PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong
không gian z
r
kr
i
O
r
j
y
x

• O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
• Các trục tọa độ:
• Ox : trục hoành.
• Oy : trục tung.
• Oz : trục cao.
• Các mặt phẳng toạ độ:
• (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
vuông góc với nhau.
•
, ,
r r r
i j k

•
. 0i j =
rr
,
. 0j k =
r r
,
. 0k i =
rr
.
•
,i j k
 
=
 
r r r
,
,j k i
 
=
 
r r r
,
,k i j
 
=
 
r r r
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
• M

. . . ( ; ; )
= + + ⇔
uuuuur r r r
O M x i y j z k M x y z
• Tọa độ của vectở:
1 2 3 1 2 3
. . . ( ; ; )
= + + ⇔ =
r r r r r
a a i a j a k a a a a
II. CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;= =
r r
a x y z b x y z
và số k tuỳ ý, ta có:
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.
•
( )
1 2 1 2 1 2
; ;
+ = + + +
r r
a b x x y y z z
2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.
•
( )
1 2 1 2 1 2

6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.
•
1 2
1 2
1 2
=


= ⇔ =


=

r r
x x
a b y y
z z
7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.
•
1 2 1 2 1 2
. . . .
= + +
r r
a b x x y y z z
. 0⊥ ⇔ =
r r r r
a b a b
8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
•
( )

B
, z
B
). Khi đó:
1) Tọa độ vectơ
uuur
AB
là:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
.
2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài
uuur
AB
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
= = − + − + −
uuur
B A B A B A
AB AB x x y y z z
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A B
I

; ;
⇒
I I I
I x y z
4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho
∆
ABC với A(x
A
; y
A
; z
A
),B( x
B
, y
B
, z
B
), C( x
C
, y
C
, z
C
).
Khi đó toạ độ trọng tâm G của
∆
ABC là:
( )

z
5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;= =
r r
a x y z b x y z
. Khi đó:
•
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
 
 
=
 ÷
 
 
r r
y z z x x y
a b
y z z x x y

• Hai vectơ
r
a
,
r
b

 
r r r
a b
.
• Ba vectơ
, ,c
r r r
a b
không đồng phẳng
, .c 0
 
⇔ ≠
 
r r r
a b
IV. MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1 Dạng 2
Mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0+ + −
Có tâm I(a;b;c) với
he ä soá x

2
x a y b z c R
Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực).
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
− + − + − =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
• Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=
n
2
.
• Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.
Phương pháp:
• Pt mặt cầu (S):

uur
hoc
2
AB
R =
.
Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*).
Loi 5: Mt cu cú tõm I(a;b;c) v tip xỳc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phng phỏp:
Pt mt cu (S):
( ) ( ) ( )
+ + =
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
Mt cu cú tõm I(a;b;c).
Do mt cu tip xỳc mp(P) nờn:
( )
+ + +
= =
+ +
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
R d I,(P)
A B C
Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*).
Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu dng:
2 2 2

(*)
Vỡ A, B, C thuc (S):
theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)






Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P) nờn th ta a;b;c vo pt ca (P) ta c phng trỡnh th t. Ta
gii h bn pt, ta tỡm c a,b,c,d.
VN 3: PHNG TRèNH MT PHNG
Dng 1: Vit pt mp bit im thuc mp v vect phỏp tuyn.
Loi 1: Mt phng (P) qua im
( )
0 0 0
M x ;y ;z
v cú
vect phỏp tuyn
( )
n A;B;C=
r
.
Phng phỏp:
4
M
n
r

.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là
( ) ( )
a= , b =
r r
• Mặt phẳng (P) có VTPT
n a,b
 
=
 
r r r
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) đi qua M.
• Mặt phẳng (P) có VTPT:
( )
P d 1 2 3
n a a ;a ;a= =
uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0

( )
0 0 0
M x ;y ;z
.
• Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có
VTPT
=
uur uur
P Q
n n
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
• Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp
tuyến.
5
a
r
b
r
,n a b
 
=
 
r r r
P)
Q)

=
 
r uuur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
Dạng 6:
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm
M d∈
.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d d'
a a = =
uur uur
.
• Mp(P) có VTPT:
d d'
n a ,a
 
=
 
r uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )

• Mặt phẳng (P) qua điểm I.
• Mặt phẳng (P) có VTPT
n AB=
r uuur
.
• Ptmp (P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =
.
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp:
• Mặt phẳng (P) qua điểm M.
• Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
Q R
n ,n = =
uur uur
.
• Nên mp(P) có VTPT:
Q R
n n ,n
 
