Báo cáo khoa học
Mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợptrong phân
tích phương sai
Tạp chí KHKT Nông nghiệp, Tập 1, số 4/2003

318
Mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợptrong phân tích
phơng sai
Use of fixed, random and mixed models in analysis of variance
Nguyễn Đình Hiền
1

Summary
In experimental designs there are three models for analysis of variance: fixed, random and
mixed models. The present paper described in detail model with one and two factors. The
model, the hypothesis and the testing of hypothesis of frequently used designs such as one factor
completely randomised design, two factors crossed design, hierarchical design and split plot
design were presented
.
Keywords: Analysis of variance, fixed, random, mixed models.

)

à là trung bình chung
a
i
là tác động của mức A
i
e
i j
là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,
2
e
)
Nếu nhân tố A

cố định thì mô hình gọi là mô hình cố định, các a
i
là hằng số thoả mn điều
kiện 1
Bộ môn Tin học, Khoa S phạm kỹ thuật

=
=
a
i
i
a

do
Tổng
bình phơng
Bình phơng
trung bình
F
tn
Kỳ vọng

Nhân tố a - 1
dfA

SSA

msA = SSA/dfA
msA
msE

Sai số n - a
dfE

SSE

msE = SSE/dfE


2
e
Toàn bộ n - 1 SSTO


đều bằng r thì
A
=

Nếu giả thiết H
0
đúng thì tỷ số F
tn
= msA/msE phân phối Fisơ Snêđêco với a-1 và n-a bậc tự do
và ta có quy tắc kiểm định:
Tìm giá trị tới hạn F(
,a-1,n-a).
Nếu F
tn
F(,a-1,n-a) thì chấp nhận H
0,
nếu ngợc lại thì chấp nhận H
1
.

Mô hình ngẫu nhiên
Giả thiết H
0
:
2
A
bằng không, đối thiết:
2
A
khác không.

i
i
)1(
1
22



=
1
1
2


=
a
ar
a
i
i
Nguyễn Đình Hiền

320

Nếu giả thiết H
0
đúng thì tỷ số F
tn
= msA/msE phân phối Fisơ Snêđêco với a-1 và n-a bậc tự do
và ta có quy tắc kiểm định:

+ ab
i j
+ e
i j k
(i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r)

à là trung bình chung
a
i
là tác động của mức A
i
của nhân tố A
b
j
là tác động của mức B
j
của nhân tố B
(ab)
i j
là tơng tác giữa 2 mức A
i
và B
j
của hai nhân tố A,B
e
i j k
là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,
2
e
).

b
) còn (ab)
i j
là các giá trị của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,
2
ab
)
Nếu một trong 2 nhân tố cố định, nhân tố kia ngẫu nhiên thì có mô hình hỗn hợp.
Phơng pháp phân tích
Cả ba mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm:
a-Tách tổng bình phơng toàn bộ SSTO thành bốn phần: tổng bình phơng do nhân tố A (SSA),
tổng bình phơng do nhân tố B (SSB), tổng bình phơng do tơng tác SS(AB) và tổng bình
phơng do sai số SSE
b-Tách bậc tự do của tổng bình phơng toàn bộ dfTO thành bốn phần: bậc tự do dfA của tổng
bình phơng SSA, bậc tự do dfB của tổng bình phơng SSB, bậc tự do dfAB của tổng bình
phơng SSAB và bậc tự do dfE của tổng bình phơng SSE
c- Chia tổng bình phơng cho bậc tự do đợc bình phơng trung bình
msA, msB, msAB và msE
d-Tóm tắt toàn bộ cách phân tích vào trong bảng :


=
=
a
i
i
a


321

Bảng phân tích phơng sai
Nguồn biến
động
Bậc tự do Tổng bình
phơng
Bình phơng
trung bình
F
tn
Kỳ
vọng
Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA F
tnA

Nhân tố B dfB = b-1 SSB msB F
tnB

Tơng tác DfAB = (a-1)(b-1) SSAB msAB F
tnAB

Sai số dfE = ab(r-1) SSE msE

-2
e
Toàn bộ abr -1 SSTO

Cách kiểm định giả thiết

i j
khác không
Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
E(msA) =
2
e
+(bra
2
i
)/(a-1) F
tnA
= msA/msE so với F(,dfA,dfE)
E(msB) =
2
e
+(arb
2
j
)/(b-1) F
tnB
= msB/msE so với F(,dfB,dfE)
E(msAB)=
2
e
+ (rab
2
i j
) / (a-1)(b-1)

F

Giả thiết H
0Ab
:
2
AB
bằng không, đối thiết H
1AB
:
2
AB
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
E(msA) =
2
e

+ r
2
AB
+ br
2
A
F
tnA
= msA/msAB so với F(,dfA,dfAB)
E(msB) =
2
e


2
AB
ớc lợng bằng (msAB - msE)/ r

2
B
ớc lợng bằng (msB - msAB) / ar

2
A
ớc lợng bằng (msA - msAB)/ br
Mô hình hỗn hợp
Giả sử nhân tố A cố định, nhân tố B ngẫu nhiên (kéo theo AB ngẫu nhiên)
Giả thiết H
0A
: Các a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Nguyễn Đình Hiền

