1www.VNMATH.com
2

– & —
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn tốt
nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động viên từ
quý thầy cô và bạn bè. Vì vậy, em xin chân thành cảm ơn quý
thầy cô Bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức
quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua. Xin chân thành cảm
ơn Thư viện Khoa Sư Phạm, Trung tâm học liệu Đại học Cần
Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em thực hiện tốt đề
tài.
Em xin chân thành cảm ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành đề tài.
Xin cảm ơn tập thể lớp SP Toán K 30 đã đóng góp ý
kiến để luận văn được hoàn thành.
Tuy nhiên, do kiến thức có hạn nên luận văn còn nhiều
hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Sinh viên thực hiện

Phan Trần Diễm

www.VNMATH.com
3

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

www.VNMATH.com
4NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
www.VNMATH.com
5

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Lịch sử vấn đề 1
3. Mục đích nghiên cứu 1
4. Phạm vi nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
PHẦN NỘI DUNG 3
PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1. Độ đo trên một đại số tập hợp 3
1.1. Định nghĩa độ đo 3
1.2. Một số tính chất của độ đo 4
2. Độ đo Lebesgue trên R 5
3. Hàm số đo được… … ……………………………….……….……5
3.1. Định nghĩa 5
3.2. Một số tính chất 6
3.3. Các phép toán trên hàm số đo được 6
3.4. Khái niệm hầu khắp nơi 6
3.5. Cấu trúc của hàm đo được 7
3.6. Sự hội tụ theo độ đo 8
PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE 9
1. Các định nghĩa tích phân 9


www.VNMATH.com
7

PHẦN MỞ ĐẦU
– & —
1. Lý do chọn đề tài
Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích
phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm
liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích
phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả
các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một
câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em suốt thời phổ thông. Khi bước vào đại
học, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue.
Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên
cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này
trong những trường hợp khác nhau. Do đó, em luôn có mong muốn đào sâu hơn về
vấn đề này để bổ sung và hoàn thiện thêm kiến thức của mình. Với những lý do
trên, cùng với sự gợi ý của cô em đã mạnh dạn chọn đề tài này để hoàn thành luận
văn tốt nghiệp của mình.
2. Lịch sử vấn đề
Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng
vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn.
Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann.
www.VNMATH.com
9

PHẦN NỘI DUNG
PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Độ đo trên một đại số tập hợp
1.1. Định nghĩa độ đo
Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C "
R
được gọi là một độ đo trên
C nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
a) µ(A) ≥ 0 , ∀A ∈ C
b) µ(∅) = 0
c) A
n


n
n
n
n
AA µµ
U

(tính σ_ cộng tính)
Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo.
+ Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < + ∞
+ Độ đo µ được gọi là σ_hữu hạn nếu ∃
{
}
n
nN
A
∈
⊂ C
sao cho
U
∞
=
=
1n
n
AX và µ(A
n
) < + ∞, ∀n ∈ N.
Ví dụ:
• X ≠ ∅, C = P (X)

∞
+
nếu A vô hạn)
Khi đó
µ
là độ đo và được gọi là độ đo đếm.
* Độ đo đủ:
Một không gian độ đo (X, C, µ) gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của một tập có
độ đo không bất kỳ đều đo được.
www.VNMATH.com
10

1.2. Một số tính chất của độ đo
Tính chất 1: Cho (X, C, µ) là một không gian độ đo.
a) A, B ∈ C, B ⊂ A ⇒ µ(B) ≤ µ(A).
b) Nếu {A
n
}
n ∈ N
⊂ C,
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C thì µ(
1

∈
U
C thì
( )
n
n
n
n
AA µµ
∞→
∞
=
=








lim
1
U
.

d) Nếu A
n
∈ C , ∀n, A
1



lim
1
I
.
Tính chất 2: Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó:
i) µ(A
i
) = 0,
1
i
i
A
∞
=
∈
U
C
1
()0
i
i
Aµ
∞
=
⇒=
U
.
ii) A ∈ C, µ(B) = 0 ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A).

