đại học tháI nguyên
Trờng đại học khoa học

vũ văn viết
PHÂN THứC HữU Tỷ Và
MộT Số Hệ PHƯƠNG TRìNH
Luận văn thạc sĩ toán học
Thái Nguyên 2012
đại học tháI nguyên
Trờng đại học khoa học
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
đại học tháI nguyên
Trờng đại học khoa học

vũ văn viết
PHÂN THứC HữU Tỷ Và
MộT Số Hệ PHƯƠNG TRìNH
Chuyên ngành : phơng pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40
Luận văn thạc sĩ toán học
NGƯờI HƯớNG DẫN KHOA HọC: pgs.ts đàm văn nhỉ
đại học tháI nguyên
Thỏi Nguyờn
2012
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
1
Mục lục
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU
Chương 1 Số phức và vành đa thức
1.1 Tính đóng đại số của trường

thức hữu tỷ vào nghiên cứu Toán sơ cấp như thế nào? Đặc biệt sử dụng các
kết quả về phân thức hữu tỷ để vào sáng tác các bài toán mới.
Với những lí do trên, là một giáo viên giảng dạy môn Toán trong trường
phổ thông, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: " Phân thức hữu tỷ và một số hệ
phương trình". Đích cuối cùng mà luận văn muốn đạt được là:
1/ Phân tích phân thức hữu tỷ thành tổng các phân thức đơn giản
2/ Giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn có liên quan đến phân thức
3/ Tính tổng và xây dựng một số đồng nhất thức trong tổ hợp
4/ Tính tích phân các phân thức hữu tỷ
5/ Nghiên cứu dãy số qua phân thức hữu tỷ
6/ Xây dựng bất đẳng thức hình học
Luận văn gồm hai chương:
Chương I: Giới thiệu về vành đa thức, số phức và tính đóng
đại số của trường

và việc nhúng

vào

để có thể coi

như một trường
con của trường

. Từ tính đóng của trường

suy ra sự phân tích đa thức
thành tích các nhân tử bất khả quy trong
 
x

 
 
, \T a b     
và định nghĩa phép toán:
   
     
     
, , ,
, , ,
, . , ,
a b c d a c b d
a b c d a c b d
a b c d ac bd ad bc
   
   
  
Để đơn giản, viết
   
, . ,a b c d
qua
   
, ,a b c d
. Từ định nghĩa của phép nhân:
(i) Với
 
0,1i T 
có
     
2
. 0,1 0,1 1,0i i i   

 
2
\ , , 1a bi a b i     
và ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
 
     
,
d .
a bi c di a c b d
a bi c di a c b d i
a bi c di ac b ad bc i
     
      
     
Mỗi phần tử
z a bi  
được gọi là một số phức với phần thực a, ký hiệu
Re z
, và phần ảo b, ký hiệu
Im z
, còn
i
gọi là đơn vị ảo. Số phức
a bi
được
gọi là số phức liên hợp của
z a bi 
và ký hiệu là

với
 
Oxy
qua việc đồng nhất
z
với
M
, thì mặt phẳng tọa
độ với biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng
Gauss.
Mệnh đề 1.1.2
Tập

là một trường chứa trường

như một trường con.
Chứng minh:
Dễ dàng kiểm tra

là một vành giao hoán với đơn vị là 1. Giả sử
0z a bi  
. Khi đó
2 2
0a b 
. Giả sử
z' : z' 1x yi C z   
hay
1
0
ax by

vì đồng nhất
a 
với
0a i 
nên có thể coi

là trường con của

.
Chú ý rằng nghịch đảo của
0z 
là
1
2
z
z
z


và
1
2
' '
'
z z z
z z
z
z

 

z
thì mọi argument của
z
đều có
dạng
2 ,k k
 
 
. Với
0z 
, ký hiệu
2k
 

là Argument của
z
.
Ký hiệu
r zz
. Khi đó số phức
, os , sinz a bi a rc b r
 
   
. Vậy khi
0z 
thì có thể biểu diễn
 
cos sinz r i
 
 

os sinz z r r c i
   
   
 
