Chuyªn ®Ò 1:
Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể
không có phần tử nào.
2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập
hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A
⊂
B hay B
⊃
A.
Nếu A
⊂
B và B
⊃
A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.
Ví dụ 4. Cho hai tập hợp
A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10};
a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
b) Viết các tập hợp khác tập hợp rỗng vừa là tập hợp con của tập hợp A vừa là tập hợp con của
tập hợp B.
c) Dùng kí hiệu
⊂
để thực hiên mối quan hệ giữa tập hợp A,B và tập hợp nói trong
câu b). Dung hình vẽ minh họa các tập hợp đó.
Giải. a) Tập hợp A có 3 phần tử , tập hợp B có 6 phần tử.
b) Vì số 5 là phần tử duy nhất vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì vậy chỉ có một tập
hợp C vừa là tập hợp con của tập hợp A ,vừa là tập hợp con của tập hợp B: C = {5}.
c) C
⊂
A và C

N* mà 0:t = 0;
4. Tính số điểm về môn toán trong học kì I . lớp 6A có 40 học sinh đạt ít nhất một điểm 10 ;
có 27 học sinh đạt ít nhất hai điểm 10 ; có 29 học sinh đạt ít nhất ba điểm 10 ; có 14 học sinh
đạt ít nhất bốn điểm 10 và không có học sinh nào đạt được năm điểm 10.
dung kí hiệu
⊂
để thực hiên mối quan hệ giữa các tập hợp học sinh đạt số các điểm 10 của
lớp 6A , rồi tính tổng số điểm 10 của lớp đó.
5. Bạn Nam đánh số trang của một cuốn sách bằng các con số tự nhiên từ 1 đến 265 .hỏi bạn
nam phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?
6. Để tính số trang của một cuốn sách bạn Viết phải viết 282 chữ số. hỏi cuốn sách đó có bao
nhiêu trang.
Chuyªn®Ò2
C¸c phÐp to¸n trong N
1. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân.
D a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi
Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.
2. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba , ta có thể cộng số thứ nhất
với tổng của hai số thứ hai và thứ ba.
Muốn nhân một tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ nhất với
tích của số thứ hai và số thứ ba.
3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.:
a(b+ c) = ab + ac
Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của
tổng rồi cộng các kết quả lại.
1. Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ.
2. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b

1. Tính
a) 1 + 7 + 8 +15 + 23 + ….+ 160;
b) 1 + 4 + 5 + 9 + 14 +….+ 60 + 97;
c) 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số
đó để được tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số
đó để được tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có
tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng :
a)
ab1
+ 36 =
1ab
;
b)
abc
+
acc
+
dbc
=
bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ
a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10

Bài tập cñng cè
1. Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:
A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ;
B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302;
2. Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21.
b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40;
c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42.
3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
15 29
23 5
3 17
27 9
4. Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng
chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng số nhỏ nhất .tìm
hai số đó.
5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 .tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị
chia và số chia.
6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là
3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số kia.tìm
hai số đó.
7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3
.nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc dù vậy
kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào?
8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số
hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2.tích của
số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1.
9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35

)
2
= 3
3 . 2
; (5
4
)
3
= 5
4. 3
;
b) (a
m
)
n
= a
m . n
; (m,n
∈
N).
Giải:
a) (2
2
)
3
= 2
2
.2
2
.2

3
.5
3
với (2.5)
3
; 3
2
.5
2
với (2.5)
2
;
b) Hãy chứng minh rằng : (a.b)
n
= a
n
.b
n
; (n ≠ 0);
Giải . a) 2
3
.5
3
= 8.125 = 1000;
(2.5)
3
= 10
3
= 1000;
Vậy 2

với 25
7
; c)9
20
với 27
13
d)3
54
với 2
81
;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 8
4
.16
5
.32; d) 27
4
.81
10
;
4.So sánh:
a) 10
30
với 2
100
; b) 5
40
với 620
10

m ; c

m
⇒
a + b + c
.
.
.
m .
Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, trong đó a và b là các số chia hết cho 5 dư 3 còn c là số khi
chia cho 5 dư 2.
a) Chứng tổ rằng mỗi tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; đều chia hết cho 5 .
b) Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho 5 không?
Giải : đặt a = 5n + 3 ; b = 5m + 3 ; c = 5p + 2 ;(n,m,p
∈
N)
a) từ đó ta có :
a + c = (5n + 5p + 5)

5 vì các số hạng đều chia hết cho 5.
Tương tự: b + c = 5m + 5p + 5

5 ; a – b = 5n – 5m

5
b) a + b + c = 5n+ 5m + 5p + 8 không chia hết cho 5 vì 8
.
.
.
5;


