Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/
1

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) bằng đònh nghóa:
1.CMR hàm số :
2
2
x - x 2 + 1
F(x) = ln
x + x 2 + 1
là một nguyên hàm của hàm số
2
4
22(x - 1)
f(x) =
x + 1
trên R
2. CMR hàm số :
2
x(xlnx - 1)
khi x > 0
F(x) =
4
0 khi x = 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

⎪
⎩
trên R
4. . CMR hàm số : là một nguyên hàm của hàm số
trên R
x
2
e khi x 0
F(x) =
x + x + 1 khi x < 0
⎧
≥
⎪
⎨
⎪
⎩
x
e khi x 0
f(x) =
2x + 1 khi x < 0
⎧
≥
⎨
⎩

BÀI TẬP 2: Xác đònh các giá trò của tham số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b)
1.Xác đònh a; b; c để hàm số
bc
F(x) = (a + 1)sinx + sin2x + sin 3x
23

2x khi x 1
f(x) =
2 khi x > 1
≤
⎧
⎨
⎩

trên R

5. Xác đònh a; b để hàm số
x
e - 1
khi x 0
F(x) =
x
a khi x = 0
⎧
≠
⎪
⎨
⎪
⎩
là một nguyên hàm của hàm số
x
2
(x - 1)e + 1
khi x 0
f(x) =
x

2
2
2008
5
2
6
2006
1
Q = dx
2x + 1 + 3 - 2x
2
Q = dx
x - 4x + 3
4x - 9x - 1
Q = dx
4x - 9
1
Q = dx
x + x + 1
Q x1 - 3xdx
x
Q = dx
1 - x
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫

I = dx
cos x
1
I = dx
sin x
sinx + cosx
I = dx
sinx - cosx
I = 8cosx.sinxdx
I = sinx + cosxdx
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

1
2
x
x
3
x- x
x + 1 x - 1
4
x
3x - 2

∫
∫
∫
∫
∫
∫

BÀI TẬP 4: Tính tích phân
4
2
1
0
2
2
-
2
2
2
3
0
K = sin - x dx
4
K = sin 7x.sin2xdx
K = sinx.cos x - dx
4
π
π

π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
∫

2
2
1
- 2
5
2
2
4
2
3
- 1
L = x - 1dx
1
L = dx
x + 2 + x - 2
L = x - 3x + 2 dx
∫
∫

∫2
3
0
cos2x
Q = dx
cosx + 1
π
∫

2
4
2
1
e
5
1
1
x
6
0
x + 1
Q = dx
x + xlnx
2 + lnx
Q = dx
2x
Q = e dx
BÀI TẬP 5:Tích phân đổi biến cơ bản

10
1
2
0
7
3
2
3
2
0
1
32
3
0
2x
I = dx
x + x + 1
x
I = dx
x + 1
I = x x + 1dx
∫
∫
∫

6

2
2
0
22
2
3
0
4sinx
A = dx
sinx + cosx
12 + x
A = ln dx
4 - x 2 - x
A = x x + 1dx
π
∫
∫
∫BÀI TẬP 6 : Tích phân đổi biến

3
3
1
0
sin x
I = dx
cosx + 2
π

22
0
sinx + 7cosx + 6
T = dx
4sinx + 3cosx + 5
3sinx + 4cosx
T = dx
3sin x + 4cos x
π
π
∫
∫BÀI TẬP 7:Tích phân đổi biến chứa hàm hữu tỉ

2
1
2
1
8
2
2
3
4
3
2
7
1
I = dx

∫
∫

Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/
4
BÀI TẬP 8:
()
2
2
0
T = max f(x); g(x) dx trong đó f(x) = x và g(x) = 3x - 2
∫
1. Tính tích phân
2. Cho hàm số
x
cos khi x 1
2
f(x) =
x - 1 khi x > 1
π
⎧
≤
⎪
⎨
⎪
⎩
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số . từ đó tính tích

4. Tìm các hằng số a; b để
1
0
f(x) = a.sin x + b thỏa mãn f(1) = 2 va
ø
f(x)dx = 4π
∫

5. Tìm các hằng số a; b để
1
2
1
2
ab
f(x) = + + 2 thỏa mãn f'(x) = - 4 va
ø
f(x)dx = 2 - 3ln2
xx
∫

6. Cho f(x) liên tục trên R và thỏa mãn :
3
2
3
-
2
f(x) + f(- x) = 2 - 2cos2x , x R. Tính tích phân I = f(x)dx .
HD: Đặt x = - t
π
π

0
1
I = dx
1 + tgx
π
∫

10. . Cho hàm số
sinx
f(x) =
sinx + cosx3
0
cosx - sinx
a. Tìm A, B để f(x) = A + B b. Tính tích phân T = f(x)dx
cosx + sinx
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫

Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/
5
11. Cho hàm số
()
2
sin2x

2b
a
f(x) = a.sin2x - bcos2x thỏa mãn f' = - 2 và adx = 1
2
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫

14. Tìm a, b để
2
0
f(x) = a.sin2x + b thỏa mãn f'(0) = 4 và f(x)dx = 3
π
∫

BÀI TẬP 9 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
x = a sint ; - t hoặc x = a cost ; 0 t
22
ππ
≤≤ ≤≤π()
2
2
2
1
2

