®¹i häc th¸i nguyªn
trêng ®¹i häc s ph¹m
ph¹m hiÕn b»ng

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO

(TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN)
Thái Nguyên, 2011
®¹i häc th¸i nguyªn
trêng ®¹i häc s ph¹m

theo.
Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ
khả tổng và
e
- tôpô cũng như
p
- tôpô. Phần tiếp theo của chương này đề cập
tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền
kiến thức của chương này. Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ
hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt . Phần cuối của chương trình
bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên.
Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu
chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa
phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của
một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về

ánh xạ loại
p
l
và loại
s
.
Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên
cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên. Các vấn đề trình bày
ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp
đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành
toán.

.


) ( ) ( ), ( , )
N p x p xl l l= Î =
¡ £
K K
, với mọi
x E
Î
.
3
) ( ) ( ) ( )
N p x y p x p y
+ £ +
với mọi
,
x y E
Î
.
Nửa chuẩn
p
gọi là chuẩn nếu
( ) 0 0
p x x
= Þ =
.
Từ
2
)
N
và
3

£ £
.
)
b
cân nếu
x A
l
Î
với mọi
x A
Î
và
1
l
£
.
)
c
hút nếu với mọi
x E
Î
tồn tại
0
e
>
sao cho
x A
l
Î
với mọi

= > Î
inf{ 0 : }.
x
U
l
l
= > Î
%

1.1.2.2. Giả sử
U
là tập lồi, cân, hút trong
E
. Khi đó công thức

3

( ) { 0 : }
U
x
p x inf U
l
l
= > Î

xác định một nửa chuẩn trên
E
, Nửa chuẩn
U
p

, thì công thức
( ) { 0 : }, ( )
A
x
p x inf A x E A
l
l
= > Î Î

xác định một nửa chuẩn trên
( )
E A
.
1.1.3. Định nghĩa không gian lồi địa phương
1.1.3.1. Không gian lồi địa phương
E
là không gian véctơ
E
cùng với một
họ
( )
CS E
F
các nửa chuẩn trên
E
sao cho với mọi
1
, , ( )
n
p p CS E

x E x p CS E p x
" Î ¹ $ Î ¹
F

Từ 1.1.2.1. và 1.1.2.2. suy ra không gian lồi địa phương
E
là không gian
véctơ
E
cùng với một họ
( )
E
F
U
các tập con lồi cân hấp thụ của
E
thỏa
mãn
1
, , ( )
n
U U E
" Î
F
U
,
( )
U E
$ Î
F

x U V
+ Ì
.

( )
H
¢
có nghĩa là tôpô xác định như trên là tôpô Hausdorff.
1.1.3.3. Dễ thấy rằng nửa chuẩn
p
trên
E
là liên tục khi và chỉ khi
{ }
: ( ) 1
x E p x
Î <
hay tương đương
{ }
: ( ) , 0
x E p x r r
Î < >
là o- lân cận
(lân cận của
0
E
Î
).

4

= = ầ ẻ
F
U
.
1.1.4.2. Gi s
F
l khụng gian con úng ca
E
. Khi ú khụng gian vect
thng
E
F
l khụng gian li a phng vi tụpụ cho bi
{ }
( ) ( ) : ( )
E
U F U E
F
= ẻ
F F
U U
,
õy
{ }
( ) : ,
U F U F x y x U y F
= + = + ẻ ẻ
.
Do
F

e e$ > è)
b
hon ton b chn nu

1
1
( ), , , : ( ).
n
n i
i
U E x x E A x U
=
" ẻ $ ẻ è +
U
F
U

Rừ rng mi tp hon ton b chn l b chn.
1.1.5.2. H
( )
E
F
B
cỏc tp b chn gi l h c bn cỏc tp b chn nu vi
mi tp b chn
A E
è

ồ ồ

l tp b chn nờn sau ny cỏc tp thuc
( )
E
F
B
ta luụn coi l li cõn.
1.1.5.3. Vi
( )
U E
ẻ
F
U
, gi s
U
p
l phim hm Minkowski kt hp vi
U
.
Khi ú

