sin2sin4cos
2cos2sin
1
cos3cos
2sin2
2sin3cos
)23cos(

2cos
02sin0sin
02sin
x
loaixx
x
Để thử điều kiện cos3xsin2xcos2x≠0 ta biểu diễn điều kiện này thông
qua cos2x:
sin2x≠0
⇔
cos2x≠±1
0cos3cos403cos
3
=−<=>≠ xxx





≠−+<=>≠−
≠
+
<=>≠<=>≠
<=>
03)2cos1(203cos4
0
2
2cos1
0cos0cos
2

2
1
,1,02cos ±≠x
và nghiệm
4
1
2cos =x
thoả mãn điều kiện đã nêu.
Ví dụ 15: tan(120
0
+3x)-tan(140
0
-x)=2sin(80
0
+2x)
H
2
: có thể thực hiện phép biến đổi tổng thành tích cho vế trái nhưng học
sinh không tìm thấy thừa số chung để đưa phương trình về dạng tích. Tuy nhiên,
chú ý rằng 80
0
+2x=2(40
0
+x), 140
0
-x=180
0
-(40
0
+x), 120

−+
=
+
⇔
=⇔
Để khử mẫu số, cần có điều kiện 2cos
2
2t+cos2t-1≠0
⇔
cos2t≠-1,
2
1
với
điều kiện này phương trình tương đương với:
4sin2tcos2t=2sin2t(2cos
2
2t+cos2t-1)
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
17
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11




−==
±=<=>=
<=>
=−−<=>
2
1

2
: Để khử mẫu số, trước hết cần đặt điều kiện cosx≠0, phương trình
tương đương với
xxxx cossin4cos1cos1 =+−−
Nếu khử căn bằng cách sử dụng công thức góp nhân đôi thì lại xuất
hiện giá trị tuyệt đối.
2
cos2cos1
2
sin2cos1
x
x
x
x
=−
=−
Để phá dấu giá trị tuyệt đối lại phải xét dấu
2
cos
x
và
2
sin
x
bài toán
không đơn giản.
Muốn khử căn bằng cách bình phương 2 vế xét dấu 2 vế, cũng phức
tạp. Mặt khác lượng liên hợp của vế trái là tổng hai căn số học, nhận giá trị
dương, do đó ta biến đổi phương trình thành.
0)1sin2sin4)(1sin2(

⇔
sinx≠±1 và sin x<(0)
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
18
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Ví dụ 17: Giải phương trình:
0)2cos
2
(sinlog)sin
3
(sinlog
3
13
=++− x
x
x
x
.
H
2:
Áp dụng công thức đối cơ số, phương trình được biến đổi thành
)2cos
2
(sinlog)sin
2
(sinlog
0)2cos
2
(sinlog)sin
2

dkxx
x
x
x
x









+=
+−=
+=
<=>




−=
=
<=>
π
π
π
π
π

- Với
π
π
kx 2
6
+=
thì điều kiện
0)
12
sin(
2
1
0)
2
1
()
12
sin( >−−<=>>−−+
−
<=>
π
π
π
π
kk






6
7
+=
thì điều kiện tương đương với
0
2
1
)
12
7
sin( >++
π
π
k







>+−
>+
0
2
1
12
5
sin
0

2
1
12
5
sin
π
π
chú ý rằng
2
1
12
5
sin
212
5
6
0 >=><<<
ππππ
do đó nghiệm
kx 2
6
7
+=
π
chỉ thoả mãn điều kiện đặt ra khi k =2n (k chẵn)
Vậy phương trình có nghiệm
π
π
π
π

1
và
π
π
nx ++−=
12
7
2
1
Cần chọn k và n nguyên để nghiệm tìm được thuộc khoảng (0,
π
), dẫn
đến việc giải 2 bất phương trình nghiệm sau đây:
ππ
π
<+−−< k
122
1
0
(1)
ππ
π
<+−−< n
12
7
2
1
0
(2)
Nếu giải các hệ bất phương trình trên theo phương pháp thông thường

Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
20
Nếu k chẵn
Nếu k lẻ
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Chú ý rằng
0
12
1
2
1
1
12
1
6
1
12
1
2
1
03 =






+=><+<+<>>
ππ
π

Tượng tự tìm được n=0 => nghiệm
12
7
2
1
π
+−=x

Cũng có thể lập luận theo cách khác như sau:
Khi k thay đổi,
π
π
kx +−−=
122
1
là một hàm số đồng biến
Khi
0
≤
k
thì
0
122
1
<−−≤
π
x