99;
3.Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có một và chỉ một số chia hết cho 3;
b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố một và chỉ một số chia hết cho 4;
4. Chứng tỏ rằng :
8
10
– 8
9
- 8
8


55 ; 7
6
+ 7
5
- 7
4


11; 81
7
– 27
9
- 9
13



101 và ngược lại
7.Chứng tỏ rằng:
a) Mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37;
b) Hiệu giữa số có dạng
11ab
và số được viết bởi chính các số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì
chia hết cho 90.
8. Một số có ba chữ số chia hết cho 12 và chữ số hang trăm bằng chữ số hang chục . Chứng tỏ
rằng tổng ba chữ số của số đó chia hết cho 12.
C®6. Dấu hiệu chia hết
1. Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho
9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
1. Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho
3 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.Dấu
hiệu chia hết cho 2 : các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
2. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là chữ số 0
hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho
5.
2.
Ví dụ1. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều
kiên sau:
a) Số đó chia hết cho 5;
b) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết
cho 5 là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho
2 và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Ví dụ2. Cho số
yx43123

;
*199
;
1*20
;
c) Chia hết cho 5 :
5*16
;
*174
;
6*53
;
2. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:
a) Lớn nhất và chia hết cho 5;
b) Nhỏ nhất và chia hết cho 2;
3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và
1995 ≤ n ≤2001 .
4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5.
5. Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2;
b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5;
6. Chứng tỏ rằng:
a) (5n + 7 )(4n + 6)

2 với mọi số tự nhiên n;
b) (8n + 1 )(6n + 5)
.
.
.
2 với mọi số tự nhiên n;

3
5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không?
10
2001
+ 2 ; 10
2001
– 1 .
6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx356
chia hết cho 2 và 9.
7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số
yx171
chia hết cho 445.
8. Tìm tất cả các số có dạng
ba146
, biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5.
9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của
hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Là só có ba chữ số;
b) Là số chia hết cho 5;
c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9;
d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4;
C§7 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng
một tích các thừa số nguyên tố . mọi số tự nhiên lớn 1 đều phân tích
được ra thừa số nguyên tố.
Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng
cũng được cùng một kết quả.
Ví dụ . Cho sô tự nhiên A = a
x

có 15 ước . hỏi B
3
có bao nhiêu ước?
3. Tìm số tự nhiên a , biết 105

a và 16 ≤ a ≤ 50 .
4. Một trường có 805 học sinh. Cần phải xếp mỗi hang bao nhiêu học sinh để học sinh ở mỗi
hàng là như nhau , biết rằng không xếp quá 35 hàng và cũng không ít hơn 15 hàng.
5. Số tự nhiên n có tổng các ước bằng n (không kể n) được gọi là số hoàn chỉnh (số hoàn
thiện , số hoàn toàn).
a) Chứng tỏ rằng các số 28,496 là số hoàn chỉnh.
b) Tìm số hoàn chỉnh n , biết n = p.q trong đó p,q là các số nguyên tố.
6. Tìm số tự nhiên n, biết rằng số n có 30 ước và khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì có
dạng n = 2
x
3
y
trong đó x + y = 8.
C®8. Ước chung và Ước chung lớn nhất
1Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
.ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung
của các số đó.
2. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số , ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2 : Chọn các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3 : Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của
nó.tích đó là ƯCLN phải tìm.
Chú ý: Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
Trong các số đã cho , nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN

H.
6. Có một số sách giáo khoa. Nếu xếp thành từng chồng 10 cuốn thì vừa hết ,thàng từng
chồng 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, thành từng chồng 18 cuốn thì thừa 8 cuốn .biết rằng số sách trong
khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách đó.
Bài tập cñng cè.
1. Tìm ƯCLN của ác số có 9 chữ số được viết bởi các chữ số 1 , 2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 và trong
mỗi số các chữ số đều khác nhau.
2. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 66 , ƯCLN của chúng bằng 12.
3. Tìm 2 số tự nhiên ,biết tích của chúng bằng 864 và ƯCLN của chúng bằng 6.
4. Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ
sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ.
5. Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì và 180 tập giấy thành 1 số phần thưởng như
nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bao
nhiêu bút bi , bút chì, tập giấy?.
6. Biết rằng 3n + 1 và 5n + 4 ( n
∈
N) là 2 số không nguyên tố cùng nhau .tìm ƯCLN của 2
số trên.
Tiết 18. Bội chung nhỏ nhất
1.BCNN của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác o trong tập hợp các bội chung của các
số đó.
2. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số , ta thực hiện 3 bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.tích đó là
BCNN phải tìm.
Chú ý: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là
tích của các số đó.
Trong các số đã cho nếu số lơn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho
là số lơn nhất đó.