322

Giả thiết H
0B
:
2

tnA
=msA/msAB so với F(,dfA,dfAB)
E(msB) =
2
e

+ ar
2
B
F
tnB
=msB/msE so với F(,dfB,dfE)
E(msAB)=
2
e

+ r
2
AB
F
tnAB
=msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
e 3- Phân tích phơng sai hai nhân tố phân cấp (Hierachical)
Mô hình hai nhân tố phân cấp (hay còn gọi là chia ổ nested)
Nhân tố A là cấp trên có a mức, nhân tố B là cấp dới có b mức, mỗi công thức (a

e
).
Nếu các mức A
i
và B
j
ngẫu nhiên thì mô hình gọi là mô hình ngẫu nhiên, nếu A cố định B
ngẫu nhiên thì có mô hình hỗn hợp.
=
=
a
i
i
a
1
0 Trong mô hình ngẫu nhiên nhân tố A ngẫu nhiên, các a
i
là các giá trị của biến chuẩn N (0,
2
A
).
Nhân tố B ngẫu nhiên, các b
j
trong cùng một mức i của nhân tố A là các giá trị của biến chuẩn

Nguồn Bậc tự do Tổng bình
phơng

Bình phơng
trung bình

F
tn
Kỳ
vọng

Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA F
tnA

Nhân tố B dfB(A) = a(b-1)
a(b
-
1)

SSB(A) msB(A) F
tnB

Sai số dfE = ab(r-1) SSE msE
Toàn bộ dfTO = abr-1 SSTO

2
e

Cách kiểm định giả thiết
Mô hình ngẫu nhiên


+ r
2
B
+ br
2
A
F
tnA
= msA/ msB (A) so với F(,dfA,dfB(A))
E (msB(A)) =

2
e

+ r

2
B

F
tnB
= msB (A)/ msE so với F(

,dfB(A),dfE)

E (msE) =

2
e

:
2
B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
E(msA) =
2
e

+ r
2
B
+
A
F
tnA
= msA/ msB(A) so với F(,dfA,dfB(A))
E(msB) =
2
e

+ r
2
B

+ a
i
+ cd
ik
+ bj+ ab
i j
+ e
i j k
(i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r)
à là trung bình chung
1
1
2

=

=
a
abr
a
i
i
A
Nguyễn Đình Hiền

324

c
k
là tác động của khối k

i
= 0 (B cố định thì
b
j
= 0) còn nếu A ngẫu nhiên thì các giá trị a
i
phân phối chuẩn n(0,
2
A
) (B ngẫu nhiên thì b
j

phân phối chuẩn n(0,

2
B
)).
Thờng lấy tơng tác A x K làm sai số ô lớn và bỏ qua tơng tác BK.
Tuỳ giả thiết hai nhân tố cố định hay ngẫu nhiên hay hỗn hợp mà có cách kiểm định khác
nhau.
Phơng pháp phân tích
Các mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm:
a-Tách tổng bình phơng toàn bộ SSTO thành sáu phần: tổng bình phơng do khối SSK, tổng
bình phơng do nhân tố A (SSA), tổng bình phơng do nhân tố B (SSB), tổng bình phơng do
tơng tác AK (SSAK), tổng bình phơng do tơng tác AB (SSAB), và tổng bình phơng do sai
số SSE.
b-Tách bậc tự do của tổng bình phơng toàn bộ dfTO thành sáu phần: bậc tự do dfK của tổng
bình phơng SSK, bậc tự do dfA của tổng bình phơng SSA, bậc tự do dfAK của tổng bình
phơng SSAK, bậc tự do dfB của tổng bình phơng SSB, bậc tự do dfAB của tổng bình phơng
SSAB và bậc tự do dfE của tổng bình phơng SSE

mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp

325

Cách kiểm định giả thiết
Mô hình cố định
Giả thiết H
0A
: Các a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Giả thiết H
0B
: Các b
j
bằng không, đối thiết H
1B
: có b
j
khác không
Giả thiết H
0Ab
: Các ab
i j
bằng không, đối thiết H
1AB

2
AKÔ nhỏ
E(msB) =
2
e
+(arb
2
j
)/(b-1) F
tnB
= msB/msE so với F(,dfB,dfE)
E(msAB)=
2
e
+(rab
2
i j
)/ (a-1)(b-1) F
tnAB
= msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
e Mô hình ngẫu nhiên: nhân tố A và nhân tố B ngẫu nhiên
Giả thiết H

AB
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
ô lớn
E(msK)=
2
e
+b
2
AK
+ ab
2
KE(msA) =
2
e

+ b
2
AK
+ r
2
AB

+ br
2
A

F
tnAB
=msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE)=
2
e

Mô hình hỗn hợp: nhân tố A cố định, nhân tố B ngẫu nhiên
Giả thiết H
0A
: mọi a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Giả thiết H
0B
:
2
B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không
Giả thiết H
0AB

+ b
2
AK
+ r
2
AB

+ (bra
2
i
) / (a-1) Không có kiểm định chính xác
(Có thể dùng kiểm định gần đúng)
E(msAK) =
2
e

+ b
2
AK

ô nhỏ
E(msB) =
2
e
+ ar
2
B
F
tnB
= msB/msE so với F(,dfB,dfE)

: các b
j
bằng không, đối thiết H
1B
: có b
j
khác không
Giả thiết H
0AB
:
2
AB
bằng không, đối thiết H
1AB
:
2
AB
khác không

Kỳ vọng

Kiểm định giả thiết

ô lớn

E(msK)=
2
e
+ b
2

e
+ r
2
AB
+(arb
2
j
)/(b-1) F
tnB
= msB/msAB so với F(,dfB,dfAB)
E(msAB) =
2
e
+r
2
ABF
tnAB
= msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
eCác mô hình một nhân tố khối ngẫu nhiên đầy đủ (RCBD) hay ô vuông La tinh chủ yếu dùng
với nhân tố cố định và cách phân tích không khác gì cách trình bày trong các giáo trình về
phơng pháp thí nghiệm và toán sinh học hiện đang dùng.
Đối với mô hình 3 nhân tố thì việc phân tích phức tạp hơn và có thể tập trung vào mô hình 3