 
(iii)
   
1 1
1 2 1 2
2 2
os sin , 0.
z r
c i r
z r
   
    
 
 
Mệnh đề 1.1.5(Moivre)
Nếu
 
os sinz r c i
 
 
thì với mỗi số nguyên dương
n
ta có
   
os sin
n n

 
  
 
 
.
Bây giờ ta chỉ ra rằng, mọi đa thức dương thuộc
 
x
đều có nghiệm
trong

. Đó là nội dung của định lý cơ bản của đại số.
Định nghĩa 1.1.7
Trường
K
được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức bậc dương thuộc
 
K x
đều có nghiệm trong
K
.
Như vậy, trong
 
K x
mọi đa thức bậc dương đều phân tích được thành tích
các nhân tử tuyến tính khi
K
là một trường đóng đại số.
Định lý 1.1.8(d'Alembert - Gauus, Định lý cơ bản của đại số)
Mọi đa thức bậc dương thuộc

f x
là đa thức bất khả quy khi và chỉ khi
 
, 0f x ax b a  
hoặc
 
2 2
, 4 0f x ax bx c b ac    
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định lý 1.1.11
Mỗi đa thức
 
 
\f x x  
đều có thể phân tích được một cách duy nhất
thành dạng
   
 
   
1
1
2 2
1 1 1

r
s
d d
n

K x a a x a x a x a K a x a K

 
       
 
 

.
Mỗi phần tử
 
 
f x K x
được gọi là một đa thức của biến
x
với các hệ
số
i
a K
. Hệ số
n
a
gọi là hệ số cao nhất, còn hệ số
o
a
gọi là hệ số tự do của
 
f x
. Khi
0
n

 
0g x 
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định lý 1.2.2.
Với các đa thức
   
 
,f x g x K x
và
 
0g x 
có hai đa thức duy nhất
   
,q x r x
sao cho
       
f x q x g x r x 
với
   
deg degr x g x
.
Định lý 1.2.3.
Vành
 
K x
là một vành nhân tử hóa, có nghĩa: Mỗi đa thức thuộc
 
K x

là:
 
1
0 1 1

m
m
p x c c x c x


   
 
1
0 1 1

n
n
q x d d x d x


   
không đồng thời bằng 0, thỏa mãn
       
q x f x p x g x
.
Định lý 1.2.5.
Giả sử
 
 
f x K x

Chương này tập trung nghiên cứu sự phân tích phân thức hữu tỷ thành
tổng các phân thức đơn giản. Vận dụng các kết quả đạt được vào việc giải hệ
phương trình tuyến tính, xây dựng các đồng nhất thức, tính một số tổng hữu
hạn, tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ , nghiên cứu dãy số qua phân thức
hữu tỷ, và chứng minh một số bất đẳng thức hình học.
2.1 Phân thức hữu tỷ
Xét hàm đa thức trên trường

. Mỗi phần tử thuộc
 
x
được gọi là một
hàm hữu tỷ hay một phân thức hữu tỷ. Những phân thức hữu tỷ dạng
 
n
b
x a
hay
 
 
n
q x
p x
, với
1n 
và
 
p x
là đa thức bất khả quy, được gọi là những
phân thức hữu tỷ đơn giản. Bây giờ ta biểu diễn mỗi phân thức hữu tỷ qua

. Nhân hai vế hệ thức này với
 
f x
sẽ được
             
f x f x a x g x f x b x h x 
Biểu diễn
           
,degf x a x q x h x r x r x n  
. Khi đó có
             
             
.
f x f x a x g x f x b x h x
r x g x q x g x f x b x h x
 
  
 
 
Đặt
         
.s x q x g x f x b x 
Do đó
         
.f x r x g x s x h x 
Vì
     
deg ,degf x m n r x g x m n   
nên
 

   
g x h x
ta nhận được
 
   
 
 
 
 
f x r x s x
g x h x h x g x
 
.
Định lý 2.1.3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Mỗi phân thức hữu tỷ
 
 
   