∞
=
≤
∑

iii) {A
i
}
i∈ N
⊂ C, A ∈ C,
1
1
()()
ii
i
i
AAAA
µµ
∞
∞
=
=
⊂⇒≤
∑U

Tính chất 4:
Cho µ là một hàm tập hợp, không âm, cộng tính trên một đại số C và sao cho
µ(∅) = 0. µ là độ đo trên C nếu thỏa thêm một trong hai điều kiện sau:
i) A
n

1
⊃ A
2
⊃…,
1
n
n
A
∞
=
I
= ∅ ⇒
lim()0
n
n
Aµ
→∞
=

www.VNMATH.com
11

2. Độ đo Lebesgue trên R
* Một gian trên R là một tập con của R có một trong các dạng sau: [a,b],
[a,b), (a,b], (a,b), [a, +∞), (a, +∞), (- ∞, b], (- ∞, b).
Khi đó: C =
( )




1
(),,
iii
i
i
mPPAP
∞
∞
=
=
⊃∈
∑ U
C }.
Gọi L là tập tất cả các tập con A của R sao cho:
µ
*
(E) = µ
*
(E ∩ A) + µ
*
(E ∩ A
C
), ∀E ⊂ R
Gọi
∗
= µµ |L.
Độ đo
µ
xây dựng theo cách trên gọi là độ đo Lebesgue trên R.
Các tập A ∈ L được gọi là các tập đo được theo nghĩa Lebesgue.

{ }
1
n
n
A
∞
=
thì f đo được trên
1
n
n
A
∞
=
U
.
f) Nếu f xác định trên A, µ(A) = 0 và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A.
3.3. Các phép toán trên hàm số đo được
• Nếu f đo được trên A thì
f
α
(
α
> 0) cũng đo được trên A.
• Nếu f, g đo được và hữu hạn trên A thì
,.,max{,},min{,}
fgfgfgfg
±
cũng
đo được và nếu g(x) ≠ 0, ∀x ∈ A thì

ff
→∞
=
thì f cũng đo
được.
3.4. Khái niệm hầu khắp nơi
Cho (X, F, µ) là một không gian độ đo.
Một điều kiện
α
(x) được gọi là thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A
nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và
α
(x) được thỏa ∀x ∈ A\B.
* Ví dụ:
• f : A
→

R
hữu hạn h.k.n trên A nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và f(x) ∈
R,
∀x ∈ A\B.
• Dãy {f
n
(x)} hội tụ h.k.n trên A về f nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và
www.VNMATH.com
13lim()(),\
n

A
,1
,0
χ

* Hàm đơn giản:
Một hàm f :
RA
→
được gọi là hàm đơn giản trên A nếu f đo được và f
nhận hữu hạn các giá trị hữu hạn.
Giả sử f là hàm đơn giản trên A.
Giá trị f(A) = { a
1
, a
2
,…,a
n
} ⊂ R
Đặt A
i
= {x ∈ A | f(x) = a
i
},
1,
in
=
Khi đó: A
i
∩ A

AA
=
=
U
đều là các
hàm đơn giản trên A.
* Cấu trúc của hàm đo được:
ü Nếu f là hàm đo được trên A thì tồn tại dãy {f
n
} các hàm đơn giản sao cho:
(
)
(
)
Axxfxf
n
n
∈∀=
∞→
,lim .
ü Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại một dãy các hàm đơn giản {f
n
}
thỏa:
www.VNMATH.com
14

• 0 ≤ f
1
≤ f

ff
µ
→
.
Tính chất: Cho µ là độ đo.
i) Nếu
n
ff
µ
→
trên A, µ đủ và f ∼ g thì
n
fg
µ
→
trên A.
ii) Nếu
n
ff
µ
→
và
n
fg
µ
→
trên A thì f ∼ g.
iii) Nếu {f
n
} đo được và


PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE
1. Các định nghĩa tích phân
1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm
Cho không gian (X, F, µ), A ∈ F.
Nếu f là một hàm đơn giản, không âm trên A có dạng
1
i
n
iE
i
fa
χ
=
=
∑

(E
i
đo được, E
i
∩ E
j
= ∅, ∀i ≠ j,
U
n
i
i
EA
1=

()
fgdfdgd
αβµαµβµ
+=+
∫∫∫

Chứng minh:
Giả sử f và g có biểu diễn tiêu chuẩn là:
1
i
n
iE
i
fa
χ
=
=
∑
,
1
j
m
jF
j
gb
χ
=
=
∑
với

+=+=+ χβαβαβα
1 1

Khi đó:
11
1111
1111
11
()()()
()()
(())(())
()()
nm
ijij
ij
nmnm
iijjij
ijij
nmmn
iijjij
ijji
nm
iijj
ij
fgdabEF
aEFbEF
aEFbEF
aEbFfdgd
αβµαβµ
αµβµ

n
n
XA
∞
=
=
U
. Khi đó:
n
A
fdfd
µµ
→
∫∫
khi
∞
→
n
.
Chứng minh:
Giả sử f có biểu diễn tiêu chuẩn là:
i
E
m
i
i
af χ
∑
=
=

∑
∫
=→
=
µµµ fdEafd
i
m
i
i
A
n
1
khi
∞
→
n

5) Nếu {f
n
} là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, lim
n
n
ff
→∞
=
và f là hàm
đơn giản thì lim
n
n
fdfd

≤
∫∫
, ∀n. Do đó: α ≤
f
∫
(1)
Chọn hàm đơn giản s: 0 ≤ s ≤ f và c = const sao cho 0 ≤ c ≤ 1.
Đặt A
n
= { x ∈ X | f
n
(x) ≥ cs(x) }, n = 1, 2,…
Ta có:
∫∫∫
≥≥
nn
AA
nn
sdcdfdf µµµ
Cho n → ∞, ta được: α ≥ lim
n
n
A
csd
µ
→∞
∫

Cho c → 1: α ≥ µds
∫

∫∫

ii) Nếu
lim
n
n
ff
→∞
≤ trên X thì lim
n
n
fdfd
µµ
→∞
≤
∫∫
.
Chứng minh:
i) Ta có: lim
n
n
ff
→∞
≤
và {f
n
} đơn điệu tăng nên f
n
≤ f, ∀n.
Do đó:

∈ F,{A
n
} là dãy tăng và
1
n
n
XA
∞
=
=
U

Ta có:
()()
n
An
fxfx
αχ≤ ,
Xx
∈
∀

Vì vậy:
(
)
µµχαµαµα dfdxffdfd
n
n
A
n

fdgd
µµ
→∞→∞
=
∫∫
.
Chứng minh:
∀k =
1,
n
, ta có:
lim
kn
n
gf
→∞
≤ trên X ⇒ lim
kn
n
gdfd
µµ
→∞
≤
∫∫
.
Cho k " ∞, ta được: limlim
kn
kn
gdfd
µµ

= sup {
ϕϕµϕ ,0| fd
A
≤≤
∫
là hàm đơn giản}

www.VNMATH.com
18

Tính chất:
i) 0, ≥∀=
∫
∫
cfccf
ii)
∫
∫
≤⇒≤≤ gfgf0
Thật vậy:
Vì gf
≤
nên nếu
ϕ
là hàm đơn giản sao cho f
≤
ϕ
thì ta cũng có
g
≤