).
x = 60n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 . để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, …
Bài tập.
1. Tìm BCNN của ba số sau : số nhỏ nhất có hai chữ số ,số lớn nhất có ba chữ số và số nhỏ nhất có bốn chữ
số.
2. Có thể chỉ dung một chữ số 2 để lập các số có dạng : 2, 22, 22,222, sao cho số đó:
a) là bội của 5 được không?
b) Là bội của 9 được không?
2. Tìm BCNN(30 , 45) và ƯCLN(30 ,45) . thử lại rằng tích của BCNN (30 , 45) và ƯCLN(30 , 45) bằng tích
của hai số 30 và 45.
3. Ba em An , Bảo , Ngọc cùng học một trường nhưng ở 3 lớp khác nhau .An cứ 5 ngày trực nhật một lần ,
Bảo 10 ngày trực nhật một lần, còn Ngọc 8 này trực nhật một lần.lần đầu ba em cùng trực nhật một
ngày .hỏi mấy ngày sau ba em lại cùng trực nhật vào cùng một ngày? Đến ngày đó mỗi em đã trực nhật
mấy lần?
4. Bạn Nam nghĩ một số có ba chữ số. nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7 .nếu bớt đi 9 thì được số
chia hết cho 8 ,nếu bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9. hỏi bạn Nam nghĩ số nào?
. Cộng hai số nguyên cùng dấu.
Muốn cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối của chúng rồi đặt trước
kết quả dấu của chúng
Ví dụ. tính tổng các số nguyên x biết:
a) - 10 ≤ x ≤ - 1 ; b) 5 < x < 15 .
Giải . a) - 10 ≤ x ≤ - 1 nên x = { - 10 , - 9 , - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1}. Vậy tổng phải tìm là : A = (- 10)
+ (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1)
= - ( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = - 55
b) 5 < x < 15 nên x = { 6 ,7,8,9,10,11,12,13,14} . tổng phải tìm là
B = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90.
Bài tập:
1. So sánh :
a) │3 + 5│ và │3│ + │5│;
b) │(- 3) +(- 5)│ và │- 3│ + │- 5│;

Trong câu c và d , giá trị tuyệt đối của tổng bằng hiệu hai giá trị tuyệt đối của hai số hạng nên đó là phép cộng hai
số nguyên khác dấu. dấu của tổng là dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có:
c) (+ 15) + (- 7) = 8;
d) (- 15) + (+ 7) = - 8.
Bài tập.
1. Tính tổng │a│ + b , biết:
a) a = - 117 , b = 23;
b) a = -375 , b = - 725;
c) a = - 425 , b = - 425 .
2. Tìm x
∈
Z , biết :
a) x + 15 = 105 + ( - 5);
b) x – 73 = (- 35) + │- 55│;
c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│.
3. thay dấu * bằng chữ số thích hợp :
a) ( - *15) + ( - 35) = - 150;
b) 375 + ( - 5*3) = - 288;
c) 155 + ( - 1**) = 0.
4. Tính tổng của hai số nguyên:
a) Liền tiếp và liền sau số + 15;
b) Liền trước và liền sau số - 37;
c) Liền trước và liền sau số 0;
d) Liền trước và liền sau số a.
5.a) Viết số - 7 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 10.
b) Viết số - 15 thành tổng của hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn hơn 20.
Tính chất của phép cộng các số nguyên.
1. Tính chất giao hoán : với mọi a , b
∈
Z : a + b = b + a.

tổng ba số trên mỗi hàng ngang , mỗi hàng dọc , mỗi đường chéo đều bằng nhau.
4. Cho các số : - 2 , -4 , - 5 , - 6 , 7, 9 , 11. hãy sắp xếp các số trên sao cho có một số đặt ở tâm vòng tròn , các
số còn lại nằm ở trên đường tròn đó và cứ ba số bất kí trong các số trên đều nằm trên một đường thẳng mà tổng
của chúng bằng nhau và bằng 0.
5. Viết tất cả các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 50 theo thứ tự tùy ý. Sau dod cứ mỗi số cộng
với số chỉ thứ tự của nó để được một tổng. hãy tính tổng của tất cả các tổng tìm được.
Quy tắc dấu ngoặc.
1. Quy tắc dấu ngoặc : khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất
các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ - “ thành dấu “ + “ .
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ
nguyên.
2. Tổng đại số: trong một tổng đại số ta có thể :
- Thay đổi tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng;
- Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý với chú ý rằng nếu đằng trước
dấu ngoặc là dấu “ – “ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc
Ví dụ. Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51.
Giải. áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất của tổng đại số ta có:
A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51)
A = - 120 – 80 = - 200.
Bài tập.
1. Tính nhanh:
a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999);
b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 );
c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440).
2. Tìm số nguyến x , biết :
a) 3 – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289)
b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415);
c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746.
3. Tính giá trị của biểu thức a – b – c , biết:
a) a = 45 , b = 175 , c = - 130;