,deg deg
f x
f x g x
g x

đều phân tích được thành
tổng các phân thức hữu tỷ đơn giản.
Hệ quả 2.1.4.
Mỗi phân thức hữu tỷ
 

 
x
có dạng
2 2
, 4 0x bx c b ac     
,
nên mỗi đa thức
 
g x
đều có thể viết được thành dạng:
 
 
 
2
1 1
i
i
s r
m
n
i i i
i i
g x x a x b x c
 
   
 
. Từ đó ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.5
Mỗi phân thức hữu tỷ
 

 
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Mệnh đề 2.1.6.
Xét phân thức
 
 
 
 
.
p x
f x x
q x
 
Với mỗi
0
x
sao cho
 
0
f x
có nghĩa,
luôn có biểu diễn
 
   
 
 
0 0
h x

 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 0 0
0 0
0 1
1
0
0
1 0 1
0
.
p x p x q x p x q x

 
     
 
,deg max deg ,deg 1.h x x h x p x q x  
Hệ quả 2.1.7.
Với mỗi phân thức
 
 
 
 
p x
f x x
q x
 
và
0
x
sao cho
 
0
f x
có nghĩa, luôn
có biểu diễn
 
 
 
 
0
1
0

   
1
,
'
n
k
i j
k
k k
p x
p x
f x x x
q x q x x x

  


khi
i j
và
 
deg p x n
, thì với
     
 
   
1 1
2
'
n


    
 

Ví dụ 2.1.8.
Chứng minh rằng ta luôn có
 
1
1 1
0
1
, 0
k n
n
k k
k
x x
a
a x a a a x

 

   
 

và mọi số tự nhiên dương
n
.
Bài giải:
Theo Mệnh đề 2.1.6, với phân thức

 

 
 

Ví dụ 2.1.9.
Giả sử
1
, , , 0.
n
a a a 
Ta luôn có đồng nhất thức sau:
(i)
   
    
 
1 2 1 1
1 2 1 1
0
n n n
n n n
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a


  
   
     
(ii) Với hàm phân thức
 

2 2
. .
x a a a a a x a
x a a a a a x a
   
 
   
Như vậy ta luôn có hệ thức dưới đây:
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1
. . .
( )( )
x a a a x a
a a x a a a a a a a x a
  
 
     
2 3 2 3
2 2 3 3
1 1
. .
( )( )
x a a a x a
a a x a a a a a a a x a
  
 
     
=
1 1

x
một giá trị đặc biệt.
Ví dụ 2.2.1
Với ba số a, b, c phân biệt và
 
, , 0, 1, 2, 3 ,a b c    
giả sử các số
, ,x y z
thỏa
mãn hệ phương trình:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
1
1 1 1
1
2 2 2
1
3 3 3
x y z
a b c
x y z
a b c
x y z
a b c

  

  



bậc 3.
Vì
     
1 2 3 0f f f  
nên
     
1 2 3 0p p p  
và như vậy
    
    
1 2 3
1
t t t
x y z
a t b t c t a t b t c t
  
    
     
Với
0t 
ta được
6
1
x y z
a b c abc
   
.
Ví dụ 2.2.2.
Với hai số
,a b

T
a b a b
  
   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Bài giải:
Xét
 
 
   
1
p t
x y
f t
t a t b t t t a t b
    
   
với
 
deg 2p t 
.
Vì
   
1 2 0f f 
nên
   
1 2 0p p 
và như vậy
   

y t b
b b a


  


 

 




 

 



Từ
   
   
1 2
1
.
2
ab t t
x y
t a t b t t t a t b

 
   
2 2
2
1 2 2 3 3 1
.D x x x x x x   
Bài giải:
Vì
   
 
3
1 2 3
x ax b x x x x x x     
nên
     
   
 
2
1 2 2 3 3 1
3 .x a x x x x x x x x x x x x         
     
2 2 2 3 2
1 2 3
3 3 3 4 27 .D a x a x a x a b       
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Ta lại có
2
3
1 2 3

 
2
2 2 2 2
1 2
3
1 1 1 3 6
.
1 1 1
1
b a
x x a b
x
 
  
   