=
 
r uur uur
.
• Ptmp(P):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0− + − + − =

mx ny pz 0⇒ + + + =D
.
• Do mp(P) tiếp xúc mc(S)
⇔
( )
( )
=d I; P R

Chú ý:
A B
A B
A B
=

= ⇔

= −

.
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

( ,( ))d I P R
⇔ =

Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)
( , )d I d R
⇔ =


A B C
+ + +
=
+ +

2. Khoảng cách từ một điểm đến một điểm đến một đường thẳng.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
7
r = d(I,(P))
I
P)
• Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
- Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi
qua tâm I và vng góc mp(P).
- Gọi r’ là bán kính của (C).
Khi đó:
2 2 2 2 2
r' r d r' r d= − ⇔ = −
.
Cần nhớ: H là hình chiếu vng góc của I lên (P)
nên tam giác IMH vng tại H.
Với: r=IM, d=IH=
( )
( )
d I, P
và r’=MH.

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.

• Pt tham số:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
Dạng 3: Đường thẳng d đi qua một điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d’, d’’ không song song
Phương pháp:
• Đường thẳng d đi qua điểm M.
• Đường thẳng d có VTCP:
 
=
 
uur uur uur
d d' d''
a a ,a
.
• Pt tham số:
0



= +

x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d:
0
0
0
= +


= +


= +

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
• Gọi H là giao điểm của d và (P).
8
• Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và
vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp:
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với mp(P).
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của
đoạn thẳng MM”.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
+

=


= −


y y
y y y y
z z z
z z
z
⇒
M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’
VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.
Phương pháp:
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng d.
• Tìm giao điểm H của d và (P).
• Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua
M và vuông góc với (P).
9
M
H
)P
d
M
H
)P
d
M
/
•
M
•



⇔ = ⇒ = −
 
 
= −
+


=


M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x
y y

r ur r
thì
a,a'
r ur
cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
• Nếu
a,a' 0
 
≠
 
r ur r
thì
a,a'
r ur
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 
=
 
r ur uuuuur
thì d và d’ cắt nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 
≠
 
r ur uuuuur

A +B +C +D=0+ + +x at y bt z ct
(*).Giải pt tìm t.
o Pt(*) có một nghiệm t
⇔
d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm
⇔
d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t
⇔
d nằm trong (P).
VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại
A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
AB AC AB AC AB.AC 0⇔ ⊥ ⇔ ⊥ = =
uuur uuur uuur uuur
Phương pháp:
• Tính
AB ,AC = =
uuur uuur
• Tính
AB.AC H.H T.T C.C 0= + + =
uuur uuur
• Suy
AB AC⊥
uuur uuur
• Suy ra
AB AC⊥
.

• Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.
3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’.
Phương pháp:
• Do
d d' d d'
d d' a a a .a 0 ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ ⇔
uur uur uur uur
ta giải pt tìm được tham số.
4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường
thẳng d’.
Cần nhớ:
• Hai đường thẳng song song không có điểm
chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng
không thuộc đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ
11
phương cùng phương với nhau.
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:
Cách 1:
Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương
a,a'
r ur
cùng phương:
• Ta chứng minh
a,a' 0
 
=
 
r ur r
.

a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'
=
=
r
ur
.
Bước 2: Vì d //d’ nên
a,a'
r ur
cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'
⇔ = =
, lập pt hoặc hệ pt để tìm m.
6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d:
0
0
0
= +


= +



' ' ' (1)
' ' ' (2)
' ' ' (3)
+ = +


+ = +


+ = +

x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
(*)
Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
• Giải hệ pt
0 0
0 0
' ' ' (1)
' '
' ' ' (2) ' '
+ = +
− =


⇔
 
+ = + − =



 

r ur r
r ur uuuuur
.
Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.
8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.
Phương pháp:
• Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a
r
của d.
• Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'
ur
của d’.
• Chứng minh:
a,a' .MM' 0
 
≠
 
r ur uuuuur
.
VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
Cách tính:
Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:
• Chọn điểm M thuộc (P).
•
( ) ( )


x x at
y y bt
z z ct
.
Cần nhớ:
• Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
• Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là:
( )
0 0 0
M x at;y bt;z ct+ + +
.
VẤN ĐỀ 18: GÓC.
1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.

( )
a.a'
cos = cos a,a'
a . a'
α =
r ur
r ur
r ur
Chú ý:
0 0
0 90≤ α ≤
.
2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.