1. Tính chất của đẳng thức : khi biến đổi các đẳng thức ta thường áp dụng các tính
chất sau:
Nếu a = b thì a + c = b + c;
Nếu a + c = b + c thì a = b;
Nếu a = b thì b = a .
2. Quy tắc chuyển vế : khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng
thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ – “ thành
dấu “ + “.
Ví dụ: Tìm x
∈
Z , biết :
a) 3 – x = (- 21) – ( - 9) , hay 3 – x = -21 + 9 hay 3 – x = - 12 , do đó x = 3 + 12 = 15.
b) x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16.
Bài tập:
1. Tìm y
∈
Z , biết :
a) y + 25 = - 63 – ( - 17);
b) y + 20 = 95 _ 75;
c) 2y – 15 = -11 – ( - 16);
d) - 7 _ 2y = - 37 – ( - 26).
2. Cho ba số - 25; 15; x (x
∈
Z). tìm x , biết :
a) Tổng của ba số trên bằng 50;
b) Tổng của ba số trên bằng - 35;
c) Tổng của ba số trên bằng – 10.
2. Cho x , y
∈
Z . Hãy chứng minh rằng:


c
⇒
a

c.
• Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b :

∀
m
∈
Z ta có a

b
⇒
a = am

b.
• Nếu hai số a ,b chai hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho
c
a

c và b

c
⇒
( a + b )

c và ( a – b )


1. Chứng tỏ rằng :
a) Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3;
b) Tổng của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5.
2. Có hay không một hình vuông mà số đo độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tihcs bằng 111…11 ; (
2001 chữ số 1)?
3. Tìm số nguyên n sao cho:
a) (3n + 2)

( n – 1 ).
b) (3n + 24)

( n – 4 ).
c) (n
2+ 5)

( n + 1 ).
4. Cho x, y là các số nguyên . chứng tỏ rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31 thì x + 7y cũng chia hết cho 31.
điều ngược lại có đứng không?
5. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n thì :
a) ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9;
b) ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49;
Phân số bằng nhau.
Hai phân số
b
a
và
d

3
6
.
Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau.
Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta được 8 cặp phân số bằng nhau nữa.
Vậy có tất cả 12 cặp phân số bằng nhau:
6
3
=
24
12
;
6
24
=
3
12
;
12
3
=
24
6
;
12
24
=
3
6
;

12
48
=
6
24
;
24
6
=
48
12
;
24
48
=
6
12
;
Ví dụ. Tìm các cặp số nguyên x, y biết :
x
2
=
3
−
y
.
Giải. Từ
x
2
=

;
2.Tìm các số nguyên x,y biết:
a)
3
x
=
y
7
; b)
y
x
=
11
3
−
; c)
1
−
y
x
=
19
5
−
.
3. Tìm các số nguyên x , y ,z ,t biết :
6
12
−
=

−
z
.
5. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong sáu số sau :
- 5 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 10 ; 15.
6. Tìm các số tự nhiên a , b , biết rằng a ,b là các số nguyên tố cùng nhau
và
ba
ba
5
7
+
+
=
28
29
.
Rút gọn phân số.
1. Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một số
ước chung ( khác 1 hoặc – 1) của chúng để được phân số đơn gian hơn.
2. Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. phân số
b
a
tối
giản nếu │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ. Chứng tỏ rằng phân số
23
35
+
+

∈
N và d≥ 1) , ta có 5n + 3

d và 3n + 2

d , do đó 3(5n + 3)

d và 5(3n
+ 2)

d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3)

hay 15n + 10 – 15n – 9

d , hay 1

d , do đó d = 1 .vậy phân số
23
35
+
+
n
n

là phân số tối giản với
∀
n
∈
N.
Vì dụ . tìm phân số bằng phân số

5.3.2
3.2
22
3
b)
14.5.2.3
8.7.5.3.)2(
34
533
−

2. Rút gọn các phân số sau:
a)
32412
2622112
960.8110.6.2
15.12.616.6.5
−
+
; b)
125 2525
125 2525
22830
42428
++++
++++
3. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản:
a)
130
115

