Bài tập toán cao cấp
Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr.

Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình
tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B
`
AI T
ˆ

A
´
TBA
’
NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
H`a Nˆo
.
i – 2006
Mu
.
clu
.
c
L`o
.
in´oidˆa

1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod
un v`a acgumen . . . . . . . . 13
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . . . . . . . . 23
2D
-

.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c R 46
2.2 Phˆan th´u
.
ch˜u
.
uty
’
55
3 Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th ´u
.
c66
3.1 Ma trˆa
.
n 67
3.1.1 D
-

´
85
3.2.2 D
-
i
.
nh th ´u
.
c 85
3.2.3 T´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th ´u
.
c 88
2MU
.
CLU
.
C
3.2.4 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh d
i

.
ch d
a
’
o 118
3.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 118
3.4.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch da
’
o 119
4Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh 132

.
ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . 143
4.3 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t 165
5 Khˆong gian Euclide
R
n
177
5.1 D
-

so
.
’
188
5.3 Khˆong gian vecto
.
Euclid. Co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n 201
5.4 Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
nt´ınh 213
5.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 213

`o
.
ng
v`a m˘a
.
tbˆa
.
c hai 236
6.1 Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 236
6.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241
MU
.
CLU
.
C3

ng bˆa
.
c hai v`a m˘a
.
t
bˆa
.
c hai vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 263
L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p to´an cao cˆa
´
p n`ay du
.
o
.
.
c biˆen soa

cD
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i thˆong
qua v`a ban h`anh.
Mu
.
cd
´ıch cu
’
a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o
.
sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
c
Tu
.
.
nhiˆen n˘a
´
mv˜u
.
ng v`a vˆa
.

˜
imu
.
c, d
ˆa
`
u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a
´
tnh˜u
.
ng co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t
v`a liˆe
.
tkˆenh˜u
.
ng cˆong th´u
.
ccˆa
`
n thiˆe
´
t. Tiˆe
´

`
n B`ai
tˆa
.
p.O
.
’
d
ˆay, c´ac b`ai tˆa
.
pdu
.
o
.
.
cgˆo
.
p th`anh t`u
.
ng nh´om theo t`u
.
ng chu
’
d
ˆe
`
v`a d
u
.
o

phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i. Ch´ung tˆoi hy vo
.
ng r˘a
`
ng viˆe
.
c
l`am quen v´o
.
il`o
.
i gia
’
i chi tiˆe
´
t trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
s˜e gi´up ngu
.
`o
.
iho

ng du
.
´o
.
isu
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
ncu
’
a
gi´ao viˆen ho˘a
.
ctu
.
.
m`ınh nghiˆen c´u
.
u v`ı c´ac b`ai tˆa
.
pdˆe
`
uc´od´ap sˆo
´
,mˆo

tphu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an.
T´ac gia
’
gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca
’
mo
.
n c´ac thˆa
`
y gi´ao: TS. Lˆe D
`ınh
Ph `ung v`a PGS. TS. Nguyˆe
˜
n Minh Tuˆa
´
nd˜ado
.
ck˜yba
’
n tha
’
ov`ad´ong
Co
.

’
aba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh.
M´o
.
i xuˆa
´
tba
’
nlˆa
`
ndˆa
`
u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho
’
i sai s´ot. Ch´ung
tˆoi rˆa
´
t chˆan th`anh mong du
.
o
.
.
cba
.
ndo
.

Chu
.
o
.
ng 1
Sˆo
´
ph´u
.
c
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´

ng gi´ac . 23
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th ´u
.
tu
.
.
(a; b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R du
.
o
.
.
cgo

a v`ao theo c´ac di
.
nh ngh˜ıa sau dˆay:
(I) Quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau
(a
1
,b
1
)=(a
2
,b
2
) ⇐⇒



a
1
= a
2
,
b
1
= b
2
.

