I ĐỀ BÀI:
Thiết kế một cầu đường ô tô nhịp giản đơn, bằng bê tông cốt thép, thi công bằng
phương pháp đúc riêng từng dầm tại công trường.
I.1 Số liệu cho trước:
1. Chiều dài nhịp tính toán:
15m
=
L
2. Khổ cầu:
7 2 1,5m
= + ×
B 
3. Độ võng cho phép do hoạt tải:
1/800

4. Vật liệu:
- Cốt thép chịu lực:
420MPa
=
y
f
- Cốt thép đai:
420MPa
=
y
f
- Bê tông:
30MPa
′
=
c

(m)
B .
- Chiều rộng phần người đi bộ
3
(m)
B .
- Chiều rộng gờ phân cách giữa phần người đi bộ và phần xe chạy
2
(m)
B .Thường
chọn
2
0,2 0,3m
= ÷B  (cũng có thể dùng vạch sơn rộng
20cm
nhưng lưu ý vạch
sơn sẽ bố trí trên cả phần xe chạy và phần người đi bộ và không tính vào tổng bề
rộng mặt cầu).
- Chiều rộng lan can
4
(m)
B .Thường chọn
4
0,2 0,5m
= ÷B .
- Chiều rộng toàn cầu có thể được tính theo công thức:
1 2 3 4
2 2 2
= + + +
B B B B B

= ÷
S .
Trong trường hợp này lấy
1,8m
=
S và chọn số lượng dầm chủ
6
=
b
N .
- Chiều dài phần cánh hẫng của dầm biên
h
d
:
(
)
1
2
− −
=
h
B m S
d
Ở đây,
1000mm
=
h
d
II.1.2 Chiều cao dầm
:

l

Dầm hộp
0,060
l
0,055
l

Dầm trong kết cấu cho người đi bộ
0,035
l
0,033
l

l
là chiều dài tính toán của cấu kiện
S
là khoảng cách giữa các dầm đỡ của bản (mm)
Đối với dầm giản đơn bằng BTCT thường, chọn chiều cao dầm không thay đổi trên suốt
chiều dài nhịp. Có thể lấy gần đúng theo công thức kinh nghiệm:
( )
1 1
10 20
0,72 1,44 m
 
= ÷
 
 
⇒ = ÷
lh

140 200mm
= ÷
f
h (chú ý rằng tiêu chuẩn 22 TCN 272-05 quy định chiều dày tối thiểu của
bản mặt cầu là
175mm
.
 Chọn
180mm
=
f
h .
II.1.5 Kích thước bầu dầm
:
1 1
,
b h

Kích thước bầu dầm phải căn cứ vào việc bố trí cốt thép chủ trên mặt cắt dầm quyết định
(số lượng thanh và khoảng cách các thanh). Tuy nhiên khi chọn sơ bộ ban đầu ta chưa biết
thép chủ là bao nhiêu nên phải tham khảo các đồ án điển hình và nên đảm bảo kích thước sao
cho bề rộng bầu phải bố trí được bốn cột cốt thép và chiều cao bầu phải bố trí được tối thiểu
hai hàng cốt thép.
- Đối với dầm đúc tại chỗ thì chiều cao phần bầu dầm không được nhỏ hơn:
+ 140 mm
+ 1/16 khoảng cách giữa các đường gờ hoặc sườn dầm của các dầm.
- Đối với dầm đúc sẵn thì chiều cao phần bầu dầm không được nhỏ hơn 125 mm.
Chọn:
1 1
360mm, 200mm

hoặc 1/4 bề rộng cánh trên của dầm,
•
Bề rộng của phần cánh hẫng.
Như vậy,
( )
1800
min 1800;1530;1000 1900mm
2
= + =
eff
b
1.2 Tiết diện tính toán quy đổi:

Đối với dầm giữa:
-
Diện tích tam giác tại chỗ vát bản cánh:

2
1
100 100
5000mm
2
S
×
= =
-
Chiều dày cánh quy đổi:
1
w
2 2 5000

qd
S
h h
b b
×
= + = + =
− −

 Đối với dầm biên:
-
Chiều dày cánh quy đổi:
1
w
2 2 5000
180 185,9mm
1900 200
qd
f f
S
h h
b b
×
= + = + =
− −

-
Diện tích tam giác tại chỗ vát bầu dầm:

2
2

phân bố ngang của các dầm là khác nhau.
Như vậy, phần hoạt tải mà mỗi dầm phải chịu sẽ được tính bằng cách xếp tải tại vị trí bất
lợi nhất trên mặt cắt ngang và mặt cắt dọc và tính nội lực do hoạt tải đó gây ra rồi nhân với hệ
số phân bố ngang của mỗi dầm đó.
Hệ số phân bố ngang của hoạt tải đối với cầu trên đường ô tô có thể tính theo quy trình
22 TCN 272-05 (Phần 4.6.2.2, đặc biệt là bảng tính hệ số phân bố ngang 4.6.2.2.1.1). Chú ý
rằng theo quy trình này, hệ số phân bố ngang của hoạt tải để tính mô men, lực cắt và độ võng
nói chung là khác nhau.
Đối với mặt cắt ngang trong ví dụ này ta xác định được hệ số phân bố ngang như sau:
 Hệ số phân bố ngang tính cho mô men:
-
Đối với dầm trong:
+ Hoạt tải HL93:
0,590
I
momen
mg = .
+ Người:
0,184
I
momen
mg =
.
-
Đối với dầm ngoài:
+ Hoạt tải HL93:
0,590
E
momen
mg = .

cat
mg =
.
II.2.2 Xác định nội lực dầm chủ tại các mặt cắt đặc trưng:
II.2.2.1 Tĩnh tải:
- Tải trọng rải đều trên 1m chiều dài dầm chủ do trọng lượng bản thân
1
(kN/ m)
DC
-
Tải trọng rải đều trên 1m chiều dài dầm chủ do trọng lượng của dầm ngang
2
(kN/ m)
DC
-
Tải trọng rải đều trên 1m dầm chủ chiều dài do trọng lượng lan can
3
(kN/ m)
DC
-
Tải trọng rải đều trên 1m chiều dài dầm chủ do trọng lượng gờ chắn bánh xe (nếu
có)
4
(kN/ m)
DC .
Vậy tổng tĩnh tải của bản thân dầm và các bộ phận khác tác dụng lên 1m dầm chủ:
1 2 3 4
(kN/ m)
DC DC DC DC DC= + + +
-

Chú ý rằng, xe 2 trục có trọng lượng trục nhỏ hơn xe tải thiết kế nhưng cự ly các
trục gần hơn nên là lực khống chế hiệu ứng lực phát sinh trong các cấu kiện ngắn.
Khi thiết kế, chọn tổ hợp tải trọng lớn hơn.
Cấu tạo của xe tải thiết kế và xe hai trục thiết kế có thể tham khảo chương 3.
Tải trong làn thiết kế là tải trọng
9,3N/ mm
phân bố đều theo chiều dọc còn theo
chiều ngang cầu được giả thiết là phân bố đều trên chiều rộng
3000mm
. Ý nghĩa
của tải trọng làn thể hiện tác dụng của các xe khác trong đoàn xe có thể xuất hiện
đồng thời trên cầu.
b)
Lực xung kích:
Lực xung kích
IM
được lấy bằng % của xe tải hoặc xe 2 trục thiết kế. Lực xung
kích không được áp dụng cho tải trọng bộ hành hoặc tải trọng làn thiết kế.
Với TTGH cường độ và sử dụng, lấy
25%
IM
=
của xe tải hoặc xe 2 trục thiết kế.
c)
Số làn xe và hệ số làn xe:
II.2.2.3 Tổ hợp nội lực theo các trạng thái giới hạn:
Ta xét tổ hợp các tải trọng sau:
-
Hoạt tải HL-93 và lực xung kích
LL IM

:
η
Hệ số điều chỉnh tải trọng
0,95
D R I
η η η η
= ≥
Trong đó:
:
D
η
Hệ số liên quan đến tính dẻo.
:
R
η
Hệ số liên quan đến tính dư.
:
I
η
Hệ số liên quan đến tầm quan trọng trong khai thác.
II.2.2.4 Vẽ biểu đồ bao nội lực của dầm:
Khi tính toán, thiết kế dầm, ta cần xác định giá trị bất lợi nhất của mô men hoặc lực cắt
do tải trọng tác dụng gây ra. Muốn vậy ta cần vẽ được biểu đồ bao mô men và biểu đồ bao lực
cắt của dầm, tức là biểu đồ thể hiện giá trị đại số lớn nhất của mô men và lực cắt của một số
mặt cắt được xem xét trên dầm.
Trình tự vẽ biểu đồ bao mô men và lực cắt của một dầm giản đơn gồm các bước sau:
1.
Chia dầm thành một số đoạn nhất định (càng nhiều đoạn chia sẽ càng gần kết
quả chính xác).
2.

