TiÓu luËn Ph©n tÝch tæng hîp
hÖ ®iÒu khiÓn trªn m¸y tÝnh
I. Lý thuyết
2. Chứng minh định lý Chun Cohn cho hệ thống bậc n=5.
3. Động học rời rạc: Chứng minh định lý tính quan sát được.
II. Thực hành.
1. Phương pháp tần số cho đối tượng:
200
W ( )
(1 0,5 )
s
s s
θ
=
+
Thiết kế bộ điều khiển LEAD sao cho δ≤30%; t
s
≤0,5sec;
v ≤ 500m/sec; ∆ ≤ 15m.
2. Phương pháp quỹ đạo nghiệm:
200
W ( )
(1 0,5 )(1 0,04 )
s
s s
θ
=
+ +
Thiết kế bộ điều khiển PID (PI) sao cho: δ≤30%; t
s
≤0,5sec; v ≤ 500m/sec;

c
= (0 0 1); D
c
= 0; R = [1]; V = 50.
1
TiÓu luËn Ph©n tÝch tæng hîp
hÖ ®iÒu khiÓn trªn m¸y tÝnh
I. LÝ THUYẾT
1. Cho hệ thống có hàm truyền:
3 2 1
c . . .
0 1 2 3
W(s)=
4 3 2
. . .
1 2 3 4
s c s c s c
s a s a s a s a
+ + +
+ + + +
(1.1)
Hãy biến đổi thành trạng thái dạng chuẩn quan sát.
Giải:
Đối với hệ thống:
x Ax Bu
y Cx Du
= +


= +

k
j j
k
j j
j j
c s F s
s F s
Y s c
s a s s a s
−
−
=
− −
=
= =
= =
+ +
∑
∑
∑ ∑
dưới dạng được gọi là quy
hoạch đan xen:
4 3 2 3
1 2 3 4 2 0
2
2 1 3 2 4 3
( )
( ) ( ) 0
s Y s aY s a Y sa Y a Y s a Y c F
s a Y c F s a Y c F a Y c F

( )
1
( )
1
( )
1
( )
X c F a Y
s
X c F a Y X
s
X c F a Y X
s
X c F a Y X
s

= −



= − +



= − +



= − +


x x a x c u
x x a x cu
x x a x c u
= − +


= − +


= − +


= − +

&
&
&
&
Theo đó có thể viết:
x Ax Bu
y Cx Du
= +


= +

&
(1.7)
ở đây, các ma trận A, B, C, D kích thước 4x4, 4x1, 1x4, 1x1 của hệ thống
chuẩn hợp thức được xác định theo:

c
B
c
c
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
;
( )
0 0 0 1C =
; D=0
Đây chính là dạng quan sát được của hệ thống đã cho.
2. Chứng minh định lý Chur Cohn cho hệ thống có bậc n=5.
3
TiÓu luËn Ph©n tÝch tæng hîp
hÖ ®iÒu khiÓn trªn m¸y tÝnh
Định lý (gọi là định lý “Tính ổn định” Chur Cohn): Điều kiện cần và đủ để đa
thức
( )
0
n
n k
d z d z
k
k
−

d z d z
k
k
−
=
∑
=
ổn
định là
5
0
1
d
d
<
và đa thức
5 1
5
1
0
( ) ( ) ( )
d
d z d z z d z
d
−
= −
cũng phải ổn định.
Đa thức d(z) được triển khai dưới dạng sau:
d(z)=d
0

lý Viet có thể viết:
d(z) = d
0
(z - z
1
)(z - z
2
)(z - z
3
)(z - z
4
)(z - z
5
)
=
5
n 1 5
0 1 2 3 4 5
1
d [z - ( 1) ]
n
k
k
z z z z z z z
−
=
+ ×××+ −
∑
Theo đó
5

Suy ra
5
0
1
d
d
<
Mặt khác, với 0 ≤ p < 1 (2.3)
Xét đa thức d
p
(z) = d(z) – pz
5
d(z
-1
) (2.4)
Giả thiết các z
k
nằm trên đường tròn đơn vị, tức là
1
k
z =
(2.5)
là nghiệm của d
p
(z), tức là d
p
(z
k
) = 0 (2.6)
4

( ) ( ) ( ) ( )
k
k k k
d z d z d z d z
−
= = =
. Do đó biểu thức (2.7) trở thành
( ) ( )
k k
d z p d z=
(2.8)
Theo (2.3): p ≠ 1 nên (2.8) chỉ có thể xảy ra khi d(z
k
) = 0 (2.9)
Như vậy, mọi z
k
, với
1
k
z =
, nếu là nghiệm của (2.6) thì cũng phải là
nghiệm của (2.9). Ngược lại, mọi z
k
với
1
k
z =
nếu là nghiệm của d(z), tức là
d(z
k