≤
ϕ
0 thì
∫∫
≤
BA
dd µϕµϕ
.
Do đó:
∫∫
≤
BA
fdfd µµ

1.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ
Định nghĩa:
Cho f là một hàm đo được có dấu tùy ý trên A.
Nếu ít nhất một trong hai tích phân µdf
A
∫
+
và µdf
A
∫
−
hữu hạn thì tích phân
của hàm f trên A được định nghĩa là:
µµµ dfdfdf
AAA
∫∫∫

www.VNMATH.com
19

Hệ quả:
i) Nếu tồn tại
A
f
∫
, E ⊂ A, E đo được thì cũng tồn tại
E
f
∫
. Nếu f khả tích trên
A thì f cũng khả tích trên E.
ii) Nếu µ(B) = 0 thì
ABA
ff
∪
=
∫∫

2.4. Tính bảo toàn thứ tự
• Nếu f ∼ g trên A thì
AA
fg
=
∫∫
. Đặc biệt: nếu f = 0 h.k.n trên A thì
0
A

(vế phải phải có nghĩa).
2.6. Khả tích
• Nếu
A
f
∫
có nghĩa thì
AA
ff
≤
∫∫
.
• f khả tích trên A ⇔
f
khả tích trên A.
• Nếu
f
≤ g h.k.n trên A và g khả tích thì f cũng khả tích trên A.
• Nếu f, g khả tích thì f
±
g cũng khả tích.
Nếu f khả tích và g bị chặn thì f.g khả tích.
2.7. Cho f là hàm khả tích. Khi đó ∀ε > 0, tồn tại hàm đơn giản ϕ sao cho
A
fd
ϕµε
−<
∫
.
Chứng minh:

−<≤
∫∫∫

www.VNMATH.com
20

⇒ ()
nn
AA
fdfd
ϕµϕµε
−=−<
∫∫

• Nếu f khả tích thì :
A
fdµ
+
<+∞
∫
và
A
fdµ
−
<+∞
∫

⇒ ∃ϕ
1
, ϕ

fdffd
ϕµϕϕµ
+−
−≤−+−
∫∫12
AA
fdfd
ϕµϕµε
+−
≤−+−<
∫∫

2.8. Tính σ_cộng tính
Cho một không gian độ đo (X, F, µ), f là một hàm đo được trên X.
∀A ∈ F ta định nghĩa: ()
A
Afd
φµ
=
∫
. Khi đó:
φ
là σ_cộng tính trên F.
Tức là: Nếu ∈=
∞
=
n

* Nếu f = χ
E
, với E ∈ F thì
(
)
Aφ =
E
A
d
χµ
∫
=
(
)
AE ∩µ
Vì µ là σ_cộng tính nên φ là σ_cộng tính.
* Trường hợp f là hàm đơn giản, không âm:
Giả sử:
() ()
XExaxf
n
k
kE
n
k
k
k
==
=
=

















∩=
∞
=
=
∑ U
1
1
i
ik
n
k
k
AEa µ


ik
n
k
k
≠∅=∩∩=
∑∑
∞
==
,
11
µ
www.VNMATH.com
21( )
( )
∑
∑
∫
∑∑
∞
=
∞
=
∞
= =
=
=
∩=

k
dd µϕµϕ
Do đó:
( )
∑∑
∫∫
∞
=
∞
=
=≤
11 k
k
k
AA
Afdd
k
φµµϕ
Mà sup{0
AA
fddf
µϕµϕ
=≤≤
∫∫
, ϕ là hàm đơn giản}
Nên
( )
∑
∫
∞

()
k
k
A
φ
∞
=
∑
+∞
=
.
• Giả sử φ(A
k
) < +∞, ∀k.
Ta chứng minh: φ(A) ≥
1
()
k
k
A
φ
∞
=
∑
bằng phương pháp quy nạp.
ü Với k = 2,với
ε
> 0, chọn hàm đơn giản ϕ sao cho: ϕ ≤ f
và
11

1
∪ A
2
) ≥ φ(A
1
) + φ(A
2
).
ü Giả sử với k = n, ta có:
1
1
()()
n
n
kk
k
k
AA
φφ
=
=
≥
∑U
.
ü Ta chứng minh mệnh đề đúng với k = n + 1.
www.VNMATH.com
22