5

{ }
: ( ) 0
U U
Ker p x E p x= Î =

là không gian con véctơ của

hội tụ tới
x
nếu
( )
U E
" Î
F
U
, : , .
U U
x x U
a
a a a
$ - Î " >)
b
dãy Cauchy nếu
( )
U E
" Î
F
U
, : , , .
U U
x x U
a b
a a b a
$ - Î " >

tồn tại phiếm hàm tuyến tính
ˆ
f
trên
E
sao cho
ˆ
F
f f
=
và
ˆ
( ) ( )
f x p x
£
với mọi
.
x E
Î

Định lý 1.2.1 là cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trong
không gian lồi địa phương.
1.2.2. Định nghĩa. Giả sử
E
là không gian lồi địa phương. Không gian vectơ
E
¢
tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
E
gọi là đối ngẫu tôpô của

( , )
E E
m
¢
sinh bởi hệ các nửa chuẩn
{
}
( ) , : ,
p f sup x f x K K E
= Î Ì
compact.

)
c
Tôpô yếu
( , )
E E
b
¢
sinh bởi hệ các nửa chuẩn
{
}
( ) , : ,
p f sup x f x B B E
= Î Ì
bị chặn.
Ở đây ta viết
,
x f
thay cho

p x max x f x f f f E
¢
= Î

( , )
E E
s
¢
gọi tôpô yếu của
E
.
Ta có kết quả sau
Định lý.
( , ( , ))
E E E E
s
¢ ¢ ¢
=
và
( , ( , ))
E E E E
s
¢ ¢ ¢
=
.
1.2.5. Định lý (Mackey). Mọi tập con bị chặn yếu trong một không gian lồi
địa phương là bị chặn.
1.2.6. Cho
E
là không gian lồi địa phương và

00 0
: , 1,M x E x f f M= Î £ " Î
.
1.2.7. Định lý (Alaoglu – Bourbaki). Nếu
U
là o- lân cận trong không gian
lồi địa phương
E
, thì
0
U
là
( , )
E E
s
¢
– compact.
1.3. Một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt.
1.3.1. Giả sử
E
là không gian lồi địa phương. Ta nói
E
là

)
a
Tựa thùng nếu mọi tập bị chặn mạnh trong
E
¢
là đồng liên tục.

là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản đếm được các
o- lân cận, thì
E
là khả mêtric hay còn gọi là mêtric. Không gian lồi địa
phương mêtric đầy gọi là không gian Frechet hay
( )
F
- không gian.
Mệnh đề. Mọi không gian lồi địa phương mêtric là tựa thùng.
1.3.3. Một không gian
s
- tựa thùng
E
trong đó có một dãy cơ bản các tập bị
chặn gọi là đối ngẫu mêtric. Một không gian đối ngẫu mêtric đầy gọi là
( )
F
¢
–
không gian.
1.3.4. Mối liên hệ giữa các không gian mêtric và đối ngẫu mêtric lồi địa
phương cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề.
)
a
Nếu
E
là mêtric lồi địa phương thì
E
¢

không gian Banach.
1.4.2. Định lý (Conmogorov). Không gian lồi địa phương
E
là không gian
định chuẩn nếu và chỉ nếu nó có một o – lân cận bị chặn.
1.4.3. Định lý (Riesz). Không gian lồi địa phương
E
là hữu hạn chiều nếu nó
có một o – lân cận hoàn toàn bị chặn.
1.5. Không gian Hilbert.
1.5.1. Giả sử
E
là không gian véctơ phức. Một hàm
( )
. . :
E E
´ ®
£
gọi là
nửa tích vô hướng nếu.