q chẳng hạn, của d(z) nằm trên đường tròn đơn vị cũng không phụ thuộc và p,
nên số nghiệm của d
p
(z) nằm trên đường tròn đơn vị cũng không phụ thuộc và p
và cũng bằng q.
Trong trường hợp p=0 thì theo (2.4) ta có d
p
(z)=d(z)
Do đó tất cả nghiệm của d(z) đều là nghiệm của d
p
(z) và ngược lại. Suy ra
số nghiệm của d
p
(z) nằm bên trong đường tròn đơn vị phải bằng số nghiệm của
d(z) nằm bên trong đường tròn đơn vị. Khi p≠0 số nghiệm đó vẫn không thể
thay đổi. Thật vậy, giả thiết khi p≠0 v à p<1, số nghiệm của d
p
(z) nằm bên trong
đường tròn giảm, chẳng hạn với p=c<1, c=const, chỉ mỗi nghiệm z
j
nào đó của
d
p
(z) đã di chuyển ra ngoài đường tròn đơn vị, tức
0
1
j p
z
=
<

sẽ có d
p
(z)=d
1
(z)
Như vậy nếu d(z) là đa thức ổn định thì do
5
0
d
p
d
=
<1, d
1
(z) cũng là đa
thức ổn định. Ngược lại nếu d
1
(z) là đa thức ổn định và
5
0
1
d
d
<
thì d(z) cũng là đa
thức ổn định. Nghĩa là, để hệ thống hay đa thức d(z) của hệ thống ổn định thì
5
0
1
d

5 1
1 1
0
( )
k
k
k
d z z d z
−
− −
=
=
∑
phải ổn định (đpcm).
3. Chứng minh định lý tính quan sát được.
Phát biểu định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc bậc n:
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x k Ax k Bu k
y k Cx k Du k
+ = +


= +

quan sát được là
2
1

n

x k A x A Bu j
−
− −
=
= +
∑
(3.1)
và tại thời điểm t=(k+r)T:
1
1
1
( ) (0) ( )
k r
k r k r j
j
x k r A x A Bu j
+ −
+ + − −
=
+ = +
∑
(3.2)
Trong đó u(j) là tập hữu hạn các điều khiển tác động vào hệ thống.
Biểu thức (3.2) có thể biểu diễn như sau:
1 1
1 1
0
1 1
1 1
0

=
+ = +
∑
(3.3)
Từ (3.3) ta có:
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
k r
r k r j
j k
y k r CA x k C A Bu j Du k r
+ −
+ − −
=
+ = + + +
∑
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
k r
r k r j
j k
CA x k y k r C A Bu j Du k r
+ −
+ − −
=
⇒ = + − − +
∑
Từ đó, với r = 0, 1, 2, , n-1, ta có:

j k
y k r A Bu j Du k r
β
+ −
+ − −
=
+ − − + =
∑
; r = 0, 1, 2, , n-1
Căn cứ theo (3.4), trạng thái x(k) của hệ thống tại t=kT tuỳ ý cho trước sẽ
được xác định duy nhất qua hữu hạn n trị số cho trước của tác động u(j) và n giá
trị tương ứng của đáp ứng y(j), tức n trị số thành phần của véctơ
β
, khi và chỉ
khi
2 1
( )
n
rank C CA CA CA n
−
=
. Đây là điều phải chứng minh.
II. THỰC HÀNH.
7
TiÓu luËn Ph©n tÝch tæng hîp
hÖ ®iÒu khiÓn trªn m¸y tÝnh
2. Thiết kế hệ thống với đối tượng điều khiển có hàm truyền cho như sau bằng
phương pháp quỹ đạo nghiệm số.
200
( )

=
(1)
Các trị riêng mong muốn có dạng như sau:
d d
r i
δ ω
= ±
Thay các giá trị t
s
<0.5s; δ<30% vào (1) ta xác định được:
8
d
δ
= −
;
21
d
ω
=
.
Xét hàm truyền của hệ thống ban đầu để xác định các chỉ tiêu chất lượng
của hệ thống:
>> n=[200];
>> d=[0.02 0.54 1];
>> W
0
= tf(n,d);
>> W
k
=feedback(W

W K
s
= +
(1)
Trong đó K
P
và K
i
là các hệ số.
Ta có thể viết (1) dưới dạng:
(1 )
i
PI
K s
W
s
τ
+
=
; trong đó
P
i
K
K
τ
=
Hàm truyền của hệ hở là:
0
(1 ) (1 )
(1 0.5 )(1 0.04 ) (1 0.5 )(1 0.04 )

=36 vào W
C
và W
C
vào (2) ta được:
3 2
36
1 0
0.02 0.54 36
s
s s s
τ
+ =
+ + +
Vậy hàm Evan là:
3 2
36
( )
0.02 0.54 36
s
W s
s s s
τ
=
+ + +

>> ne=[36 0];
>> de=[0.02 0.54 1 36];
>> We = tf(ne,de)
Transfer function:

TiÓu luËn Ph©n tÝch tæng hîp
hÖ ®iÒu khiÓn trªn m¸y tÝnh
>> nyquist(Wc)
+ Độ quá chỉnh: 25.9%
+ Thời gian quá độ của hệ thống: t
s
=0.46
+ Độ dự trữ pha: 50.7%
3. Phương pháp không gian trạng thái: Thiết kế bộ điều khiển số Riccati cho đối
tượng:
0,313 56,7 0
0,0139 0,426 0
0 56,7 0
c
A
−
 
 ÷
= − −
 ÷
 ÷
 
;
0,232
0,0203
0
c
B
 
 ÷