Ví dụ 2.2.4.
Cho bốn số phức
, , ,a b c d
. Giả sử
1 2 3 4
, , ,x x x x
là bốn nghiệm của phương trình
0
x x x
x d
x a x b x c
    
  
. Tính tổng sau đây:

Mặt khác, ta còn có biểu diễn
     
   
1 2 3 4.
f x x x x x x x x x    
Khi cho
x a
ta có
       
   
3 2
1 2 3 4.
3 2a a a b c a ab bc ca x x x x x x x x          
hay
       
  
1 2 3 4.
a a b a c a x a x a x a x      
tương tự, khi cho
,x b x c 
ta cũng có hai hệ thức khác. Từ đây suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
        
2 2 2
0.
a b c
T
a a b a c b b a b c c c a c b
   

 
 
 
2
2
1 1
1
2 3
1
1 1 1
x x
x
x x a b


   
và suy ra
3 3 3 2 2 2
1 2 3 1 2 3
2a 3
1 1
x x x x x x b
T
a b a b
      
 
   
Ví dụ 2.2.6.
Tính tổng
  

t a t a t a t a
  
   
thành tổng các
phânthức
  
 
 
 
4
1
( )
1
.
k k k
k
k
k i k j k h
a x a y a z
t a
a a a a a a

  

  

nên khi cho
0t 
ta được
1 2 3 4

 
2011
2 2 2
2010
3 2
4 cot 4 cot 4 cot
4022 2011 2011 4022

 
 
  
   
 
  
  
 
(iii) Tính tổng
 
2 2 2 2
2 2
1 1 1

2
1
cot cot
cot
2
n
n n
n

2 2
cos sin , 1, , 1,
x i k k
i k n
x i n n
 

   

vì
0k 
không thỏa
mãn.
Giải ra được các nghiệm
cot , 1, , 1
k
x k n
n

  
(i) Từ
     
 
,cot cot
n n
n k
k
p x x i x i
n n


  
  
 

 
  
   
 
  
  
 
Với
 
2 2 2
1
2 3 1
2 , 4 cot 4 cot 4 cot
2 2
n
n
x i
n n n n

 

 

  
     
 

   
   
 
1 1
2 2 2 2
2 2
1
2 2x 2x

2
1
cot cot
cot
2
n n
n n
n x i x i
x i x
x
n
x x
x
n n
n
 

 
 
  
 

n n
n
 

 
 
  
 
  
   

 

2.3 Giải hệ phương trình và xây dựng đồng nhất thức
Bây giờ áp dụng các kết quả đã đạt được để giải các hệ phương trình và xây
dựng các đồng nhất thức mới trong Toán sơ cấp.
Ví dụ 2.3.1.
Với ba số
, ,a b c
phân biệt và
 
, , 0,1,2,3,4 ,a b c
hãy giải hệ phương trình:
1
1 1 1
1
2 2 2 2
1
3 3 3 3
x y z

a b c a b c
   
     
Bài giải:
Xét
 
 
     
1
p t
x y z
f t
t a t b t c t t t a t b t c
     
     
với
 
deg 3p t 
.
Vì
     
1 2 3 0f f f  
nên
     
1 2 3 0p p p  
và như vậy
     
    
1 2 3
1

abc
u t
u a a a
x t a
a a b a c
u b b b
y t b
b b a b c
u c c c
z t c
c c a c b

  


  

 

 


  

 
 


  


i j
i j n


  
Giải
hệ phương trình sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1
1 2
1
1 2
.

1
1 2
n
n
n
n n n
x x x
n
x x x
n

1 2
n
n
i
p x
x x x
f x
x x n x
i x

     
  


với đa thức
 
p x
bậc
n
.
Vì
 
0
i
f


nên
 
0, 1,2,

n
n
x x x
x x x
x x n x x x x n
  
  
     
     
, ta có
          
           
           
   
 
1 2
3 4
1 2
2 3 1 3
1 2 1 2

1 2 1 1 2
.
n
n
x x x x n x x x x n
x x x x n x x x x n
x x x x n x x x n
x x x
  