)
(
)
(
)
{
}
[ ]
( ) ( )
{ }
W
W 1
1,25 1,5 1,75 1,75 1
1, 25 1,5 1,75 1,75 1
DC D M M L P M Mi i
DC D Q Q L P Q Qi i
M w w mg LL LL LL y IM
Q w w mg LL LL LL y IM
η ω ω
η ω ω
 
= + + + + +
 
 
= + + + + +
 
∑
∑
Đối với TTGH sử dụng:
(

LL
Tải trọng làn rải đều.
:
Mi
LL
Tải trọng bánh xe thứ
i
của xe tải thiết kế hoặc xe 2 trục thiết kế ứng với
tung độ
i
y
của đường ảnh hưởng mô men.
:
Qi
LL
Tải trọng bánh xe thứ
i
của xe tải thiết kế hoặc xe 2 trục thiết kế ứng với
tung độ
i
y
của đường ảnh hưởng lực cắt (phần có diện tích lớn hơn).
:
M
mg
Hệ số phân bố ngang tính cho mô men (đã xét hệ số làn xe).
:
Q
mg
Hệ số phân bố ngang tính cho lực cắt (đã xét hệ số làn xe).
Bảng 1: Bảng giá trị diện tích đường ảnh hưởng mô men và lực cắt
Các trị số để tính diện tích ĐAH Diện tích ĐAH
Nội lực L (m) x(m) L-x ω ω
1
ω
2
∑ω
M
o
15 7,5 7,5 28,125 28,125
M
1
15 6 9 27,000 27,000
M
2
15 4,5 10,5 23,625 23,625
M
3
15 3 12 18,000 18,000
M
4
15 1,5 13,5 10,125 10,125


Dầm biên

0 M
0
607,677 760,290 475,595 597,686 kN.m
1 M
1
583,370 729,879 456,571 573,778 kN.m
2 M
2
510,449 638,644 399,500 502,056 kN.m
3 M
3
388,913 486,586 304,381 382,519 kN.m
4 M
4
218,764 273,705 171,214 215,167 kN.m
5 M
5
0,000 0,000 0,000 0,000 kN.m
0 Q
0
0,000 0,000 0,000 0,000 kN
1 Q
1
32,409 40,549 25,365 31,877 kN
2 Q
2
64,819 81,098 50,730 63,753 kN


777,035 924,779 kN.m
2 M
2
1196,031 1422,264

683,446 812,722 kN.m
3 M
3
929,296 1101,664

531,026 629,522 kN.m
4 M
4
532,711 629,668 304,406 359,810 kN.m
5 M
5
0,000 0,000 0,000 0,000 kN.m
0 Q
0
175,193 193,148 87,461 110,371 kN
1 Q
1
229,390 255,245 114,543 145,854 kN
2 Q
2
289,215 324,407 144,445 185,375 kN
3 Q
3
350,898 396,862 175,287 226,778 kN

1 M
1
1943,182 2348,243

1233,607

1498,558

kN.m
2 M
2
1706,480 2060,908

1082,946

1314,778

kN.m
3 M
3
1318,210 1588,250

835,407 1012,041

kN.m
4 M
4
751,475 903,373 475,620 574,977 kN.m
5 M
5

u
M = . Vậy ta tính toán thiết kế cốt thép dọc chịu kéo cho dầm biên.
Dầm biên có đặc trưng hình học để tính toán như sau:
-
Chiều cao dầm
1200mm
=
h .
-
Chiều rộng bản cánh hữu hiệu
1900mm
=
b
-
Chiều dày bản cánh tính toán
186mm
=
f
h
-
Chiều rộng sườn dầm
200mm
=
w
b
-
Chiều rộng bầu dầm
1
360mm
=b

kế được thực hiện theo các bước của mặt cắt chữ T:
(
)
( )
0,85 2
0,85 30 1900 186 1020 186 2
7909,666kNm
′
= −
= × × × −
=
nf c f f
M f bh d h Mô men kháng yêu cầu
2403,635 0,9 kNm
= = = 2670,705
n u
M M f .
So sánh thấy
nf n
M M
≥ . Vậy trục trung hòa đi qua cánh, việc thiết kế được thực hiện
như đối với mặt cắt chữ nhật.
•
Tính toán chiều cao khối ứng suất nén
a
bằng việc giải trực tiếp phương trình là
phương trình bậc hai theo

 
 
 
=
n
c
M
a d
f bd

• Kiểm tra điều kiện dẻo của mặt cắt:
1
55,5
66,4mm
0,84
66,4
1020
0,065 0,42
= = =
=
= <
a
c
c
d
b

Trong đó:
:
c

′
>
 
 
 
 
 
 
 

Do
28 56
c
f
′
< ≤
nên

(
)
( )
1
28
0,85 0,05
7
30 28
0,85 0,05
7
0,84
′

2
6660mm
và bố trí thành các hàng và các cột như hình vẽ.