44
19
. Phải thêm vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân số bằng phân số
47
22
?
6. Dung một trong chín chữ số từ 1 đến 9 để ghép thành một phân số mà mỗi phân số lần lượt bằng : 2 ,3, 4,
5,6 ,7 , 8, 9.
7. Tìm phân số tối giản
b
a
, biết:
a) Cộng tử với 4 . mẫu với 10 thì được một phân số bằng phân số đã cho;
b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì được một phân sô gấp 2 lần phân số đã cho.
8. Tìm phân số , biết :
a) Phân số đó bằng phân số
20
9
và BCNN của tử và mẫu là 360;
b) Phân số đó bằng phân số
39
20
và ƯCLN của tử và mẫu là 36.
9. Tìm phân số
ab
a
, biết rằng phân số đó bằng phân số
a6
1
.

và
11.7.5.2
7.5.2
23
24
.
Giải. rút gọn các phân số:
3.47.8
11.45.4
+
+
=
)37.2(4
)115(4
−
+
=
11.4
16.4
=
11
16
;
3.206.5
7.108.15
+
+−
=
)3.46(5
)7.28.3(5

.
Quy đồng mẫu ba phân số :
11
16
;
9
5
−
;
77
10
.
Mẫu chung : 7.9.11 = 693.
Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9.
Vậy :
11
16
=
63.11
63.16
=
693
1008
;
9
5
−
=
77.9
77.5

và
13.7.3
23
2
−
2. Tìm tất cả cá phân số mà tử và mẫu đều là các số tự nhiên khác 0 có một chữ số , tủ kém mẫu 3 đơn vị và có
a) BC của các tử là 210;
b) BC của các mẫu là 210;
c) BC của các tử và mẫu là 210;
3. Tìm các chữ số a , b ,c để:
a) Phân số
ab
36
= a + b;
b) Phân số
cba ++
1000
=
abc
.
4. Cho ba phân số:

223
22
3.55
3.55
+
−−
;
11124

>
b
c
.
2. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu , ta viết chúng dưới dạng hai phân
số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn
hơn thì phân số đó lơn hơn.
Ví dụ: Hãy tìm các phân số , thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Có mẫu là 30 , lớn hơn
17
5
và nhỏ hơn
17
6
.
b) Có mẫu là 5 , lớn hơn
3
2
−
và nhỏ hơn
6
1
−
.
Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn.
Giải. a) Gọi phân số cần tìm là
30
a
, trong đó a
∈

=
3
1
.
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
17
5
<
10
3
<
3
1
<
17
6
.
b) Cách làm tươn tự : ta tim được ba phân số thỏa mãn đề bài :
5
3
−
;
5
2
−
;
5
1
−
.

23

<
23

<
23

<
23
5
−
;
b)
5
1
−
<
30

<
15

<
10
1
−
.
2. Hãy tìm các phân số , sao cho :
a) Có mẫu là 20 , lớn hơn

1
và
3
2
. hãy tìm :
a) Năm phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn
6
1
và nhỏ hơn
3
2
;
b) hai mươi phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn
6
1
và nhỏ hơn
3
2
;
c) Có nhận xét gì về số các phân số có cùng tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân số đó lớn hơn
6
1
và
nhỏ hơn
3
2
;
5. Hãy viết ba phân số có mẫu khác nhau , xen giữa hai phân số :
2
1

b
a
,
d
c
,
q
p
ta có : (
b
a
+
d
c
) +
q
p
=
b
a
+ (
d
c
+
q
p
).
3. Tổng của một phân số với 0 bằng chính phân số đó : Với mọi phân số
b
a

1
.
b) B =
2
1
+
3
2
−
+
4
3
+
5
4
−
+
6
5
+
7
6
−
+
8
7
+
7
6
+

3
−
+
8
5
−
) +
3
1
=
3
1
.
b)Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có tổng bằng 0 vào từng
nhóm, ta có :
B = (
2
1
+
2
1
−
)+(
3
2
−
+
3
2
)+(

B =
8
7
.
Bài tập:
1.Thực hiện phép tính một cách hợp lí , tính các tổng sau:
A =
9
2
−
+
4
3
−
+
5
3
+
15
1
+
57
1
+
3
1
+
36
1
−

3
+
9
1
−
+
127
1
+
18
7
−
+
35
4
+
7
2
2. Tìm các số nguyên x biết :
a)
3
1
+
5
2
−
+
6
1
+

20
−
+
17
12
+
31
11
−
< x ≤
7
3
−
+
15
7
+
7
4
−
+
15
8
+
3
2
3. Cho S =
51
1
+