).
1
(I II) Ph´ep nhˆan
(a
1
,b
1
)(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
,a
1
b
2
+ a
2
b
1
).

i nhau bo
.
’
i
luˆa
.
t phˆan bˆo
´
v`a mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
=(0, 0) dˆe
`
u c´o phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d a
’
o.
Tˆa
.
pho

p (0; 0) v`a phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
l`a c˘a
.
p (1; 0).
´
Ap du
.
ng quy
t˘a
´
c (II I) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe
´
uk´yhiˆe
.
u i =(0,1) th`ı
i
2
= −1
Dˆo
´
iv´o

t
v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c R:v`ıch´ung du
.
o
.
.
ccˆo
.
ng v`a nhˆan nhu
.
nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c. Do
vˆa
.
y ta c´o thˆe
’
dˆo

c z =(a, b):
1
+
Sˆo
´
thu
.
.
c a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phˆa
`
n thu
.
.
c a =Rez,sˆo
´
thu
.
.
c b go
.
i l`a phˆa
`

def. l`a c´ach viˆe
´
tt˘a
´
tcu
’
at`u
.
tiˆe
´
ng Anh definition (di
.
nh ngh˜ıa)
8Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’

y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib
Biˆe
’
uth´u
.
c (1.1) go
.
i l`a da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b). T`u
.
(1.1)
v`a d
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.

c thu
.
.
c
hiˆe
.
n theo c´ac quy t˘a
´
c sau.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o
(I) Ph´ep cˆo
.
ng: z

b
1
).
(I II) Ph´ep chia:
z
2
z
1
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
1
+ b
2
1
+ i
a
1
b
2
− a
2

+ i
n+1
+ i
n+2
+ i
n+3
=0;
b) i ·i
2
···i
99
· i
100
= −1.
2
+
T`ım sˆo
´
nguyˆen n nˆe
´
u:
a) (1 + i)
n
=(1−i)
n
;
b)

1+i
√

l˜uy th`u
.
ab˘a
´
td
ˆa
`
ul˘a
.
pla
.
i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia
’
su
.
’
n ∈ Z v`a
n =4k + r, r ∈ Z,0 r  3. Khi d
´o
i
n
= i
4k+r
= i
4k
· i
r
=(i
4
)

=













1nˆe
´
u n =4k,
i nˆe
´
u n =4k +1,
−1nˆe
´
u n =4k +2,
−i nˆe
´
u n =4k +3.
(1.2)
T`u
.
(1.2) dˆe


n
= i
n
=1⇒ n =4k, k ∈ Z.
b) T`u
.
d˘a
’
ng th ´u
.
c

1+i
√
2

n
+

1 −i
√
2

n
= 0 suy r˘a
`
ng

1+i

√
3
2

n
=2
v`a nˆe
´
u n khˆong chia hˆe
´
t cho 3 th`ı

−1+i
√
3
2

n
+

−1 − i
√
3
2

n
= −1.
Gia
’
i. 1

3
8

m
+

−1 − 3i
√
3+9+3i
√
3
8

m
=1
m
+1
m
=2.
10 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
2
+

1 −i
√
3
2

=
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
= −1.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nˆe
´
u n =3m +2tac˜ung c´o S = −1. 
V´ı d u
.
3. T´ınh biˆe
’


2
n

.
Gia
’
i. Nhˆan v`a chia biˆe
’
uth´u
.
cd˜achov´o
.
i1−
1+i
2
ta c´o
σ =
1 −

1+i
2

2
n

2
1 −
1+i
2

=

i
2

2
n
=
i
2
n
2
2
n
=
1
2
2
n
·
Do d
´o
σ =
1 −
1
2
2
n
1 −
1+i

´
ph´u
.
c
√
4 − 3i du
.
´o
.
ida
.
ng da
.
isˆo
´
.
Gia
’
i. Theo di
.
nh ngh˜ıa ta cˆa
`
nt`ımsˆo
´
ph´u
.
c w sao cho w
2
=4− 3i.
Nˆe

=4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)
T`u
.
(1.4) ta c´o b = −
3
2a
.Thˆe
´
v`ao (1.3) ta thu du
.
o
.
.
c
4u
2
− 16u −9=0,u= a
2
⇐⇒

u
1
=
8+
√
100
4
=
8+10

√
2
⇒ b = ∓
1
√
2
·
T`u
.
d
´o ta thu du
.
o
.
.
c
w
1,2
= ±

3
√
2
−
1
√
2
i



.
ccu
’
a
√
5+12i v`a
√
5 −12i dˆe
`
u ˆam.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i trong v´ıdu
.
4 ta c´o
√
5+12i = x + iy ⇒ 5+12i = x
2
−y
2

n
thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i ˆam nˆen ta c´o
√
5+12i = −3 − 2i.Tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta
t`ım d
u
.
o
.
.
c
√
5 −12i = −3+2i.Nhu
.
vˆa
.