Tương ứng với cách bố trí này, khoảng cách từ thớ ngoài cùng đến trọng tâm cốt thép
chịu kéo là:
(
)
(
)
1
4 60 645 4 60 70 510 4 60 2 70 510
8 510 4 645
124,3mm
× × + × + × + × + × ×
=
× + ×
=
d

Chiều cao có hiệu của mặt cắt là:
1
1200 124,3 1075,7mm
= − = − =d h d
• Kiểm tra lại mặt cắt đã chọn:
Chiều cao khối ứng suất thực tế sau khi bố trí cốt thép là

0,85
6660 420
0,85 30 1900

Kiểm toán điều kiện cường độ của mặt cắt

(
)
( )
2
6660 420 1075,7 56,8 2
2928133582 Nmm
2928,134kNm 2403,635kNm
= −
= × −
=
= > ⇒
Tho¶ m· n
n s y
M A f d a

• Kiểm tra hàm lượng cốt thép tối thiểu:
min
min
0,03
0,03 30
0,00214
420
6660 595025
0,011
′
=
×
= =

n c s
n c v v
V V V
V f b d

Trong đó:
'
0,083
c c v v
V f b d
β
= 
(
)
cotg cotg sin
v y v
s
A f d
V
s
θ α α
+
= 
Ở đây,
:
v
b
Bề rộng bản bụng hữu hiệu, lấy bằng bề rộng bản bụng nhỏ nhất trong
chiều cao
v

.
:
s
V
Sức chống cắt của cốt thép đai.
:
c
V
Sức chống cắt của bê tông.
Thông thường cốt thép đai vuông góc với trục dầm
(
)
0
90
=a nên:
cotg
v y v
s
A f d
V
s
θ
= 
Việc thiết kế kháng cắt cho các cấu kiện có cốt thép sườn bao gồm các bước chính sau:
•
Tính toán chiều cao chịu cắt của mặt cắt:

2 1075,6 56,8 2 1047,3 mm
max 0,9 0,9 1075,6 968,1 mm
0,72 0,72 1200 864 mm

=
u
u
M
V

•
Kiểm tra sức chống cắt theo khả năng chịu lực của bê tông vùng nén:
(
)
0,25
′
= ≥
n c v v u
V f b d V
f f

Nếu điều kiện này không thoả mãn thì phải tăng kích thước của tiết diện.
Ta có:

(
)
( )
0,25
0,9 0,25 30 200 1047,3
1413847 N 1413,847 kN 651,54kN
′
=
= × × × ×
= = ≥ =


3,28
0,11 0,25
30
c
v
f
= = <
′

•
Tính toán
x
e
bằng phương pháp thử dần
Ước lượng
o
40
q = ,
cotg =1,192
q

( )
6 3
4
3
0,5 0,5 cot
528,72 10 1047,3 0,5 605,300 10 1,192
6,7 10
200 10 6660

Tính lại
x
e
:

( )
6 3
4
3
0,5 0,5 cot
528,72 10 1047,3 0,5 605,300 10 1,535
7,54 10
200 10 6660
−
+ +
=
× + × ×
= = ×
× ×
u
u u
v
x
s s
M
N V
d
E A
q
e

s s
M
N V
d
E A
q
e

Theo bảng 5-2 (Chương 5),
o
33,9
≈q ,
cotg =1,49
q
Giá trị này của
q
tương đối phù hợp với giá trị
q
đã tính được trong bước trước đó. Do
đó, các giá trị
o
33,9
=q và
2,2
=
b sẽ được sử dụng cho các tính toán tiếp theo.
•
Tính toán khả năng chịu lực cắt cần thiết của cốt thép
s
V

s
A f jd
s
V
q
≤ ở đây,
2
142 mm
=
v
A

142 420 1047 1,49
181,5 mm
512057,15
× × ×
= =s
Theo tiêu chuẩn 22 TCN 272-05, khoảng cách này đồng thời phải thoả mãn các giới
hạn sau:

0,083
v y
c w
A f
s
f b
≤
′
×





Với mặt cắt dầm đã chọn, ta có:

142 420
656 mm
0,083 0,083 30 200
×
≤ = =
′
× ×
v y
c v
A f
s
f b

Do
0,1 0,1 30 200 1047,3 628376,376 N
′
< = × × × =
u c v v
V f b d
nên

0,8 0,8 1047,3 837 mm hay 600 mm
≤ = × =
v
s d

s
A f d
V
s
q

3330 420 1398600 N
= × =
s y
A f

0,5 0,5 cotg
 
+ + − =
 
 
u u u
s
M N V
V
jd
q
f f f3 3
528,72 10 605,300 10
0,5 46480453 1,49
0,9 1047,3 0,9
1292486,5N 1398600 N

M . Quá trình kiểm toán nứt gồm các bước sau:
II.5.1 Kiểm tra xem dưới tác dụng của mô men đang xét mặt cắt có bị nứt hay
không.

Mặt cắt ngang tính toán
Diện tích mặt cắt ngang:

2
186 1800 (1200 186 240) 200 240 360 595025mm
g
A = × + − − × + × =
Xác định vị trí trục trung hoà:

(
)
186 1900 1200 186 2 (1200 186 240) 200 627 240 360 2
40 2
595025
838,7mm
t
y
× × − + − − × × + × ×
=
=

Mômen quán tính của tiết diện nguyên:
( )
( ) ( )
3 2
2

= = × =
×

Cường độ chịu kéo khi uốn của bêtông:
'
0,63 0,63 30 3,45MPa
r c
f f= = × =
0,8
c r
f f
⇒ > ⇒
Mặt cắt đã bị nứt và ta phải đi tính toán kiểm soát nứt của mặt cắt này.
II.5.2 Tính toán khả năng chịu kéo lớn nhất trong cốt thép ở TTGH sử dụng.
Thay cho việc tính toán trực tiếp độ mở rộng vết nứt và so sánh chúng với các các giá trị
quy định, Tiêu chuẩn 22 TCN 272-05 lại khống chế ứng suất trong cốt thép chịu kéo. Rõ ràng
là, ứng suất hay biến dạng trong cốt thép cũng như cách bố trí cốt thép có liên quan trực tiếp
đến độ mở rộng vết nứt. Quy định của 22 TCN 272-05 về ứng suất trong cốt thép ở trạng thái
giới hạn sử dụng như sau:

3
0,6
s sa y
c
Z
f f f
d A
≤ = ≤
Trong đó:
Z

bc
g
là số lượng thanh cốt thép chịu kéo quy đổi. Có 2
cách tìm A:
-
Cách tính chính xác: Để tìm
A
, ta giả sử đường giới hạn trên của miền
A
tại sườn
dầm. Trọng tâm miền
A
tính như sau:
(
)
230 360 240 2 200 240 2
124,3mm
240 360 200
× × + × × +
= =
× + ×
w w
A
w
y y
y
y

Giải phương tình bậc hai ta tìm được
w

1/ 3
1/ 3
30000
392,19MPa
(60 7459,5)
0,6 0,6 420 252MPa
252MPa
c
y
sa
Z
d A
f
f
= =
×
×
= × =
⇒ =

II.5.3 Tính toán ứng suất trong cốt thép chịu kéo lớn nhất ở TTGH sử dụng:

Tính toán các thông số vật liệu:
Modun đàn hồi của bê tông, theo công thức:

'
4730 4730 30 25907 MPa
c c
E f= = =
Tỷ số modun đàn hồi

217,6mm 186mm
= > =
f
c h nên TTH đi qua sườn. Trường hợp ngược lại, TTH
đi qua cánh và phải xác định lại
c
theo công thức áp dụng cho mặt cắt chữ nhật.
Mô men quán tính của mặt cắt đã nứt quy đổi là:

(
)
( )
( )
( )
3
2
3
2
3
3
2
10 4
3 12 2
200 217,6 186
200 186 186
1900 186 217,6
3 12 2
7,72 6660 1075,7 217,6
4,43 10 mm
−