( )

= + −
= −
= − +
uuuur r r r
uuuur r
uuuur r r
1. OM 5i 2j 7k.
2. OM 3k.
3. OM i 3j.
= + −
= −
= − − −
uuuur r r r
uuuur r r
uuuur r r r
4. AM i 3j k , A(1;-1;2).
5. AM i k , A(-1;-1;3).
6. AM i 2j k , A(0;-1;-2)
Bài 2: Tìm tọa độ điểm M biết:
1. MA 2MB=
uuuur uuur
với A(2;1;0), B(-2;0;1).
2. -3MA 2MB=
uuuur uuur
với A(2;1;4), B(-2;3;1).
2 1
3. MA MB
3 2
= −
uuuur uuur

= − = = − =
r
r r r r
r r r r
r r r r
Bài 4b: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1).
1. Tính góc giữa hai vectơ
AB, AC
uuur uuur
.
2. Tính góc giữa hai vectơ
BA, BC
uuur uuur
.
3. Tính góc giữa hai vectơ
CA, CB
uuur uuur
.
Bài 5: Cho
( ) ( )
a m;6; 5 , b m; m; 1= − = − −
r r
. Tìm m để
a b⊥
r r
.
Bài 6: Cho
( ) ( )
a m;3; 2 , b m; m; 1= − = − −
r r

MẶT CẦU
Xác định tâm và bán kính mặt cầu
Bài 18: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ − + − =
+ + + + =
+ + + =
2 2 2
2 2 2
2 2
2
1. x-1 y 2 z 3 4
2. x+1 y 2 z 3 9
3. x-2 y z 1 2
( ) ( )
( ) ( )
+ − + + =
+ − + =
+ + =
2 2
2
2 2
2
2 2 2
4. x y 3 z 3 36
5. x+2 y 3 z 16
6. x y z 3
Bài 19: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

Bài 21: Viết phương trình mặt cầu:
1. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) và đường kính bằng 16.
2. Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm là điểm B và đường kính bằng độ dài đoạn thẳng AC.
Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1).
Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9).
Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ.
Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1).
Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1).
Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2).
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 28: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0.
Bài 29: Viết phương trình mc (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0.
Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa
độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0.
Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp xúc mặt phẳng
(P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2).
15
Bài 32: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I là trọng tâm tam giác ABC và tiếp xúc mặt phẳng
(P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9).
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0).
Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
Bài 35: Viết Pt mc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;1).
Bài 35a(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). Viết phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng tọa độ
hoặc trục tọa độ.
Bài 36: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P): x+y+z-3=0.

.
Bài 50: Viết pt mp (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng
d:
x t
y 1
z 1 2t
=


=


= −

, biết A(1;2;3), B(3;2;1).
Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng
tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d:
x 1 y z 1
2 1 2
− +
= =
− −
.
Bài 52: Viết pt mp (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
Bài 53: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0.
Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của
đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0.
Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng
16
tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0.

− −
.
Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz.
Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 2x-y-z-1=0.
Bài 70: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 2x-y-1=0.
Bài 71: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt
phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0.
Bài 72: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d:
x 2 x 2 2t
y 2t , d': y 4
z 1 2t z 3 t
= = − −
 
 
= = −
 
 
= − = −
 
.
Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
3. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.
Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau
d:



= +

.
17
Bài 76: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
x 1
y 4 2t
z 3 t
=


= − +


= +

và song song với đường
thẳng d’:
x 3 3t
y 1 2t
z 2
= −


= +


= −

1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0
4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0
Bài 79: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0
Bài 80: Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 ,
với A(1;0;2),B(-1;2;4).
Bài 81: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0.
Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
Bài 82: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mp(P): 2x-2y-z=0.
1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
2/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P).
3/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P).
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
Bài 83: Viết pt tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1).
Bài 84: Viết pt tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1).
Bài 85: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 86: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 87: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ.
Bài 88: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3).
Bài 89: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15).
Bài 90: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27).
Bài 91: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ.
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 92: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm E(1;0;2), M(3;4;1) và N(2;3;4).
1/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.
2/ Viết phương trình mặt phẳng
( )α
đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN.

2/ Tính khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).
Bài 96: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3) và mặt phẳng (P) có phương trình :x-2y-2z-
10=0.
1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
2/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P).
Bài 97: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) và D(0;0;3) .
1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 98: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P) có phương trình
2x-2y+z-1=0 .
1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P) .
2/ Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P).
3/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Bài 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-
1).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
2/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng d có
phương trình:
1 2
3
z 6
x t
y t
t
= +


= − +


( 1) ( 1) (z 5) 25x y− + − + − =

1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;1;10).
Bài 108: Cho mặt cầu (S) có pt :
2 2 2
4 2 21 0x y z x y+ + + − − =