’
khi a
2
+ b
2
=1.
Gia
’
i. Ta c´o
w =
(a − 1) + ib
(a +1)+ib
=
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
+ i
2b
(a +1)
2
+ b
2
·
T`u

P
T´ınh
1.
(1 + i)
8
− 1
(1 − i)
8
+1
· (DS.
15
17
)
2.
(1+2i)
3
+(1−2i)
3
(2 − i)
2
− (2 + i)
2
· (DS. −
11
4
i)
3.
(3 − 4i)(2 −i)
2+i
−


···

1+

1 −i
√
2

2
n

.
(D
S. 0)
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng c´ach gia
’
iv´ıdu
.
3.
5. Ch´u
.

z
2
;
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 13
d) z
n
= ( z)
n
;e)z + z = 2Re z;g)z −z = 2Im z.
6. V´o
.
i gi´a tri
.
thu
.
.
c n`ao cu
’
a x v`a y th`ı c´ac c˘a
.
psˆo
´
sau dˆay l`a c´ac c˘a
.

1,2
= −5, y
1,2
= ±5)
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng z
1
v`a z
2
l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p khi v`a chı
’
khi z
1
+ z
2
v`a z
1
z

√
2)
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) 1 − C
2
8
+ C
4
8
− C
6
8
+ C
8
8
= 16;
2) 1 − C
2
9
+ C
4
9
− C
6
9
+ C

.
th ´u
.
c Newton dˆo
´
iv´o
.
i(1+i)
8
v`a
(1 + i)
9
.
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆodun v`a acgu-
men
Mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
d

.
imˆo
˜
idiˆe
’
m M(a; b)cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng dˆe
`
u
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib. Ph´ep tu
.
o
.

.
l`a c´ac d
iˆe
’
m cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad
ˆo
.
.M˘a
.
t ph˘a
’
ng d
´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`a
m˘a
.

.
c
du
.
o
.
.
cgo
.
il`aTru
.
ca
’
o. Thˆong thu
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
xem
nhu
.
vecto
.
−→
OM.Mˆo

.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib v`a
ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.

.
t ph˘a
’
ng cho ph´ep go
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
cl`adiˆe
’
m
hay vecto
.
.
V´o
.
i ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
csˆo
´
ph´u
.
c, c´ac ph´ep to´an cˆo
.
ng v`a tr`u

.
d`ai cu
’
a vecto
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
du
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆodun cu
’
a n´o.
Nˆe
´

u
.
o
.
.
c xem l`a g´oc
du
.
o
.
ng nˆe
´
u n´o c´o d
i
.
nh hu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
c chiˆe
`
u kim d
ˆo
`
ng hˆo

.
c x´ac di
.
nh khˆong do
.
n tri
.
,n´o
x´ac di
.
nh v´o
.
isu
.
.
sai kh´ac mˆo
.
tsˆo
´
ha
.
ng bˆo
.
i nguyˆen cu
’
a2π v`a
Arg z = arg z +2kπ, k ∈ Z,
trong d
´o arg z l`a gi´a tri
.

’
asˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib du
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n qua
mˆod
un v`a acgument cu
’
a n´o nhu
.
sau



a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜

a
√
a
2
+ b
2
,
sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı du
.
1. T`ım mˆod
un cu
’
asˆo
´
z =
x

2
+(

x
4
+ y
4
)
2
=
x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
=1. 
V´ı du
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ∀z
1
,z
2
∈ C ta dˆe

2
|  |z
1
|−|z
2
.
Gia
’
i. (i) Ta c´o
|z
1
+ z
2
|
2
=(z
1
+ z
2
)(z
1
+ z
2
)=|z
1
|
2
+ |z
2
|

2
|
2
+2|z
1
||z
2
| =(|z
1
| + |z
2
|)
2
⇒|z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|.
(ii) V`ı |z
2
| = |−z
2
| nˆen
|z
1
−z

.
c
|z
1
|  |z
1
+ z
2
| + |z
2
|→|z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
|.
16 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
(iv) |z
1

.
i
da
.
ng
(iii)
∗
. |z
1
+ z
2
| 


|z
1
|−|z
2
|


; (iv)
∗
. |z
1
−z
2
| 



´
pha
’
i kh´ac nhau vˆe
`
dˆa
´
udod
´onˆe
´
ulˆa
´
yvˆe
´
pha
’
idu
.
o
.
ng th`ı thu d
u
.
o
.
.
c
(iii)
∗
.Bˆa

.
ng minh dˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
).
Gia

+ iy
2
. Khi d´o
z
1
+ z
2
= x
1
+ x
2
+ i(y
1
+ y
2
),
z
1
− z
2
= x
1
− x
2
+ i(y
1
−y
2
),
|z

