Lần thứ 16
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 2
Mục lục

Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu

Câu 1: (3 điểm)
Xác định a để hệ phương trình
2
2 2
ax a 1 y sin x
tan x y 1

   


 


có nghiệm duy nhất.

Câu 2: (3 điểm)
Cho
ABC

, M là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M
đến cạnh BC, CA, AB. Chứng minh
2 2 2
a b c
x y z
2R
 

u
thỏa mãn điều kiện
 
n
n n 1
0 u 1
;n 2,3,4,
1
u 1 u
4

 




 



Tìm
n
n
lim u
Câu 5: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên n sao cho n! tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0.


S.ABC. Định

để V lớn nhất.

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 4
Tỉnh Bạc Liêu
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Câu 1: ( 3 điểm )
Giải phương trình
4 3
4
4 4
3x 4 2x 18 3 0
  Câu 2: ( 3 điểm )
Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M’, N’, P’ sao cho mỗi đường thẳng MM’,
NN’, PP’ đều chia chu vi tam giác ABC thành hai phần bằng nhau trong đó M, N, P tương


Tính
n
lim

2
1 2 n
1 1 2 n

n a a a
 
  
 
 
.

Câu 5: ( 3 điểm )
Xung quanh bờ hồ hình tròn có 17 cây cau cảnh. Người ta dự định chặt bớt 4 cây sao cho
không có 2 cây nào kề nhau bị chặt. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau?

Câu 6: ( 3 điểm )
Tìm tất cả các hàm số


f x
liên tục trên R thỏa:
 
x
f x f x; x R.
2


Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 5
Tỉnh Bến Tre
Trường THPT chuyên Bến Tre Câu 1: (3 điểm)
Giải hệ phương trình:

2 2 2 2 2
3 3 3 3
(x 3y 4z t) 27(x y z t )
x y z t 93

      


   

Câu 2: (3 điểm)
Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ
từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc
với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng
minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng



Tìm
n
n
lim u
Câu 5: (3 điểm)

Cho hai số tự nhiên n, k thỏa :
0 k n
 
. Chứng minh rằng :

n n 0 2 1 2 n 2 2
2n k 2n k n n n
C .C ((C ) (C ) (C ) )
 
   Câu 6: (3 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
x y z 1.
  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x x 1

  
 
.
Câu 2: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, CA = b, BC = a. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác đã cho. Chứng minh rằng:
2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
  
.
Câu 3: (2 điểm)
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp nhau sao cho tổng bình phương của ba số đó cũng là một số
nguyên tố.
Câu 4: (3 điểm)
Xét dãy


n
x
trong đó
n
x
là nghiệm dương duy nhất của phương trình:
n 2
x x x 1
  

A 1,3,5, ,2n 1
 
(n



). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn
tại 12 tập con B
1
, B
2
, …, B
12
của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i)
i j
B B (i 1,12; j 1,12;i j)
     
;
ii)
1 2 12
B B B A
   
;
iii) tổng các phần tử trong mỗi tập B
i
(
i 1,12
 ) bằng nhau.
Câu 6: (3 điểm)

Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Câu 1 : ( 3 điểm )
Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm
1 2 3 4 5
x , x , x , x , x
thỏa đồng
thời các điều kiện

5 5 5
3 2 5 3
k k k
k 1 k 1 k 1
k.x a; k .x a ; k .x a
  
  
  Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA,
HB, HC với đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh
1 1 1 1 1 1
HA' HB' HC' HA HB HC
    Câu 3 : ( 2 điểm )
a) Chứng minh phương trình

dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ đúng kề nhau.)
Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau.

Câu 6 : ( 3 điểm )
Tìm các hàm f: R  R khả vi và thỏa điều kiện
f(x f(y)) f (y f(x)) x,y R
    Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho tứ diện ABCD có các trung điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu.
AB 3.CD, AC 3.DB, AD 3.BC
  
.
Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC .

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 8
Tỉnh Đồng Tháp
Trường THPT TP.Cao Lãnh
n 1 n 1 n n
6 36 6
u
(9 4)(3 2) (27 8)(9 4) (3 2 )(3 2 )
 
   
     

Câu 5 : ( 3 điểm )
Cho hình hộp chử nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp
được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khối lập phương đơn vị bằng các mặt
phẳng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp , biết rằng số
các khối lập phương đơn vị không có mặt nào màu xanh bằng
3
1
tổng số các khối lập
phương đơn vị.
Câu 6 : ( 3 điểm )
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước phương trình :
2n 1
x x 1 0

  

có đúng một nghiệm số thực. Gọi nghiệm số thực ấy là x
n
. Hãy tìm
n
lim x
.

4x 2
log x 3x 1
x x 1

  
 Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC có
2
sin A
,
2
sin B
,
2
sin C
lập thành một cấp số cộng và có tổng
2 2 2
3
sin A sin B sin C
2
  
. Đường cao kẻ từ A và đường phân giác trong góc B cắt nhau
tại I, biết I thuộc miền trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
IAC IBC
S S
 


cộng, trong đó V
1
= 3; d = 3 .
Tính :
1 2 n
S U U U
   
Câu 5 : ( 3 điểm )
Trong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý giống
nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành một dãy
sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ?

Câu 6 : ( 3 điểm )
Cho
z
y
x
,
,
thỏa điều kiện

2 2
2
x y 2
z 2z(x y) 8

 

Bài 1: Cho hệ:

2 2
2 2
x y 4
u v 16
xu yv 8

 

 


 


Tìm nghiệm của hệ để biểu thức




A x 1 u 1
  
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 : Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm bất ký trên cạch BC, AC, AB sao cho các
đường thẳng AA’ , BB’ CC’ đồng qui. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
T = AB’.CA’.BC’.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
195(x y z t) 1890xyzt 2008 0
     

Bài 6: Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R và thỏa mãn các điều kiện sau đây:
a.


f 0 1969

và
f 2008
2

 

 
 
.
b.


2f x y 9f(x y) f(x).cos y,
    với mọi
x,y R

.
Bài 7: Cho hình nón có góc ở đỉnh của thiết diện qua trục là
3

, mặt cầu
1
S
nội tiếp trong hình

là hình cầu tiếp xúc với tất cả các
đường sinh của nón và với
2008
S
. Gọi
2 3 2009
V ,V , ,V
lần lượt kà thể tích của các hình cầu
2 3 2009
S ,S , ,S
. Chứng minh rằng :
1 2 2009
1
V V V V
2
    .

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 11
Tỉnh Kiên Giang
Trường THPT Huỳnh Mẫn Đạt Câu 1 : ( 3 điểm )
Tìm tất cả các số nguyên tố x,y thoả mãn phương trình:
2
[ 1] [ 2] [ 3] [ x 1] y
     

 

 
 
,
ở đây



chỉ phần nguyên của số

(là số nguyên lớn nhất không vượt quá

).
Chứng minh rằng
n

, thì
n
u
là số lẻ.

Câu 5 : ( 3 điểm )
Cho A là tập tất cả các phần tử


1 2 6
x x ,x , ,x
 với
1 2 6
Câu 7 : ( 3 điểm )
Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SB = b với
a b 2

.
Có một mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy ABCD tại A và tiếp xúc với đường thẳng SB tại K.
Hãy tính bán kính của mặt cầu này.

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 12
Tỉnh Long An
Trường THPT Lê Quý Đôn Câu1 : (3 điểm)
Giải phương trình:

3 2 3
3 2 3
3 2 3
2x 3x 18 y y
2y 3y 18 z z
2z 3z 18 x x

n 1 n
n 2
x x 6
x
3


 

(n = 0,1, 2,…)
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
x
 
và tìm giới hạn của nó.