×
= × − −
×
=
s s
cr
M
f n y
I

Vậy
246,9MPa 252MPa
= < = ⇒
s sa
f f Đạt
II.6 KIỂM TOÁN ĐỘ VÕNG:
II.6.1 Một số điểm cần chú ý:
Việc hạn chế độ võng trong các kết cấu bê tông cốt thép là một vấn đề rất quan trọng.
Độ võng vượt quá giới hạn cho phép ở các kết cấu chịu lực có thể gây ra phá hoại đối với các
kết cấu khác. Ví dụ, độ võng lớn của dầm có thể làm nứt các tường ngăn trong các nhà cao
tầng. Độ võng lớn cũng có thể gây ra tâm lý không an toàn cho người sử dụng và ảnh hưởng
xấu đến tính thẩm mỹ của công trình.
Độ võng của kết cấu bê tông cốt thép thường được chia thành hai dạng là độ võng tức
thời, hay độ võng ngắn hạn, và độ võng dài hạn. Độ võng tức thời phát sinh do các tải trọng
tác dụng có tính chất ngắn hạn như hoạt tải. Độ võng dài hạn, ngược lại, phát sinh do các tải
trọng tác dụng lâu dài như tĩnh tải, hoạt tải tác dụng lâu dài, v.v.
Trong ví dụ này ta sẽ tính toán độ võng tức thời của kết cấu.
Độ võng dài hạn, theo Tiêu chuẩn 22 TCN 272-05, nếu không tính được chính xác hơn,
thì có thể được tính bằng giá trị độ võng tức thời,
i


3,0 1,2( ) 1,6
s s
A Al
′
= − ≥
II.6.2 Tính độ võng tức thời của kết cấu:
II.6.2.1 Khái quát:
Để tính toán độ võng tức thời, ta xếp hoạt tải lên vị trí bất lợi nhất của đường ảnh
hưởng độ võng (Đường ảnh hưởng này được xác định theo lý thuyết đàn hồi). Độ võng do
hoạt tải lấy theo trị số lớn hơn của:
- Kết quả tính toán khi dùng xe tải thiết kế đơn, hoặc
- Kết quả tính toán của 25% xe tải thiết kế đơn cộng với tải trọng làn.
Do độ võng của kết cầu phụ thuộc trực tiếp vào độ cứng chống uốn của nó nên việc xác
định độ cứng chống uốn là một vấn đề cần được quan tâm, đặc biệt đối với kết cấu bê tông cốt
thép có vật liệu là phi tuyến và chịu ảnh hưởng của vết nứt.
Độ cứng chống uốn của các cấu kiện bê tông cốt thép được xác định phụ thuộc vào
modun đàn hồi của bê tông và mô men quán tính của mặt cắt.
Modun đàn hồi của bê tông thay đổi theo trạng thái ứng suất. Tuy nhiên, đối với các
trạng thái sử dụng thông thường, ứng suất trong bê tông không vượt quá
0,7
c
f
′
nên modun
đàn hồi của nó được coi là hằng số và được xác định theo công thức

'
4730=
c c

e g cr g
a a
M M
I I I I
M M
 
   
= + − ≤
 
   
 
   
 

Trong công thức trên,

cr
M
là mô men nứt của mặt cắt,

a
M
là mô men nội lực lớn nhất trên chiều dài nhịp,

g
I
là mô men quán tính của mặt cắt nguyên,

cr
I

L L x L x
y x
EI
− − −
= với
2
L x L
≤ ≤

Trong đó:
1 2
, :
y y
Tung độ đường ảnh hưởng độ võng tại mặt cắt giữa nhịp tương ứng với vị
trí đặt tải.
Để tìm chính xác vị trí bất lợi nhất, xét hai trường hợp sau:
a)
Trường hợp 1: Có ba trục trong nhịp:
4,3m
L/48EJ
3
L
L/2
§ ah y
1/2
35kN145kN145kN
x
4,3m

Độ võng tại giữa nhịp do xe tải thiết kế khi trục đầu cách gối một đoạn

= =P P
Để tìm vị trí độ võng lớn nhất, tính đạo hàm bậc nhất của độ võng và cho bằng không:

( ) ( )
2 2
2 2
0,105 1,74 1,74 4,3 0,41 8,6
0
48
L x L x L x
dy
dx EI
− − − − − + − −
= =

( ) ( )
2 2
2 2
21 (1109,4 216 ) 5,25 21 8,6 87 4,3 0
x L x L L L
⇒ + − − + − + − =

Giải ra được hai nghiệm:
2
1
2
2
36 184,9 1056,25 10724,2 28610,5
7 7
36 184,9 1056,25 10724,2 28610,5