+(y
1
−y
2
)
2
.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(x
2
1

ng trong mˆo
˜
ih`ınh b`ınh h`anh tˆo
’
ng c´ac
b`ınh phu
.
o
.
ng dˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac du
.
`o
.
ng ch´eo b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac b`ınh phu
.
o
.
ng
dˆo
.
d`ai cu
’

1
2
arg
z
2
z
1
·
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, c´ac d
iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng tr`on

udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 17
B˘a
`
ng nh˜u
.
ng nguyˆen do h`ınh ho
.
c, dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
arg
z
3
− z
2
z
3
− z
1
= arg (z
3
−z

nch´ınh cung tr`on d´o. Theo di
.
nh l´y quen thuˆo
.
ccu
’
ah`ınh ho
.
c
so
.
cˆa
´
p ta c´o
arg
z
3
−z
2
z
3
−z
1
=
1
2
arg
z
2
z

3
l`a c´ac dı
’
nh cu
’
a tam gi´ac dˆe
`
unˆo
.
itiˆe
´
p trong
du
.
`o
.
ng tr`on do
.
nvi
.
.
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, ba diˆe
’
m z

1
− z
2
|.Tac´o
|z
1
− z
2
|
2
=(x
1
− x
2
)
2
+(y
1
− y
2
)
2
= x
2
1
+ y
2
1
+ x
2

2
+(y
1
+ y
2
)
2
]
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2
−2|z
1
+ z
2
|
2
.
Nhu
.
ng z
1
+ z
2
= −z

´o
|z
1
− z
2
| =
√
3 .
2
+
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta c´o |z
2
− z
3
| =
√
3, |z
3
− z
1
| =
√
3. T`u

iˆe
`
ukiˆe
.
n n`ao th`ı ba diˆe
’
m kh´ac nhau t`u
.
ng d
ˆoi mˆo
.
t z
1
,
z
2
, z
3
n˘a
`
m trˆen mˆo
.
tdu
.
`o
.
ng th˘a
’
ng.
Gia

.
z
2
dˆe
´
n z
1
c´o hu
.
´o
.
ng nhu
.
cu
’
a vecto
.
d
it`u
.
d
iˆe
’
m z
3
dˆe
´
n
z
1

.
cnhu
.
nhau ho˘a
.
c sai kh´ac g´oc π.
Nhu
.
ng khi d´o ta c´o
arg(z
1
−z
2
) = arg(z
1
−z
3
)+kπ, k = 0, 1.
T`u
.
d
´o suy ra
arg
z
1
− z
2
z
1
− z

.
cb˘a
`
ng π,t´u
.
cl`asˆo
´
z
1
− z
2
z
1
− z
3
l`a sˆo
´
thu
.
.
c. Diˆe
`
ukiˆe
.
nthudu
.
o
.
.
cl`adiˆe

−z
3
= α, α ∈ R.
Khi d
´oIm
z
1
− z
2
z
1
− z
3
=0. Hˆe
.
th ´u
.
c n`ay tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
th ´u

ng qua diˆe
’
m(x
1
,y
1
)v`a(x
2
,y
2
) c´o da
.
ng
y −y
1
y
2
− y
1
=
x − x
1
x
2
− x
1
· (1.6)
T`u
.
(1.5) v`a (1.6) suy ra diˆe

’
ng ph´u
.
c tho
’
a m˜an c´ac
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 19
1) |z −2| + |z +2| =5;
2) |z −2|−|z +2| > 3;
3) Re z  c;
4) Im z<0.
Gia
’
i. 1) D
˘a
’
ng th´u
.

c F
1
= −2v`aF
2
= +2 l`a h˘a
`
ng sˆo
´
b˘a
`
ng 5. Theo di
.
nh ngh˜ıa trong
h`ınh ho
.
c gia
’
it´ıchd´o l `a d u
.
`o
.
ng ellip v´o
.
i b´an tru
.
cl´o
.
nb˘a
`
ng

.
ng hypecbˆon. D˘a
’
ng th ´u
.
c
|z −2|−|z +2| =3
x´ac d
i
.
nh nh´anh bˆen tr´ai cu
’
adu
.
`o
.
ng hypecbˆon v`a bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|z −2|−|z +2| > 3 x´ac d
i
.
nh phˆa
`
n trong cu

4) V`ıImz = y ⇒ Im z<c⇒ y<c.D
´ol`anu
.
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng du
.
´o
.
i
du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng y = c (khˆong kˆe
’
du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d´o). 
V´ı d u
.

