Chương 3
CHUỖI FOURIER
VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER
Nội dung
•
Một số dạng tín hiệu quan trọng
•
Khái niệm hàm tuần hoàn
•
Chuỗi Fourier
•
Tích phân Fourier – Biến đổi Fourier
•
Phân tích phổ tín hiệu
Một số dạng tín hiệu quan trọng
•
Tín hiệu xung vuông góc Π(t)
•
Hàm dốc (Ramp function)
•
Hàm bước nhảy đơn vị u(t)
•
Hàm xung lực đơn vị
•
Tín hiệu Sgn(t)
•
Tín hiệu xung tam giác
•
Hàm mũ suy giảm
•
Hàm mũ tăng dần

2
1
1
0
)()( ttx
Π=







<
>
=∏=
2
1
t, 1
2
1
, 0
)()(
t
ttx
c
0
)(.)(
b
ct



<
≥
=−
at
att
atr
,0
,
)(
K
1

Một số dạng tín hiệu quan trọng
Hàm bước nhảy đơn vị u(t)
0
)(tu
1
1/2



<
>
===
0t, 1
0t, 0
)(1)()( ttutx
0

Raadttadtta
∈==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
;)(.)(.
δδ
)(
)(1
)(1)()( t
dt
td
ttud
t
o
δττδ
=⇔==
∫
x(t). δ(t) = x(0).δ(t)
x(t).δ(t – t0) = x(t0). δ(t – t0)
)0()().( xdtttx
=
∫
∞
∞−
δ
)()().(
00

ττδτττδτδ
x(t)*δ(t - t0) = x(t-t0)
Hàm xung lực đơn vị
1
δ(t)
0
t
1)(
0t,
0t, 0
)(
=



=∞
≠
=
∫
∞
∞−
dtt
t
δ
δ
∫
∞+
∞−
=−


)tSgn()t(x
=
t





<−
=
>
==
0t,1
0t,0
0t,1
)t(Sgn)t(x
t
1
−
1
1
0
)()( ttx
Λ=





>

α
tetx
t
x(t)
0
X
Hàm mũ suy giảm Hàm mũ tăng dần
Một số dạng tín hiệu quan trọng
0,
2
.)(
>












−
∏=
−
α
α
T

π
−
0
X
Xung hàm mũ Tín hiệu xung cosin
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Tín hiệu sin suy giảm theo hàm mũ
Tín hiệu Gausse
|
|
-1
1
1
2
)(
t
etx
π
−
=
2
t
e)t(x
π−
=
X
-X
-t
0
ω






−++=
)
2
1
()
2
1
(
2
1
)(|| ttt
δδ






−−+=
)
2
1
()
2
1

Tính chất phân bố lược
( )
∑
∞
∞−=
−=
n
ntnxttx )().().(
δ
( )
∑
∞
∞−=
−=∗
n
ntxttx )()(
( ) ( )
tt
=−
( ) ( )
tnt =+
∑
∞
∞−=
−=






0
t
. . . .
. . . .
2
T
T
T
−
2
T
−
)(tx
0
t
. . . . . .
T
X
2T
-T
-T
τ
Một số dạng tín hiệu quan trọng
Tín hiệu Sinc
Tín hiệu Sinc2
Sinc(t)
1
0
0
ω

π
−





=
≠
==
0,1
0,
sin
)()(
0
0
0
t
t
t
t
tSinctx
ω
ω
ω
Sinc2(t)
1
0
0
ω

==
0,1
0,
)(
sin
)(
2
0
0
2
0
2
t
t
t
t
tSinctx
ω
ω
ω
Ví dụ
Khái niệm hàm tuần hoàn
Khái niệm Lưu ý
•
Không phải tất cả các hàm
tuần hoàn đều có chu kỳ cơ
bản
•
Nếu ω = n2π/2p thì 2π/ω =
2p/n là chu kỳ cơ bản của

n
nn
nxbnxa
a
p
xn
b
p
x
b
p
x
b
p
xn
a
p
x
a
p
x
aa
p
xn
b
p
xn
aa
nn
n

d
≠=
∫
+
ndt
p
tn
a
π
0sin )(
2pd
d
=
∫
+
dt
p
tn
b
π
nmdt
p
tn
p
tm
c
≠=
∫
+
;0cos.cos )(

tn
p
tm
f
≠=
∫
+
;0sin.sin )(
2pd
d
ππ
0;sin )(
2pd
d
2
≠=
∫
+
npdt
p
tn
g
π
Định lý Dirichlet
•
Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, bị chặn và có một số điểm xác
định không liên tục trong một chu kỳ của nó thì khi đó
chuỗi Fourier của f(t) sẽ hội tụ đến f(t) tại tất cả những
điểm mà f(t) liên tục. Còn tại những điểm mà f(t) không
liên tục, chuỗi Fourier của nó sẽ hội tụ đến giá trị trung








++=
1
0
sincos
2
1
)(
n
nn
p
tn
b
p
tn
aatf
ππ








T
tn
tf
T
dt
p
tn
tf
p
b
dt
T
tn
tf
T
dt
p
tn
tf
p
a
dttf
T
dttf
p
a
2
2
2
0

p
p
dttf
p
a ).(
1
0
∫
−
=
p
p
n
dt
p
tn
tf
p
a
π
cos)(
1
∫
−
=
p
p
n
dt
p

•
Khi đó:
∫∫
==
−
pp
p
dttf
p
dttf
p
a
0
0
).(
2
).(
1
∫∫
==
−
pp
p
n
dt
p
tn
tf
p
dt

2
sin)(
1
ππ