( )
( )
( )
1
)
H x y z x z y z
a b a b+ = +
, với mọi
,

với mọi
x E
Î
.
Nếu
( )
0 0
x x x
= Þ =
thì (. .) gọi là tích vô hướng.
Nếu (. .) là tích vô hướng trên
E
thì công thức

( )
1
2
( ) | ,
U
p x x x x E
= Î

xác định một chuẩn trên
E
gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
1.5.2. Không gian Hilbert là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô
hướng.
1.5.3. Định lý (Riesz). Nếu
E
là không gian Hilbert thì với mọi

i I
e
Î
(viết là
[
]
,
i
e I
) gọi là hệ trực chuẩn nếu
( )
1,
0,
i j ij
i j
e e
i j
d
ì
=
ï
ï
= =
í
¹
ï
ï
î

Nếu

Þ

0
x
=
.
Mệnh đề. Hệ trực chuẩn
[
]
,
i
e I
là đầy đủ nếu và chỉ nếu

( )
| , .
i i
i I
x x e e x E
Î
= Î
å

1.6. Ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương.
1.6.1. Giả sử
E
và
F
là không gian lồi địa phương. Ánh xạ
:

x T b T x b
¢
=
, với mọi
,
x E b F
¢
Î Î
,

9

xác định ánh xạ
:
T F E
¢ ¢ ¢
®
gọi là ánh xạ đối ngẫu của
T
.
Nếu
E
và
F
là các không gian Hilbert, thì thay cho
:
T F E
¢ ¢ ¢
®
ta xét ánh

E
vào
F
.
1.6.4. Trên
( , )
E F
L
thường xét tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặn và ký hiệu
là
( , )
E F
b
L
. Tôpô này xác định các họ nửa chuẩn
{ }
( , )
( ) ( ) : , ( ), ( )
A V V
p T sup p T x x A A E V F
= Î Î ÎB U

ở đây
( )
E
B
ký hiệu là họ tất cả các tập lồi cân bị chặn trong
E
còn
( )

0 : ( )
inf T U V
d d
= > Ì
.
Mệnh đề. Nếu
E
là không gian định chuẩn còn
F
là không gian Banach thì
( , )
E F
b
L
là không gian Banach.
1.6.5. Ánh xạ
( , )
T E F
Î L
, trong đó
E
và
F
là hai không gian định chuẩn
được gọi là
a) Hữu hạn chiều nếu
ImT
là không gian con hữu hạn chiều của
F
.

=
. Dễ thấy rằng công
thức
( ( )) ( )
U
p x U p x
=
với mọi
( ) ( )
( )
E
x U x N U
N U
= + Î

xác định một chuẩn trên
( ).
E U10
Giả sử
A
là một tập lồi, cân, đóng, bị chặn trong
E
. Ký hiệu
( )
E A
là
không gian con sinh bởi

Î U
và
0
( )
f E U
¢
Î
. Khi đó đẳng thức
ˆ
( ), , ,
x U f x f x E
= Î

xác định
ˆ
( )
f E U
¢
Î
thỏa mãn
{
}
0
ˆ ˆ
( ) ( ), : ( ( )) 1 ( ).
U
p f sup x U f p x U p f
¢
= £ =


A E
Î B
. Khi đó mọi
f E
¢
Î
công thức
ˆ
, , ( )
x f x f x E A
= Î

xác định
ˆ
( )
f E A
¢
Î
với
{ }
0
0
ˆ
( ) , : ( ) ( ( )).
A
p f sup x f x A p f p f A
¢
= Î = =

Như vậy


xác định các ánh xạ tuyến tính liên tục

( ) : ( )
U E E U
p ®
và
( , ) : ( ) ( )
U V E V E U
p ®

thỏa mãn

11
( ) ( , ) ( ).
U V U V
p p p= o

Tương tự nếu
, ( ),
A B E A B
Î Ì
B
thì các ánh xạ đồng nhất
( ) , ( )
e A x x x E A
= Î

và
( , ) , ( )

với chuẩn supremum, nghĩa
là nếu
( )
M
j
Î C
thì
{
}
( ) : .
sup x x M
j j= Î

1.8.2. Phiếm hàm tuyến tính liên tục
m
trên
( )
M
C

gọi là độ đo Radon trên
M
. Độ đo Radon
m
gọi là dương nếu
, 0,
j m
³
với mọi
( )