Câu 5 : (3 điểm)
Cho đa giác đều A
1
A
2
A
3
… A
6n
(n nguyên dương) nội tiếp trong đường tròn bán kính R.
Xét các đa giác lồi có các đỉnh là các điểm trong 6n điểm A

1
3 2
 
và đường
thẳng (

): x + 2y – 4 = 0. Xét điểm M chuyển động trên

. Các tiếp tuyến của (E) kẻ từ
M tiếp xúc với (E) tại A và B. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên

thì đường thẳng
AB luôn qua một điểm cố định. Xác định điểm cố định ấy.

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 13
Tỉnh Sóc Trăng
SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG Câu 1: (3 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2
2 y 4y 4
2
2 x 4x 4
2

3 2
n 1 n n
1
u
2
1 3
u u u n 1
2 2







    



Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số.

Câu 5: (3 điểm)
Phương trình x + y + z + t = 2009 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
(Nghiệm (x, y, z, t) với x, y ,z, t là các số nguyên dương)

Câu 6: (3 điểm)
Tìm tất cả các đa thức P(x) có bậc nhỏ hơn 2009 và thỏa mãn điều kiện:
2
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 14
Tỉnh Tiền Giang
Trường THPT Trương Định Câu 1 : ( 3 điểm )
Giải phương trình :
Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC không cân tại A thỏa điều kiện
2
A
sin B.sinC sin
2
 . Gọi H, I, M lần
lượt là chân đường cao, đường phân giác trong , đường trung tuyến dựng từ A . Chứng
minh rằng I là trung điểm của đoạn HM

Câu 3 : ( 2 điểm )
Cho a, b, c là 3 số nguyên sao cho hai phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 và ax
2

Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a
3

; Gọi N là
điểm trên cạnh SC sao cho CN =
2
3
SC ; mặt phẳng (  ) thay đổi đi qua AN và cắt SB, SD
tại M, P. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện AMNP khi mặt phẳng (  ) thay đổi
   
x x
2 2
2 2 2 2 x 1
x 10x 5 x 10x 11 x 10x 5 x 10x 11 2

           
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 15

C = 2a + 2b + c
Chứng minh rằng trong 3 số A, B, C có một và chỉ một số chia hết cho 5.
Câu 4 : ( 3 điểm )
Cho dãy số


*
n
n
u


được xác định bởi
n
1 1 1
u
1! 2! n!
   
n 1
 

1) Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn
n
n
lim u


2) Đặt
n
n

Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho tứ diện SABC , M là điểm bất kì nằm trong tứ diện. Một mặt phẳng



tùy ý qua M
cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại
A',B',C'
.
Đặt V, V
A
, V
B
, V
C
lần lượt là thể tích của các tứ diện SABC, SMBC, SMCA, SMAB.
Chứng minh :
A B C
V V V
V
SA' SB' SC'
   Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
  Câu 4 : (3 điểm)
Cho dãy số (
n
U
) xác định bởi:
1
3
3
n 1 3 n
U 1
4
U log U 1 , n 1
3





    



Tìm
n
n
lim U
 

4 4 4
P x y z
  Câu 7 : (3 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b. Gọi M,N lần
lượt là trung điểm AB và SC. Một mặt phẳng

thay đổi quay xung quanh MN cắt các
cạnh SA và BC theo thứ tự ở P và Q không trùng với S.
1) Chứng minh rằng
AP b
BQ a


2) Xác định tỉ số
AP
AS
sao cho diện tích MPNQ nhỏ nhất

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 17

Tỉnh Vĩnh Long
Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
2 2
2q r 193
 
.

Bài 4: (3 điểm)
Cho dãy số


n
U
được xác định bởi :

1
u 5
 
2
n 1 n n
1
u u u 9 ; n N ;n 1
5

     
. Đặt
n
n
k 1


 
Tìm m để hàm số tích




h x .f x
có giá trị nhỏ nhất là 0 với mọi


x 0 ; 1
 .