Khi
2

π
<+−−=
122
1
x
2.7. Phương trình không mẫu mực
Nhiều phương trình lượng giác không thể đưa được về dạng cơ bản nếu
chỉ áp dụng các phép biến đổi thông thường. Những phương trình như thế
được gọi là các phương trình không mẫu mực, cách giải chúng không theo
những qui trình mẫu mực, thụng thường mà lại đòi hỏi học sinh phải có khả
năng quan sát, so sánh, đối chiếu các biểu thức chứa ẩn có mặt trong phương
trình để đề ra cách giải thích hợp. Về cơ bản có hai cách giải phương trình
không mẫu mực: đánh giá, ước lượng các biểu thức trong phương trình
(phương pháp sử dụng bất đẳng thức) hoặc sử dụng tính chất hàm số hoặc đồ
thị để giải phương trình.
Việc giải các phương trình không mẫu mực bằng phương pháp đánh giá
thường dựa vào các mệnh đề tương đương sau đây:
i) Nếu f(x) ≥A và g(x) ≤A (A là hằng số)
∈∀
x
tập xác định thì
f(x) =g(x) 



=
=
Axg
Axf
)(

2
(x)+bf(x)+c=0 





−=
=∆
a
b
xf
2
)(
0

Ví dụ 19: Giải phương trình:Sin
10
x + cos
8
x=1
H
2
: có thể biến đổi phương trình về dạng đẳng cấp bậc 10 nhưng hệ số
rất cồng kềnh. Mặc dù, chú ý rằng 1=sin
2
x

+cos
2

82
xx
xx





==
==
⇔
1cos,0cos
1sin,0sin
22
22
xx
xx



±=
=
<=>
1sin
0sin
x
x
.
Ví dụ 20:Giải phương trình:
3sin2sinsin2sin

2

do đó phương trình tương đương với:





=−
=−+
2sin2sin
2sin2sin
2
2
xx
xx
Khi đó sin x và
x
2
sin2 −
là nghiệm của phương trình:
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
22
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
)2,1(022
2
===+− tttt
1sin
1sin2
1sin

Nếu sinx = x
2
+x+1 thì x
2
+x+1 ≤1
=>
[ ] [ ]
14/3)2/1(0sin
0,2/0,1010
22
2
++=++<≤=>
−⊂−∈=><−−=>≤+
xxxx
xxx
π
=> Phương trình vô nghiệm
3. Giải phương trình nhận được (H
3
)
Nếu hoạt động H
2
(biến đổi phương trình về dạng quen thuộc) là quan
trọng nhất thì hoạt động H
3
có vai trò quyết định trong toàn bộ hoạt động giải
phương trình lượng giác. Theo chúng tôi, trước hết giáo viên cần dành thời
gian thích đáng để rèn luyện kỹ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản
và đây là khâu quyết định cuối cùng của bất cứ hoạt động giải phương trình
lượng giác nào; sản phẩm thu được có đạt yêu cầu, bảo đảm chất lượng hay

lý sau:
Định lý: Nếu
11
≤≤−
a
thì trong đoạn
π
≤≤
x0
phương trình cosx=a có
một nghiệm duy nhất, nghiệm này được ký hiệu là arccos a, trong đoạn
2/02/
≤≤−
x
π
phương trình sinx=a có nghiệm duy nhất, được ký hiệu là arcsin a.
Định lý: Với a là một số thực tuỳ ý đó cho, trong khoảng 0<x<
π
phương trình cotx=a có nghiệm duy nhất ký hiệu là arccota; trong khoảng
2/2/
ππ
<<− x
phương trình tanx=a có nghiệm duy nhất ký hiệu là arctana.
Hệ quả:
Bên cạnh việc nắm vững công thức nghiệm tổng quát của các phương
trình lượng giác cơ bản nêu trong hệ quả trên, giáo viên cũng cần lưu ý học
sinh dạng rút gọn của công thức nghiệm vào phương trình lượng giác đặc biệt.
Phương trình Nghiệm
cosx=0
ππ

cosx=a  x = arccosa + k
π
tgx=a  x = arcsina +k
π
SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11
Sau cùng, tính thuyết phục của một bài giải phụ thuộc vào khả năng trình
bày giải của học sinh: các phép đổi nào không tương đương, phân chia trường
hợp phải hợp lý, đầy đủ. Sau đây tôi sẽ trình bày bài giải cách ví dụ đã nêu.
Ví dụ 22:
0
4sin
2
tan22cot3tan3 =+++
x
xxx
H
3
: Phương trình có nghĩa









≠−<=>≠
±≠<=>≈<=>≠
±≠<=>≠<=>≠

xx
xx
2cos2sin
1
cos.3cos
2sin2
2sin.3cos
)23cos(
=+
−
<=>
0)12cos4(sin2sin
sin2sincos2cos2cossin2sin4cos2cos
3cos2cos)sin2sin4(cos
=+<=>
−=+<=>
=+<=>
xxx
xxxxxxxxx
xxxx







−=
=
=

xx
sin4
cos
cos1cos1
=
+−−
H
3
: Điều kiện có nghĩa: cosx≠0  sinx≠±1 (a)
Với điều kiện trên phương trình tương đương với
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá
25
(Không thoả mãn điều kiện (a))
(Không thoả mãn điều kiện (a))
(Thoả mãn điều kiện (a))