M
m
, thì

( ) 1,
M
m j
=
,
ở đây 1 là hàm đồng nhất trên
M
.
1.8.3. Giả sử
m
là độ đo Radon tuỳ ý trên
M
. Khi đó công thức
{
}
, , : ( ), ( ) ( )
sup M x x
j m y m y y j= Î £C

xác định một hàm giá trị thực
m
trên
{ }
( ) ( ) : 0 .
M Mj j
+

a
³
.
Hàm này có thể mở rộng tới độ đo Radon dương trên
M
. Độ đo này cũng ký
hiệu là
m
. Ta có
, , ,
j m j m
£
với mọi
( )
M
j
Î C
.
1.8.4. Giả sử
m
là độ đo Radon dương trên
M
. Khi đó tồn tại duy nhất độ đo
(cũng ký hiệu là
m
) trên
s
-
đại số
m

M
, xác định nửa tích vô
hướng(..) trên
( )
M
C

( ) ( ) ( )
M
f g f x g x d
m
=
ò

và nửa chuẩn kết hợp
1
2
2
( ) ( )
M
f f x d
a
l m
ì ü
ï ï
ï ï
=
í ý
ï ï
ï ï

a
l
= Û =

1.8.6. Hàm f
A
(x) = 1 với x  A và f
A
(x) = 0 với x  A gọi là hàm đặc trưng
của A. Hàm có dạng
1
( ) ( )
i
n
i A
i
f x f x
a
=
=
å
.
Với
i
A
m
Î
å
rời nhau gọi là hàm
m

x
đó là tập hợp các số thực hoặc
phức
i
x
, với
i I
Î
. Ký hiệu
( )
I
F

là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của
tập hợp
I
với quan hệ thứ tự theo bao hàm:
1 2
s s
£
khi và chỉ khi
1 2 1 2
; , ( )
I
s s s sÌ Î F
. Khi đó với mỗi
( )
I
s Î F


[
]
,
i
I
x
được gọi là khả tổng và có tổng là
s
và ký hiệu là
i
i I
s
x
Î
=
å
.
2.1.1.2. Bổ đề. Nếu với mỗi họ số
[
]
,
i
I
x

tồn tại số dương
r
sao cho

i

( )
I
s Î F
có thể
tách thành hai tập hợp

{ }
: 0
i
is s x
+
= Î ³
và
{ }
: 0
i
is s x
-
= Î <
.
Vì

14

i i
s s
x x r
+ +
= £
å å

I
x
và
[
]
Im ,
i
I
x
ta
có

Re( )
i i
Re
s s
x x r
= £
å å
và
Im Im( )
i i
vs
x x r
= £
å å

theo trên ta có

Re 2

là khả tổng khi và chỉ khi tồn tại số dương
r

sao cho
i
s
x r
£
å
với mọi
( )
I
s Î F
.
Chứng minh. Giả sử
s
là tổng của họ khả tổng
[
]
,
i
I
x
. Khi đó tồn tại tập hợp
0
( )
I
s Î F
sao cho
1

I
s Î F
ta có

0
4(1 )
i i
s
s s
x x
£ + +
å å

Ngược lại, giả sử với họ số
[
]
,
i
I
x
tồn tại số dương
r
sao cho
i
s
x r
£
å
với mọi
( )

cỏc tp hp thuc
( )
I
F
sao cho

0
1
n
i
n
s
x r
Ê -
ồ
(2)
T (1) v(2) ta cú

1
i
n
s
x
Ê
ồ
vi mi
( )
I
s ẻ F
,

ồ

T ú
{ }
n
s
l dóy Cụsi nờn hi t n
s
. Vỡ th vi mi
0
d
>
, tn ti s t
nhiờn
n
sao cho
2
n
d

v
2
n
s s
d
- Ê
. Nhng khi ú vi mi tp hp
( )
I
s ẻ F

.
2.1.1.4. Mnh . Mi h kh tng cú khụng quỏ m c cỏc s khỏc
khụng.
Chng minh. Cho h s
[
]
,
i
I
x

kh tng. Ký hiu nh trong 2.1.1.3 v t

16
0
1
n
n
s s
¥
=
=
U
. Khi đó
0
s
hữu hạn hoặc đếm được và nếu
0
i
s

d
>
tồn tại tập hợp
0
( )
I
s Î F
sao cho
i
a d
£
với mọi
0
i
s
Ï
.
Tập hợp
I
c
tất cả các họ số như thế tạo thành không gian Banach đối với các
phép toán
[ ] [ ] [
]
,
i i i i
I
a b a b+ = +
và
[ ] [