.
n:
1) |z| =Rez +1;
2) |z −1|  2|z − i|;
3) |z −2+i|u
2
− 2|z − 2+i|u +1> 0 ∀u ∈ R.
4) log
3
(2 + |z
2
+ i|)+log
27
1
(2 + |z
2
− i|)
3
=0.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
z = x + iy. Khi d´ot`u
.
diˆe
`

nh ta
.
idiˆe
’
m

−
1
2
;0

v´o
.
i tru
.
cd
ˆo
´
i
x´u
.
ng l`a tia
γ =

(x, y) ∈ R
2
: x  −
1
2
,y =0


x +
1
3

2
+

y −
4
3

2

8
9
·
T`u
.
d´o suy ra r˘a
`
ng diˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho x´ac di
.
nh h`ınh tr`on tˆam z
0
= −

nd˜acho
du
.
o
.
ng ∀u ∈ R nˆen biˆe
.
tsˆo
´
cu
’
a n´o ˆam, t´u
.
cl`a
|z −2+i|
2
−|z − 2+i| < 0
⇒|z −2+i| < 1.
D
´o l`a h`ınh tr`on v´o
.
i tˆam ta
.
i z
0
=2−i v`a b´an k´ınh b˘a
`
ng 1.
4) T`u
.

−i|.
T`u
.
d´o suy r˘a
`
ng z
2
l`a sˆo
´
thu
.
.
cbˆa
´
tk`y. Nhu
.
ng khi d´o z l`a sˆo
´
thu
.
.
cbˆa
´
t
k`y ho˘a
.
csˆo
´
thuˆa
`

`
AI T
ˆ
A
.
P
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 21
1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) |z
1
· z
2
| = |z
1
|·|z
2
|;
2) |z
1
±z

.
c, ch´u
.
ng minh:
1)



z
|z|
−1



 |argz|;
2) |z −1| 


|z|−1


+ |z||argz|.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.

arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,
arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0,b 0,
arctg
b
a
− π nˆe
´
u a<0,b<0.
4. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.
ch´ınh arg(a + ib) tho
’
a m˜an diˆe
`

arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0.
Chı
’
dˆa
˜
n. Lu
.
u´yr˘a
`
ng gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a arctg
b
a
∈

−
π
2
,
π
2


2
,a∈ C,b∈ C.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c |z|
2
= zz.
22 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
7. Ch´u
.
ng minh d

.
isˆo
´
ph´u
.
c z = −1v`a|z| =1dˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
u
diˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
z =
1+ti
1 − ti
,t∈ R.
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe

.
ng.
10. Trong c´ac sˆo
´
ph´u
.
c tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n
|z −25i|  15
h˜ay t`ım sˆo
´
c´o acgument du
.
o
.
ng nho
’
nhˆa
´
t.
11. T`ım acgumen cu
’
a c´ac sˆo
´
ph´u

− ϕ)
6) sin ϕ − i cos ϕ.(D
S. ϕ −
π
2
)
7) −sin ϕ − i cos ϕ.(D
S.

−
π
2
−ϕ

)
1.4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu

ph´u
.
c z = a + ib =0d
ˆe
`
ubiˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7)
trong d
´o r = |z| =
√
a
2
+ b
2
, ϕ l`a mˆo

ˆe
’
chuyˆe
’
nt`u
.
da
.
ng da
.
isˆo
´
sang da
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac ta chı
’
cˆa
`
nt`ım mˆodun
v`a mˆo
.
t trong c´ac acgument cu
’
a n´o. V`ı mˆod
un v`a acgumen cu

.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac l`a khˆong
kha
’
thi. Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, ph´ep nhˆan, ph´ep chia, ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u
.
av`a
khai c˘an d
u
.
o
.
.
c thu
.
.

(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
), z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
),
z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´o
1
+
z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin( ϕ
1

n
[cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z.
4
+
w
k
=
n
√
r

cos
ϕ +2kπ
n
+ i sin
ϕ +2kπ
n

, k =
0,n−1.
T`u
.
3
+
suy ra
[cos ϕ + i sin ϕ]
n
= cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)
Cˆong th´u
.

e
z
= e
x+iy
def
= e
x
(cos y + i sin y). (1.9)
Ch˘a
’
ng ha
.
n