Bài 6: (3 điểm)
Xác định tất cả các hàm số f :

 
thỏa mãn điều kiện


f 2008 2009

và với mọi
x,y


, ta luôn có:



Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 18
ĐÁP ÁN
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu

Câu 1: (3.0 điểm)

Nhận xét: Nếu


0 0
;
x y
là nghiệm của hệ thì


0 0
;
x y

cũng là nghiệm. 0.5 điểm

Điều kiện cần để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất là
0
0
x


2
a
a







* Xét
0
a

, hệ trở thành
 
2 2
sin 1
2
tan 1
y x
x y

  


 







Dễ dàng




3 & 4
có nghiệm là


0;1
. 0.5 điểm
Giả sử


1 1
;
x y
là một nghiệm bất kỳ của




3 & 4
. Khi đó:
2 2
1 1 1
1 tan 1 1

là nghiệm duy nhất.
Đáp số:
2
a
Câu 2: (3.0 điểm)
z
x
y
h
b
h
c
h
a
A
B
C
M

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 19
Gọi
, ,
a b c
h h h

a b c
x y z
h h h h h h x y z
h h h
 
          
 
 
 
0.5 điểm
sin sin sin
2
a b c
x y z h h h
bc ca ab
x y z b C c A a B
R
     
 
      
0.5 điểm
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 2
b c a c a b
a b c
R R
  


Câu 3: (2.0 điểm)
Ta có


3 3 2 3
2 1
x y y y x y
     

Mặt khác
 
3
3 2
1 2 1 1
x y y y y      
0.5 điểm


3 0 3
y y y
     
hoặc
0
y


Vậy nếu
3
y

2; 3 ; 1; 2 ; 1;0
  
0.5 điểm

Câu 4: (3.0 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
1
;1
n n
u u

 , ta có
   
1 1
1
1 2 . 1 2. 1
2
n n n n
u u u u
 
     
0.5 điểm
1
,
n n
u u n

   



u u n

  

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 20
 
1
1
lim . 1
4
n
n
n
u u


 
  
 
0.5 điểm
 
1
. 1
4
a a
  


!
n
ra thừa số nguyên tố thì thừa số 5 xuất
hiện 1987 lần.
Khi đó những số chẵn nhân với 5 thì cho thừa số 10. 0.5 điểm
Gọi
x
 
 
là phần nguyên của
x
. Ta có lũy thừa của 5 lớn nhất chia hết
!
n
được cho bởi.
 
2 3

5
5 5 5
k
n n n n
h n
       
    
       
       
0.5 điểm
Trong đó
k

0.5 điểm
Từ đó:
 
 
1
5
k
i
i
i
h n a h




Trong đó
   
2 1
1
5 1 5 5 5 5 1
4
n n n
h

      
0.5 điểm
Thì




  
, ta có:
   
2 cos 2 sin
2 2 2
f t f t f t f t
  

     
     
     
     



1
0.5 điểm
* Cho ;
2 2
x t y
 
  
, ta có:




0
f t f t





3
0.5 điểm
Lấy


1
cộng với


2
:
     
2 2 .sin
2
f t f t f t f t

 
 
    
 
 



4
0.5 điểm
Từ

đều. 0.5 điểm
* Đặt
SA x

;
H
là hình chiếu của
S
trên


ABC
.
Ta tính được
2 sin
2
BC x

 0.5 điểm
 
2
2 sin
4
2
; 1 sin 1
3 2
3
x
AH SH x


1 3 3
. . .sin
4
3 4 6 2
BC x
V SH
R

 

Thay


3
vào


4
, ta được :
2
3 2 2
8 3 4
sin 1 sin
3 2 3 2
V R
 
 
 
 
 


Trang 22
Tỉnh Bạc Liêu
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU

Câu 1: ( 3 điểm )
Giải phương trình
4 3
44 4
3 4 2 18 3 0
x x
  
(1)
Ta thấy
0
x

không là nghiệm của phương trình (1). (0,5đ)
Với
0
x

,
4
3
2 18
(1) 4 0
3
x
x

x
x x
      
(1đ)
Do đó (2) xãy ra khi và chỉ khi:
3
18
3
x
x


4
54
x
 

4
54
x 
( do
0
x

)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
4
54
x  . (1đ)