å
,
trong đó
[
]
,
i
I
x
là họ khả tổng xác định duy nhất, nên không gian đối ngẫu với
I
c
được đồng nhất với không gian Banach
1
I
l
tất cả các họ số khả tổng với
chuẩn
[ ]
1
, .
i i
i
I
l x x
=
å

Ta cũng có khẳng định tương tự sau đây: không gian đối ngẫu với
1

i
x
< + ¥
å

Chứng minh. Giả sử
.
i
i
x
= + ¥
å
Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các tập
hợp
( )
r
I
s Î F
bắt đầu với
0
s
= Æ
sao cho
2
.
r
i
r
s
x ³

a
=
vi
1
n
n
i
s
Ơ
=
ẽ
U

thuc vo
I
c
. Do ú
i i
i
a x
< + Ơ
ồ
. Nhng iu ú khụng th xy ra, bi vỡ
r
i i i i
r
s s
a x a x

ồ ồ

x h x h
+ = +
v
[ ] [
]
,
i i
I
l x l x
=
,
trờn ú ta a vo tớch vụ hng
[ ][ ]
( , , , ) ,
i i i i
I
I I
x h x h
=
ồ

ú v phi tn ti theo bt ng thc Holder
1/ 2 1/ 2
2 2
i i i i
I I I
x h x h
ỡ ỹ ỡ ỹ
ù ù ù ù
ù ù ù ù

,
xỏc nh tớch vụ hng ú. Nh vy
2
I
l
l khụng gian Hilbert.
2.1.1.8. B . Nu
[
]
,
i
I
a
l h s cú tớnh cht

1/ 2
2
i i i
i I
a x a x
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
Ê
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
ồ ồ
vi mi

,
i
I
x a
ỏ ủ < + Ơ
ồ
vi mi dng tuyn tớnh
liờn tc
.
a E
Â
ẻ

T nh ngha trc tip suy ra tp hp
[
]
1
I
l E
gm tt c cỏc h kh tng yu
[ ]
,
i
x I
trong
E
to thnh khụng gian tuyn tớnh i vi cỏc phộp toỏn
[ ] [ ] [
]
,

ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
ồ
F

l b chn yu trong
E
, vỡ
, ,
i i i
I I
x a x aa
ỏ ủ Ê ỏ ủ < + Ơ
ồ ồ

vi bt k dng tuyn tớnh liờn tc
.
a E
Â
ẻ
Theo nh lý Macki 1.2.5 suy ra
A
l tp b chn trong
E
. Do ú vi mi lõn cn ca khụng
( )
U E
ẻ U

a
Ê
sao cho
, ,
i i i
x a x a
a
ỏ ủ= ỏ ủ
vi mi
dng tuyn tớnh liờn tc
0
a U
ẻ
, ta nhn c

, ,
i i i
i i
x a x a
a r
ỏ ủ =ỏ ủÊ
ồ ồ
vi mi
( )
I I
ẻ F
v
0
a U
ẻ

tạo thành hệ các nửa chuẩn trên
[
]
1
I
l E
, xác định tôpô lồi địa phương trong
[
]
1
I
l E
và được gọi là
e
-
tô pô.
2.1.2.2. Mệnh đề. Nếu
E
là không gian đầy đủ thì
[
]
1
I
l E
là không gian đầy
đủ.
Chứng minh. Giả sử
{
}
( )

cho

( )
lim .
i i
x x
a
a
=
(1)
Ta sẽ chứng minh rằng hệ Côsi
{
}
( )
,
i
x I
a
é ù
ë û
hội tụ trong
e
-
tô pô tới họ
[ ]
,
i
x I
.
Thật vậy, với mỗi lân cận của không