I = dx
1 - x
1
J = dx
1 - x
∫
∫

1
0
2
0
4
0
F = x 1 - xdx
cosx
G = dx
7 + cos2x
cosx + sinx
H = dx
3 + sin2x
π
π
∫
∫
∫BÀI TẬP 10 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
aa

J = dx
x
∫BÀI TẬP 11 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
x = atgt ; - < t < hoặc x = acotgt 0 < t <
22
ππ
π
Kết hợp dạng hữu tỷ
Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/
6
()()
3
2
2
1
3
2
0
3
2
1
1
22
0
9 + 3x
I = dx
x

Z = dx
x + x + 1
∫

1
2
1
4
6 + 10
2
1
2
2
4
0
1
4
3
6
0
1
2
3
0
1 + x
M = dx
1 + x
x - 1
M = dx
x + 1

()
1
5
0
1 - x
W = dx
1 + x
∫

1
2
- 1
1 + x
K = dx
1 - x
∫B ÀI TẬP 13 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
()
2
x = a + b - a sin t; 0 t
2
π
≤≤()()
a + b
2

1
I = dx
(x + 1)(x + 2)
1
I = dx
(x + 1)(x + 2)
−
∫
∫

()()
1
0
1
Q = dx
x + 1 x + 8
∫

()()
5
3
K = x - 1 9 - x dx
∫
B ÀI TẬP 15 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: đặt
x
t = tg
2

f(x)dx đặt x = - t

1
2006
1
1
2

3

2
x

I = x sinxdx
I = cosnx.cosmxdx
I = sin nx.sin mxdx
sin x
I = dx
2 + 1
−
π
−π
π
−π
π
−π
∫
∫
∫
∫

−
∫
∫
∫
∫

2
2
1
2

2
1
4
2
2
1
1
xx
3
1
x + cosx
M = dx
4 - sin x
x + sinx
M = dx
x + 1
M = (e .sin x + e x )dx
π
π

I = cos x.cos2xdx
π
∫
B ÀI TẬP 18 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt

2b
00a
f(x)dx đặt x = - t ; f(x)dx đặt x = 2 - t xf(x)dx đặt x = a + b - x
ππ
ππ
∫∫∫

2
1
0
I = x.sinx.cosxdx
π
∫

()
2
1
0
H = sinsinx + nxdx
π
∫



()
2
2
1
0
2
2
2
0
2
2
3
0
T = x + 1 sinxdx
T = x.sin xdx
T = x cosxdx
π
π
π
∫
∫
∫

3
1
0
3
2
2

Q = dx
7 + cos2x
Đặt t = sinx hoặc sinx = 2sint
π
π
∫
∫

3
4
2
0
4
5
0
2
6
0
x + sinx
T = dx
cos x
x + sinx
T = dx
1 + cosx
T = cosx.ln(cosx + 1)dx
π
π
π
∫
∫

2x
2
0
1
2
2x
3
0
e
2
4
1
N = x.e dx
N = x.e dx
N = x + 1 .e dx
N = x.lnxdx
−
−
∫
∫
∫
∫

()
()
e
2
1
1
1

2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
lnx
I = dx
x + 1
lnx
I = dx
x
ln x + 1
I = dx
x
x.ln x + x + 1
I = dx
x + 1
∫
∫
∫
∫B ÀI TẬP 20:Tích phân từng phần dạng kết hợp


e
2e
2
-x
0
x2
0
1
T = lnx + dx
2lnx
E = e .sin3xdx
H = e .sin x dx
π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
π
∫
∫
∫B ÀI TẬP 21 : Bài tập đổi biến – từng phần

2
3
1
0
3

2
3
0
I = sin xdx
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫

()
1
9
x
1
2
5
0
x1
F = 3 + + dx
sin 2x + 1
4x - 1
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫

B ÀI TẬP 22 :Tích phân từng phần dạng khó
Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/

∫B ÀI TẬP 23: Giải phương trình:

()
()
x
2
0
x
3
2
0
x
4
0
x
2
0
1
dt = 0
1 - t
1
dt = tgx
1 - t
3
4sin t - dt = 0
2
cos t - x dt = sinx

∫
()
x
t
0
x
2t -2t
0
e - 1dt = 0
e + e dt = 1
∫
∫

B ÀI TẬP 24: Giải phương trình ẩn x
(
)
x
2
22
3
2
t
dt = 6 - 2x 1 + 2 1 - x
1 - t 1 + 1 - t
∫

B ÀI TẬP 25: Giải và biện luận phương trình:

() ()
()( )


B ÀI TẬP 26: Giải các bất phương trình

()
()( )
3
-
4
2x - 1 + 1
2 + lnx x
t2
x lnx
e
x
2
22
0
dt dt
a. ln3 3 dt x - 4x + 3 b. <
t
2t
5t - 16t + 20
c. dt 0
t - 4 t - 5t + 4
≤
≤
∫∫
∫
∫
()

4
≤
∫
nghiệm đúng với
[
]
x - 1,1∈

3. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
() ()
x
2t t x
0
2 ln3 3 - 3 dt > 2m 3 + 1 + 3
∫