1
1

=
=
≥
∑U
, ∀n
Vì
1
n
k
k
A
=
U
⊂ A nên φ(A) ≥
1
()
n
k
k
A
φ
=
∑

Cho n → ∞, ta được: φ(A) ≥
1
()
k
k
A

φµ
=
∫
là một độ đo. Hàm
(
)
Aφ được gọi là tích phân bất định của f.
Áp dụng tính chất của độ đo, ta có thêm một số tính chất cho tích phân.
Chẳng hạn như: Nếu A
n
↑, A
n
đo được,
U
∞
=
=
1n
n
AA và f là đo được không âm thì:
∫∫
∞→
=
n
A
n
A
fdfd µµ lim
2.9. Bất đẳng thức Tchebychev
Cho f(x) ≥ 0 khả tích trên A và c > 0 là một số dương bất kỳ.

23

2.10. Sau đây là một vài tính chất của tích phân các hàm đo được không âm
j Cho f không âm, khả tích trên A,
(
)
0>Aµ . Khi đó:

⇔=
∫
0
A
f
f = 0 h.k.n trên A.
Chứng minh:
(
)
⇒
• Nếu f là hàm đơn giản, không âm:
i
E
n
i
i
af χ
∑
=
=
1
thì:

n
A
∀=⇔=⇔=
∫∫∫
∞→
,00lim0µ
.
nAtrênnkhf
n
∀=⇔ , 0
Vậy Atrênnkhf 0
=
.
(
)
⇐ Giả sử: f = 0 h.k.n trên A.
Khi đó với mọi hàm đơn giản f
≤
≤
ϕ
ϕ
0, thì nkh 0
=
ϕ
trên A.

⇒
Atrênnkha
i
E

==
n
i
ii
A
Ea
1
0µϕ

Theo định nghĩa tích phân của hàm không âm,
ta có: 00sup =










≤≤=
∫∫
ff
AA
ϕϕ
Vậy
⇔=
∫
0

>∈=
n
xfAxB
n
1

Ta có:
()
{ }
0
1
≠∈==
∞
=
xfAxBB
n
n
U

Giả sử
(
)
0>Bµ . Khi đó:
(
)
0:0 >>∃
N
BN µ .
Ta có:
( )

}
Ta có:
( )
0
1
=≤
∫
A
n
fdA
n
µµ
. Do đó:
(
)
nA
n
∀= ,0µ
Mặt khác: { x ∈ A | f(x) ≠ 0 } =
1
n
n
A
∞
=
U

Vì vậy: µ({ x ∈ A | f(x) ≠ 0 } = 0 .
Điều này chứng tỏ f = 0 h.k.n trên A.
(

A
fdµ
=
∫
thì µ(A) = 0.
Chứng minh:
Đặt A
1
= { x ∈ A | f(x) > 0 }
A
2
= { x ∈ A | f(x) ≤ 0 }
www.VNMATH.com
25

Khi đó: A
1
∩ A
2
= ∅, A
1
, A
2
∈ F.
Do f(x) > 0 h.k.n trên A nên µ(A
2
) = 0
Ta có: f > 0 trên A
1
và

= { x ∈ A | f(x) < 0 } ∈ F
Theo giả thiết:
1
0
A
fdµ
=
∫
⇒ µ(A
1
) = 0 (do f > 0 trên A
1
)
Ta có:
2
0
A
fdµ
=
∫
. Thay f bởi – f, ta được:
A
2
= { x ∈ A | - f(x) > 0 } ∈ F
Do đó, từ
2
()0
A
fdµ
−=

∫∫
nkhixfxf
n
.
Xét ví dụ sau:
Cho
(
)
(
)
,2,1,
1
,0
==






nxnxf
n
n
χ
Ta có:
(
)
Rxnkhixf
n
∈∀∞→→ ,0 .