1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;-3;1).
Bài 109: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc tọa độ và mặt cầu
tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
Bài 110: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z-2=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm I(1;0;2)và mặt cầu
tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
Bài 111: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm
M(-1;0;2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
Bài 112: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm A(1;2;-2) và mặt cầu
tiếp xúc ,mặt phẳng (P).
TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 113: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
1/ d:
1
3
2
x t
y t
z t
= +



x y z+ +
= =
−
và mp(P): 2x+y-z-5=0.
TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài 115: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’:
1/ d:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t
= +


= +


= − +

và d’:
2 '
1 2 '
1 '
x t
y t
z t
= +


x
y
z t
=


=


= −

và d’:
2 2 '
1
0
x t
y
z
= − +


=


=

4/ d:
2 1 1
1 2 1
x y z− − −



= +

và mp(P): 2x+y+2z=0. 2/ d:
12 4
9 3
1
x t
y t
z t
= +


= +


= +

và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.
TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài 117: Tính góc giữa đường thẳng và đường thẳng
1/ d:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t
= +

1
2 3
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

TÍNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 118: Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1/ (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0
2/ (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0.
3/ (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0.
CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU.
Cách giải: Ta đi giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:
3 2
2 3
6 4
x t
y t
z t
= − +





− + = − −


+ = +

.
- Từ (1) và (2) suy ra
2 ' 8 3
3 4 ' 1 ' 2
t t t
t t t
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
.
- Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn .
- Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3;7;18).
Bài 119: Chứng các dường thẳng sau cắt nhau:
1/ d:
1 2
2
1 3
x t
y t
z t

và d’:
1
2 3
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

3/ d:
0
1
1
x
y
z t
=


=


= −

và d’:

z t
= +


= −


= +

và d’:
'
2 3 '
2 '
x t
y t
z t
= −


= +


=

chéo nhau
Giải
- Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ chỉ phương
( )
1' 1'2a = −
r


= − +


=

và d’:
1 2
2 2 1
x y z− −
= =
− −
2/ d:
1
2 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


=

và d’:
1
3 2

= −

và d’:
2 2 '
2 2 '
1 4 '
x t
y t
z t
= −


= − +


= +

vuông góc với nhau
Bài 122: Chứng minh hai đường thẳng d:
5
3 2
4
x t
y t
z t
= −


= − +


− −
chéo nhau
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP

Bài 124: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6;2;-5), B(-4;0;7).
1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S).
2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại A.
3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B.
Bài 125: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + − + − =
và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0.
1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi tiếp xúc mặt cầu và song song mặt phẳng (P).
3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 126: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O,A,B,C.
22
Bài 127: Lập phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(-1;2;3), B(3;-4;5), C(5;6;-7).
Bài 128: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh một tứ diện.
b/ Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện.
Bài 129: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b/ Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
Bài 130: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

= − +


=

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’.
Bài 132: Cho hai đường thẳng d:
1 3
1 2
3 2
x t
y t
z t
= − +


= +


= −

và d’:
'
1 '
3 2 '
x t
y t


= +


= −

và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0.
a/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d.
c/ Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Bài 136: Lập phương trình tham số của đường thẳng d.
a/ Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0).
23
b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’:
1 2
2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

.
c/ Đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0.



= +


= −

và song song đường thẳng d’:
1
2 2
3
x t
y t
z
= −


= −


=

.
g/ Chứa hai đường thẳng d:
1 2
2
3
x t
y t
z t

y t
z t
= +


=


= −

và d’:
2 2 '
3 4 '
5 2 '
x t
y t
z t
= +


= +


= −

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
Bài 139: Cho hai đường thẳng d:
1

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
Bài 140: Cho hai đường thẳng d:
5
3 2
4
x t
y t
z t
= −


= − +


=

và d’:
9 2 '
13 3 '
1 '
x t
y t
z t
= +


= +


= −



= − +

.
a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) và vuông góc với d.
Bài 143: Cho điểm A(1;-1;1) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0.
1/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P).
24
2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song với (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).
3/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P). Xác định hình chiếu vuông góc
của A lên (P).
Bài 144: Cho điểm M(-2;1;0) và đường thẳng d:
1 2
2
x t
y t
z
= −


= −


= −

.
1/ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M và song với d.

2 2 2
x y z 2x 4y 4z 0+ + − − − =
.
1. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.
2. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của(khác gốc tọa độ) của mặt cầu với các trục Ox,
Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
3. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC). Xác định tọa độ
điểm H.
Bài 150: ĐHGTVT 99. Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P).
2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
3. Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P)
Bài 151: ĐH Huế 96. Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5).
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính
mặt cầu (S). Tính diện tích xung quanh của mặt cầu (S). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp mặt cầu (S).
Bài 152: ĐH GTVT 98. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0+ + − − − − =
và song song với mặt phẳng
(Q): 4x+3y-12z+1=0.
25