, 1
i
i
x x a
b
á - ñ £
å
với mọi
0
a U
Î

và
0
.
b b
³
(3)
Do đó với mỗi
0
a U
Î

ta có

( ) ( ) ( )
, , , 1 ,
i i i i i
i i i i
x a x x a x a x a

x I x I
b
b
e
é ù
= -
ë û
.
Vậy
[
]
1
I
l E
là không gian đầy đủ.
2.1.3. Họ khả tổng trong không gian lồi địa phương
Giả sử
E
là không gian lồi địa phương và
[ ]
[
]
1
,
i I
x I l E
Î
. Với mỗi
( )
I

[
]
1
( ),
i I
x I l E
s Ì
.
2.1.3.1. Định nghĩa. Họ
[ ]
,
i
x I
các phần tử của không gian lồi địa phương
E

được gọi là họ khả tổng, nếu
[ ] [
]
, lim ( ),
i i
x I x I
s
e s= -
.
Từ định nghĩa suy ra tập hợp
1
( )
I
l E

( )
I
l E
được xét với tô pô cảm sinh của
[
]
1
I
l E
.
2.1.3.2. Mệnh đề. Với mỗi không gian lồi địa phương
E
, không gian
1
( )
I
l E
là
không gian con tuyến tính đóng của
[
]
1
I
l E
.
Chứng minh. Giả sử họ
[ ]
[
]
1

Giả sử
0
( )
I
s Î F
sao cho

[ ]
1
( ),
3
U i i
y y Ie s
- £
với mọi
( )
I
s Î F
,
0
s s
³
.
Khi đó từ
[ ] [ ] [ ] [
]
( ), , ( ), ( ) ( ),
U i i U i i U i i U i i
x x I x y I y y I y x I
e s e e s e s s- £ - + - + -

, ( )
i I
x I l E
Î
.

21
Từ các mệnh đề 2.1.2.2 và 2.1.3.2 ta có
2.1.3.3. Mệnh đề. Nếu
E
là không gian đầy đủ, thì
1
( )
I
l E
là không gian đầy
đủ.
2.1.3.4. Mệnh đề. Nếu
[ ]
[
]
1
,
i I
x I l E
Î
và
[ ]
,
i I

i
s
Ï
.
Khi đó với mỗi tập hợp
( )
I
s Î F
,

0
s s
³
và
0
a U
Î
ta có
[ ]
1
\
, ( , 1) , 1
i i U i i
I I
x a x I x a
s
a e
-
á ñ £ + á ñ £
å å

s Î F

tạo thành một dãy Côsi suy rộng.
Chứng minh. Nếu
{
}
s
s
là dãy Côsi thì với mỗi lân cận của không
( )
U E
Î U

đều tồn tại
0
( )
I
s Î F
sao cho

1 2
1
4
s s U
s s
- Î
với mọi
1 2
, ( )
I

å
.
Do bổ đề 2.1.1.2 suy ra với mọi
0
a U
Î
ta có

0
0
\
, , : ( \ ) 1
i i
I
x a sup x a I
s s
s s
ì ü
ï ï
ï ï
á ñ = á ñ Î £
í ý
ï ï
ï ï
î þ
å å
F
.

22

[ ]
1
, ( )
i I
x I l E
Î
.
Ngược lại, nếu
[ ]
,
i
x I
là họ khả tổng tuỳ ý trong
E
, thì

[ ] [
]
, lim ( ),
i i
x I x I
s
e s= -

và dãy suy rộng
[ ]
{
}
( )
( ),

với mọi
1 2
, ( )
I
s s Î F
,
1 2 0
,
s s s
³
.
Từ đó suy ra với mọi
0
a U
Î
ta có bất đẳng thức

[ ]
1 2
1 2
, ( ) ( ),
i i
I
s s a x x a
s s
s s
á - ñ = á - ñ
å
s
là dãy Côsi suy rộng đối với mọi họ khả tổng
[ ]
,
i
x I
.
2.1.4. Họ khả tổng tuyệt đối trong không gian lồi địa phương
2.1.4.1. Định nghĩa. Họ
[ ]
,
i
x I
các phần tử của không gian lồi địa phương
E

được gọi là họ khả tổng tuyệt đối, nếu

( )
U i
I
p x
< + ¥
å
với mọi lân cận của không
( )
U E
Î U
,
ở đây ký hiệu