BC AB AB AB BC CA
     

 Tương tự ta cũng chứng minh được
'
N BC

:
(1đ)
 Ta lại có:
   
1 1
'
2 2
CM AB BC CA CM AB CA
     

Suy ra
1 1
' '
2 2
CM CN CM CA AB
   
1
'
2
M N AB MN
  
(0,5đ)
Tương tự

 
' . .
' . .
KNP MN N sl t
KMP NM M s l t




 

nên MK, NK là các phân
giác trong của tam giác MNP.

(0,5đ)
N
M
P
A
B
C
M'
N'
P'

I
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 23

1
đồng qui tại một điểm. (đpcm). (0,5đ)

Câu 3: ( 2 điểm )
Giả sử có số nguyên a để
2
( 1)
a p


ta có:


2
1 mod
a p
 
(0,25đ)
Suy ra
   
1
1
2
1 mod
p
p
a p


 


   (*) mà p là số nguyên tố dạng
4 3
k

nên:



(*) 2 0 mod
p
  
(0,5đ)
Điều vô lí trên suy ra bài toán được chứng minh. (0,25đ)

Câu 4: ( 3 điểm )
Ta có dãy


n
a
là một dãy tăng thực sự, (0,5đ)
Thật vậy: nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho
1
k k
a a


thì do giả thiết
2

nên theo phương pháp quy nạp ta có ngay
, *
n
a n n N
  
.
Suy ra:
1 2
1 2

n
n
n
a a a
   
(0,5đ)
Đặt
2
1 2
1 1 2

n
n
n
u
n a a a
 
   
 
 

Giả sử đã chặt được 4 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 12 cây
(không kể cây A). Việc phục hồi lại hàng cây là đặt 4 cây đã chặt vào 4 vị trí đã chặt, số
cách làm này bằng với số cách đặt 4 cây vào 4 trong số 13 vị trí xen kẽ giữa 12 cây (kể cả 2
đầu), nên:
Số cách chặt 4 cây ở trường hợp 1 là:
4
13
715
C 
(cách).
(1đ)
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 24
Trường hợp 2: Cây A bị chặt. Khi đó hàng cây còn lại 16 cây. Ta sẽ chặt 3 cây trong số 16
cây còn lại sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt ( hai cây ở hai phía của cây A
cũng không đư
ợc chặt).
0,5đ)
Giả sử đã chặt được 3 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 13 cây.
Do hai cây ở hai phía cây A vừa chặt không được chặt nên ta xét hàng cây gồm 11 cây còn
lại.
Lập luận tương tự như trường hợp 1, ta có số cách chặt cây là:
3
12
220
C  (cách).
Suy ra: số cách chặt cây thỏa yêu cầu đề bài là:
715 220 935

3 2 3
x x x
f x f
 
 
   
 
 
 
 
 (2) (0,5đ)
Từ (1) ta có:


0 0
f

.
Đặt
 
2
( )
3
x
g x f x  , ta có: (0,5đ)


0 0
g



nên:


0,
g x x R
  
.
(0,5đ)
Suy ra:
 
2
, .
3
x
f x x R
   
(0,5đ)
Thử lại, ta thấy
 
2
3
x
f x   thỏa (1), vậy có duy nhất một hàm số thỏa yêu cầu đề bài
(0,5đ)

Câu 7: ( 3 điểm )
Trong mặt phẳng Oxy, đặt



(0,5đ)
Ta có:
1 2 1 3 1 4
. , . , . ,
u u ac bd u u ax by u u az bt
     
     2 3 2 4 3 4
. , . , . .
u u cx dy u u cz dt u u xz yt
     
     
(1đ)
Vì trong 4 góc tạo bởi 4 vectơ
1 2 3 4
, , ,
u u u u
   
có ít nhất một góc không vượt quá 90
0
nên tồn
tại cặp vectơ
,
i j
u u
 

